Keterbagian &
Algoritma Pembagian
Belajar teori bilangan dari nol — bukan dengan menghafal, tetapi dengan memegang 12 mesin interaktif: periksa keterbagian sendiri, lompati garis bilangan, putar jam modulo, ayak bilangan prima, dan urai bilangan menjadi "DNA"-nya. Setiap rumus dijelaskan dari mana asalnya, dan satu set contoh pegangan menemani kita dari awal sampai akhir.
Oleh: Rohmad Wahid Rhomdani — materi pembelajaran matematika, disusun edukatif dari nol untuk pembelajar mandiri.
"Matematika adalah ratu dari ilmu, dan teori bilangan adalah ratu dari matematika."
— Carl Friedrich Gauss
Contoh pegangan sepanjang materi
Agar selalu ada pegangan, kita memakai bilangan yang sama berulang kali: 47 ÷ 6 untuk algoritma pembagian, 360 untuk kriteria & faktorisasi prima, dan 36 & 60 untuk FPB & KPK. Bilangan ini muncul kembali di setiap lembar — lama-lama kamu hafal karakternya.
Definisi → sifat → algoritma pembagian → kriteria & modulo → prima & faktorisasi → FPB/KPK → uji keprimaan → kuis. Gulir perlahan; setiap lembar adalah satu gagasan utuh.
Enam bagian, satu benang merah
Semua konsep dibangun dari satu definisi sederhana: $b = a \cdot k$. Jika definisi ini kamu pegang, sisanya hanyalah konsekuensi. Klik dan ubah angkanya di setiap mesin — matematika paham lewat tangan, bukan mata saja.
Definisi & Sifat Keterbagian
Notasi $a \mid b$, sifat refleksif, peran nol & satu, transitif, dan kombinasi linear. → Mesin 01–04
Algoritma Pembagian
$a = bq + r$ dengan $0 \le r < b$ — mengapa pasangan $(q,r)$ selalu ada dan selalu tunggal. → Mesin 05
Kriteria & Kongruensi
Aturan cepat habis dibagi 2, 3, 5, 9, 10 beserta asal-usulnya, lalu jembatan menuju $a \equiv b \pmod m$. → Mesin 06–07
Prima & Faktorisasi
Bilangan prima, saringan Eratosthenes, Teorema Dasar Aritmetika, dan rumus banyak pembagi $\tau(n)$. → Mesin 08–09
FPB & KPK
Pangkat terkecil vs pangkat terbesar, Algoritma Euclid, dan identitas FPB · KPK = a · b. → Mesin 10
Uji Keprimaan & Kuis
Trik $\sqrt{n\,}$: cukup uji prima kecil. Ditutup lembar hafalan dan kuis 12 soal berpoin. → Mesin 11–12
Definisi: kapan a "membagi" b?
Keterbagian bukan sekadar operasi pembagian — ia menanyakan keberadaan bilangan bulat k yang membuat perkalian genap pas.
Keterbagian
Misalkan $a, b \in \mathbb{Z}$. Bilangan $a$ membagi $b$ jika terdapat bilangan bulat $k$ sehingga:
Notasi: $a \mid b$ ("a membagi b"). Jika $k$ tidak ada, ditulis $a \nmid b$. Asal-usulnya sederhana: bagi bersisa $b \div a$ bersisa nol $\iff$ $b$ tersusun rapat dari kelipatan $a$ $\iff$ ada $k$ dengan $b = ak$.
3 ∣ 18 karena $18 = 3 \cdot 6$ dan $k = 6 \in \mathbb{Z}$.
5 ∤ 27 karena $27 = 5 \cdot 5 + 2$ — selalu bersisa 2, tak ada $k$ bulat.
Balok disusun $a$ buah per baris. Semua baris penuh → $a \mid b$; baris yang tak penuh (kuning) adalah sisanya.
Refleksif, nol, dan satu
Tiga sifat yang terlihat sepele tetapi justru paling sering dipakai di dalam pembuktian — dan semuanya lahir langsung dari definisi $b = ak$.
Refleksif
Asalnya: $a = a \cdot 1$ — ambil $k = 1$.
Peran Nol
Asalnya: $0 = a \cdot 0$. Sebaliknya $0 \mid a$ hanya jika $a = 0$, sebab $0 \cdot k$ selalu $0$.
Peran Satu
Asalnya: $a = 1 \cdot a$; juga $a = (-1)(-a)$ sehingga $-1 \mid a$.
Pernyataan 0 ∣ 0 bernilai benar menurut definisi keterbagian (sebab $0 = 0 \cdot k$ untuk k apa pun), tetapi ini berbeda dari operasi pembagian $5 \div 0$ yang tidak terdefinisi. Keterbagian bicara perkalian, bukan pembagian.
Setiap sifat di atas adalah "resep mencari $k$": refleksif → $k=1$; nol → $k=0$; satu → $k=a$ sendiri. Bila macet mencari $k$, coba salah satu dari tiga nilai ini.
Semua baris dihitung ulang otomatis saat a berubah.
Empat baris pertama selalu benar untuk a apa pun; hanya baris "0 ∣ a" yang bergantung nilai a.
Transitif & kombinasi linear
Dua mesin pembuktian paling sering dipakai: keterbagian yang diteruskan rantai, dan pembagi yang mempertahankan hasil tambah-kurang.
Jika $a \mid b$ dan $b \mid c$, maka $a \mid c$.
Asal-usul: substitusi. Dari $b = am$ dan $c = bn$, gantikan $b$: $c = (am)n = a(mn)$, dan $mn \in \mathbb{Z}$. Contoh: $3 \mid 12$, $12 \mid 60$ → $60 = 3(4)(5) = 3 \cdot 20$ → $3 \mid 60$.
Jika $a \mid b$ dan $a \mid c$, maka untuk setiap $m, n \in \mathbb{Z}$ berlaku $a \mid (mb + nc)$.
Asal-usul: faktorkan. Tulis $b = ar$, $c = as$, lalu keluarkan $a$ bersama. Karena $mr + ns \in \mathbb{Z}$, selesai. Contoh: $4 \mid 20$, $4 \mid 28$ → $3 \cdot 20 - 2 \cdot 28 = 4$, dan $4 \mid 4$.
Geser m dan n sekeras apa pun — $a$ selalu membagi hasilnya. Itulah isi teorema.
$a = bq + r$, dengan sisa yang patuh
Teorema 2.4 menjamin: untuk $b > 0$ selalu ada tepat satu pasangan $(q, r)$ dengan $0 \le r < b$ — inilah mesin dasar semua teori bilangan.
Untuk $a \in \mathbb{Z}$ dan $b > 0$, terdapat unik $q, r \in \mathbb{Z}$:
Asal-usul (garis bilangan): kelipatan $b$ berjajar setiap jarak $b$. Bilangan $a$ pasti jatuh di celah antara $bq$ dan $b(q+1)$; jarak dari $bq$ ke $a$ itulah $r$ — otomatis $0 \le r < b$. Keunikan: jika ada dua pasangan, $b(q-q') = r' - r$, padahal $|r'-r| < b$; satu-satunya kelipatan $b$ sekecil itu adalah $0$ → pasangannya sama persis.
−23 = 5(−5) + 2
sisa 2 memenuhi 0 ≤ 2 < 5.
−23 = 5(−4) − 3
sisa −3 < 0. Sisa tidak boleh negatif.
Lompatan teal sebanyak q kali sepanjang b menuju b·q; langkah kuning terakhir adalah sisa r. Tekan Putar untuk animasi.
Cek habis dibagi tanpa pembagian panjang
Ketik bilangan apa pun (maks. 9 digit) — mesin memeriksa kelima aturan sekaligus dan menunjukkan mengapa aturan itu bekerja.
Dari mana aturan 3 & 9 datang?
Karena $10 = 9 + 1$, maka $10 \equiv 1 \pmod 9$; perkalian apa pun dari 10 juga $\equiv 1$. Akibatnya $7245 = 7{\cdot}10^3 + 2{\cdot}10^2 + 4{\cdot}10 + 5 \equiv 7+2+4+5 = 18 \pmod 9$. Bilangan dan jumlah digitnya bersisa sama — itulah sumber aturannya. Karena $3 \mid 9$, aturan yang sama berlaku untuk 3.
Digit akhir 0 → habis dibagi 2, 5, 10; jumlah digit 3+6+0 = 9 → habis dibagi 3 dan 9. Satu bilangan, lima kriteria lolos semua!
Dua bilangan, satu posisi sisa
Sisa dari algoritma pembagian menjadi dasar kongruensi — bayangkan bilangan berjalan melingkar seperti jarum jam.
$a \equiv b \pmod m$ dibaca "a kongruen b modulo m" jika:
Asal-usul: dari algoritma pembagian, $a = mq_1 + r_1$ dan $b = mq_2 + r_2$. Selisihnya $a - b = m(q_1 - q_2) + (r_1 - r_2)$. Jika sisa sama ($r_1 = r_2$), selisihnya murni kelipatan $m$ — dan sebaliknya. Jadi sisa sama ⟺ selisih kelipatan m.
Sifat 2.6 · modulo boleh dijumlah & dikali
Jika $a \equiv b \pmod m$ dan $c \equiv d \pmod m$, maka $a + c \equiv b + d \pmod m$ dan $ac \equiv bd \pmod m$. Inilah fondasi perhitungan modulo pada kriptografi, sistem jam, dan penanggalan.
17 − 5 = 12, 6 ∣ 12
→ 17 ≡ 5 (mod 6); keduanya bersisa 5.
17 − 6 = 11, 6 ∤ 11
→ 17 ≢ 6 (mod 6); sisa 5 vs 0.
Ring teal berjalan $a$ langkah, ring kuning $b$ langkah. Berhenti di titik yang sama → kongruen.
Prima, komposit, dan saringan Eratosthenes
Setiap bilangan > 1 adalah prima (tepat dua pembagi) atau komposit. Angka 1 bukan keduanya — dan di sinilah teori bilangan mulai seru.
Prima $p > 1$: pembagi positifnya hanya $1$ dan $p$. Komposit $n > 1$: punya pembagi positif lain.
1 bukan prima dan bukan komposit. Prima dituntut punya tepat dua pembagi positif; angka 1 hanya punya satu. Jangan sampai terjebak soal ini di ujian.
Teorema 2.5 · Lemma Euclid
Jika $p$ prima dan $p \mid ab$, maka $p \mid a$ atau $p \mid b$. Contoh: $5 \mid 15 \cdot 14$ karena $5 \mid 15$. Lemma inilah kunci keunikan faktorisasi prima pada lembar berikutnya.
Prima ditemukan: 0/25
Mengurai bilangan jadi "DNA"-nya
Teorema Dasar Aritmetika (2.6): faktorisasi prima setiap $n>1$ itu unik — urutan boleh berbeda, isi selalu sama, seperti DNA.
Setiap $n > 1$ terurai sempurna dan tunggal:
Asal-usul $\tau(n)$: setiap pembagi dibangun dengan memilih pangkat untuk tiap prima — untuk $p_i$ ada $a_i{+}1$ pilihan ($0, 1, \dots, a_i$). Aturan perkalian kombinasi langsung memberi hasilnya. Contoh pegangan: $360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5 \Rightarrow \tau = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24$ pembagi.
$90 = 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 5 = 3 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3$ — urutan bebas, tetapi faktor dan banyaknya selalu sama. Hanya cara jalannya yang berbeda.
Tangga vs Pohon
Dua cara yang sama sahih: tangga membagi berulang dengan prima terkecil; pohon memecah bebas lalu mengumpulkan daun primanya. Coba keduanya di mesin — hasil akhirnya pasti identik.
Pangkat terkecil vs pangkat terbesar
FPB mengambil prima yang sama dengan pangkat terkecil; KPK mengambil semua prima dengan pangkat terbesar. Selalu berlaku: FPB · KPK = a · b.
Asal-usul: FPB = pembagi perseketuan terbesar → tiap primanya harus ada di keduanya (ambil yang lebih kecil). KPK = kelipatan bersama terkecil → harus memuat semua prima (ambil yang lebih besar). Identitas FPB · KPK $= a \cdot b$ lahir dari $\min(\alpha,\beta) + \max(\alpha,\beta) = \alpha + \beta$ untuk setiap prima.
$36 = 2^2 3^2$ dan $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ → FPB $= 2^2 \cdot 3 = $ 12, KPK $= 2^2 3^2 \cdot 5 = $ 180. Cek: $12 \cdot 180 = 2160 = 36 \cdot 60$.
Euclid: FPB tanpa faktorisasi
Algoritma Euclid menghitung FPB hanya dengan pembagian berulang: $\text{FPB}(a,b) = \text{FPB}(b,\ r)$ dengan $r$ = sisa $a \div b$; berhenti saat sisa 0. Asalnya Teorema 2.3: pembagi bersama $a$ dan $b$ pasti juga membagi $a - bq = r$.
Tidak perlu uji semua — cukup sampai √n
Teorema 2.8: jika $n$ komposit, $n$ pasti punya faktor prima $p \le \sqrt{n\,}$. Uji sedikit, simpulkan banyak.
Asal-usul (kontradiksi): tulis $n = p \cdot q$. Andai $p > \sqrt{n}$ dan $q > \sqrt{n}$, maka $pq > n$ — mustahil, sebab $pq$ memang $n$. Jadi salah satunya $\le \sqrt{n}$; faktor kecil itu (atau pembagi primanya) pasti $\le \sqrt{n}$.
√97 ≈ 9,85 → cukup uji 2, 3, 5, 7. Ganjil (tolak 2); jumlah digit 16 (tolak 3); akhiran bukan 0/5 (tolak 5); $97 = 7 \cdot 13 + 6$ (tolak 7). Semanya gugur → 97 prima.
Delapan kartu di atas meja
Lembar gelap untuk yang wajib melekat: delapan rumus inti Bab 2. Baca ulang sebelum kuis — semua sudah kamu pahami asal-usulnya.
Tugasnya temukan k — bukan membagi.
Pasangan (q, r) selalu ada dan tunggal.
3·9 → jumlah digit
Sumbernya 10 ≡ 1 (mod 9).
Sisa sama ↔ selisih kelipatan m.
$a \mid b,\ a \mid c \Rightarrow a \mid mb{+}nc$
Substitusi & faktorisasi.
360 → 2³·3²·5 → 24 pembagi.
FPB · KPK = a · b
36 & 60 → 12 dan 180.
97 prima; 91 = 7 × 13 komposit.
Kuis interaktif: 12 soal berpoin
Jawab langsung — penjelasan muncul seketika untuk setiap jawaban, benar ataupun salah. Tidak ada penalti untuk mencoba.
1. Baca soalnya pelan — hampir semua memakai contoh pegangan.
2. Ingat: mencari $k$ = membuktikan; sisa negatif = salah.
3. FPB min, KPK max; uji prima cukup $\sqrt{n\,}$.
"Jangan lihat skor sebagai nilai — lihat sebagai peta: bagian mana yang perlu kamu kunjungi ulang."
— Catatan penulis