DARI NOL SAMPAI BISA — DIJELASKAN DARI ASALNYA
FPB, KPK & Persamaan Diophantine
Mengapa FPB bisa dicari tanpa mendaftar semua faktor? Bagaimana KPK lahir dari FPB? Dan bagaimana semua itu menjawab pertanyaan kuno: “apakah $15x+21y=6$ punya jawaban bilangan bulat?” — Semua dibongkar langkah demi langkah, lengkap dengan mesin interaktif yang bisa kamu jalankan sendiri.
Mesin Euclid
Algoritma berusia ±2.300 tahun yang masih dipakai komputer modern untuk mencari FPB.
Identitas Bézout
Kunci ajaib: FPB selalu bisa ditulis sebagai kombinasi linear $ax+by$.
Diophantine
Persamaan yang menuntut solusinya berupa bilangan bulat — bulat, tidak boleh pecahan.
Contoh pegangan sepanjang materi
Kita memegang satu pasangan yang sama dari awal sampai akhir: $252$ & $105$ — FPB-nya $21$, Bézout-nya $21=-2(252)+5(105)$, KPK-nya $1260$. Satu contoh, semua konsep.
Peta Perjalanan: semua saling terhubung
FPB dipakai untuk mencari faktor terbesar yang dimiliki bersama dua bilangan bulat; KPK untuk kelipatan positif terkecil yang sama. Keduanya bertemu di satu titik: Algoritma Euclid — mesin yang tidak hanya menghitung FPB, tetapi juga melahirkan Identitas Bézout, dan Identitas Bézout-lah yang membuka pintu persamaan Diophantine.
Menyederhanakan pecahan sampai paling sederhana, membagi benda menjadi kelompok terbesar yang sama, dan menjadi “alat ukur” pembagi bersama dua bilangan.
Menyamakan penyebut pecahan, mempertemukan jadwal berulang (lampu, bus, sirene), dan semua masalah siklus yang berulang dengan periode berbeda.
Persamaan Diophantine menuntut solusi bilangan bulat. Tidak semua persamaan sanggup — dan FPB-lah hakim yang memutuskan boleh atau tidak.
Algoritma Euclid bukan sekadar cara cepat mencari FPB — ia adalah mesin yang menghasilkan Identitas Bézout, dan Identitas Bézoutlah yang membuat persamaan Diophantine bisa diselesaikan.
Apa itu FPB? Mulai dari nol
Sebelum berlari dengan algoritma, pahami dulu artinya: FPB adalah faktor terbesar yang dimiliki bersama oleh dua bilangan.
Faktor Persekutuan Terbesar
Misalkan $a$ dan $b$ bilangan bulat, paling sedikit satu tidak nol. FPB dari $a$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif terbesar $d$ yang memenuhi
Notasinya $\operatorname{FPB}(a,b)$ atau $\gcd(a,b)$. FPB selalu dinyatakan positif, walaupun bilangannya negatif atau nol.
“$d \mid a$” dibaca d membagi a, artinya $a/d$ bersisa nol. Syarat “paling sedikit satu tidak nol” penting — FPB$(0,0)$ tidak terdefinisi karena semua bilangan membagi $0$.
Tentukan FPB dari $24$ dan $36$
Klik tombol untuk menyorot faktor yang sama:
Faktor positif dari $36$:
Faktor persekutuannya: $1,2,3,4,6,12$ → yang terbesar $12$. Cara daftar faktor cocok untuk bilangan kecil; untuk bilangan besar seperti $1.071$ kita butuh mesin: Algoritma Euclid (slide 05).
Intuisi sehari-hari
Kamu punya 24 permen karet dan 36 permen jelly. FPB = 12 = banyak kantong terbanyak yang bisa dibuat supaya tiap kantong isinya sama rata dan tidak ada permen yang tersisa.
Lima Sifat FPB — amunisi untuk Euclid
Sifat-sifat ini kelak menjadi “bahan bakar” Algoritma Euclid. Hafalkan polanya, bukan hanya rumusnya — setiap sifat diberi contoh kilat.
Urutan tidak penting. Contoh: $FPB(105,252)=FPB(252,105)=21$.
Semua bilangan membagi $0$, jadi pembagi bersama terbesarnya $|a|$ sendiri. Inilah titik berhenti Euclid nanti.
Pembagi terbesar sebuah bilangan adalah dirinya: $FPB(6,6)=6$.
Setelah dibagi FPB-nya ($d=FPB(a,b)$), sisanya relatif prima. Contoh: $252/21=12$, $105/21=5$, dan $FPB(12,5)=1$.
Contoh: $FPB(30,45)=15\cdot FPB(2,3)=15\cdot 1=15$. Skala keluar dari FPB seperti faktor.
Dari mana asalnya?
Sifat 2 & 3 langsung dari definisi. Sifat 5 dari faktorisasi prima: mengalikan dengan $k$ menaikkan pangkat faktor yang sama, dan min$(\alpha,\beta)$ ikut terkalikan $k$. Sifat 1–3 inilah yang dipakai Euclid untuk “mengecilkan” pasangan bilangan.
Ide besar menuju Euclid: jika kita bisa mengganti pasangan $(a,b)$ dengan pasangan lain yang FPB-nya sama tetapi angkanya lebih kecil — ulangi terus sampai ketemu. Itulah seluruh isi Algoritma Euclid.
Teorema Kunci: ganti yang besar dengan sisanya
Satu teorema kecil ini adalah jantung Algoritma Euclid — dan buktinya hanya butuh algoritma pembagian. Jalankan stepper buktinya langkah demi langkah.
Sifat Dasar Algoritma Euclid
Jika $a,b\in\mathbb{Z}$ dengan $a>b>0$, maka
Artinya: FPB pasangan $(a,b)$ sama persis dengan FPB pasangan $(b,r)$ dengan $r$ = sisa $a$ dibagi $b$. Angkanya mengecil, FPB-nya tidak berubah.
Titik awal bukti: algoritma pembagian
Setiap pasangan bilangan bulat bisa ditulis $a=bq+r$ dengan $0\le r<b$ (bagi $a$ dengan $b$, dapat hasil $q$ dan sisa $r$). Contoh: $252=105\cdot 2+42$.
Prosedur & contoh pegangan 252 dan 105
Perhatikan: tidak ada satu pun daftar faktor. Euclid hanya membagi, ambil sisa, ulangi — sampai sisa nol.
- Bagi $a$ dengan $b$, tentukan sisanya $r$.
- Ganti pasangan: bilangan baru = $(b,\;r)$ — yang besar diganti sisanya.
- Ulangi sampai sisa $r=0$.
- Sisa tak-nol terakhir (pembagi pada langkah akhir) itulah FPB.
Sisa selalu mengecil ketat: $b>r_1>r_2>\cdots\ge 0$. Barisan bilangan bulat positif yang terus mengecil tidak mungkin berjalan selamanya — pasti sampai nol.
1071 = 462·2 + 147
462 = 147·3 + 21
147 = 21·7 + 0
Coba daftar faktornya? 1071 punya 8 faktor, 462 punya 12 — Euclid menyelesaikannya hanya dengan 3 pembagian.
Mesin Euclid — jalankan sendiri!
Masukkan dua bilangan bulat positif, tekan Jalankan, dan saksikan mesin membagi langkah demi langkah. Warna: dividen · pembagi · hasil bagi · sisa.
Coba juga
391 & 299 (latihan 3.1), 1248 & 936, atau pasangan besar seperti 99999 & 12345 — mesin tetap singkat karena jumlah langkah Euclid hanya tumbuh seperti jumlah digit (teorema Lamé).
versi Pengurangan & FPB banyak bilangan
Sebelum pembagian ditemukan sebagai senjata utama, ada versi yang lebih sederhana: kurangi terus. Plus: bagaimana jika bilangannya tiga?
Dari mana asalnya? Kasus khusus Teorema 3.1 dengan $q=1$: karena $a = b\cdot 1 + (a-b)$, maka pembagi bersama $(a,b)$ = pembagi bersama $(a-b,b)$.
Untuk pasangan $(252,105)$ versi pengurangan butuh belasan langkah; pembagian cukup 3. Semakin besar selisihnya, semakin jelas pembagian menang.
Proses bertahap (asosiatif)
Ambil FPB dua bilangan dulu, hasilnya diajak FPB dengan bilangan ketiga — lanjut terus untuk lebih banyak bilangan.
FPB(48,72) = 24 → 48=24·2, 72=24·3
FPB(24,120) = 24 → 120=24·5
$48=2^4{\cdot}3$, $72=2^3{\cdot}3^2$, $120=2^3{\cdot}3{\cdot}5$ → ambil pangkat terkecil tiap prima: $2^3\cdot 3 = 24$. Cocok dengan hasil bertahap!
FPB banyak bilangan = ambil pangkat terkecil setiap faktor prima; KPK banyak bilangan = ambil pangkat terbesar. Min dan max — ingat pasangan ini.
FPB bisa dijumlahkan: Identitas Bézout
Ini konsep paling penting di bab ini. FPB bukan hanya pembagi terbesar — ia selalu bisa dibangun dari kedua bilangannya lewat kombinasi linear.
FPB = kombinasi linear
Untuk $a,b$ bulat yang tidak keduanya nol, selalu ada $x,y\in\mathbb{Z}$ sehingga
Bilangan $x$ dan $y$ disebut koefisien Bézout. Boleh negatif — tidak masalah, kita di dunia bilangan bulat.
Bentuk $ax+by$ dengan $x,y\in\mathbb{Z}$: jumlahan kelipatan $a$ dan kelipatan $b$. Contoh dari $252$ & $105$:
Perhatikan: semua hasil di atas habis dibagi $21$ — karena $21$ membagi $252$ dan $105$, ia membagi kombinasi linearnya (Teorema 3.4). Bézout menjamin $21$ sendiri ikut hadir di daftar itu.
Bentuk $ax+by$ dengan $x,y\in\mathbb{Z}$: jumlahan kelipatan $a$ dan kelipatan $b$. Contoh dari $252$ & $105$:
Perhatikan: semua hasil di atas habis dibagi $21$ — karena $21$ membagi $252$ dan $105$, ia membagi kombinasi linearnya (Teorema 3.4). Bézout menjamin $21$ sendiri ikut hadir di daftar itu.
Pembuktian ini bukan hanya membuktikan — ia menunjukkan di mana koefisien Bézout tinggal: tersembunyi di dalam langkah-langkah Algoritma Euclid, tinggal kita gali dengan substitusi mundur (slide berikutnya).
Menggali koefisien: substitusi mundur
Mulai dari sisa tak-nol terakhir Euclid, uraikan mundur sampai ketemu $252$ dan $105$. Perhatikan bagaimana angka 42 dan 21 “ditimbun” menjadi kombinasi.
Langkah Euclid:
252 = 105·2 + 42
105 = 42·2 + 21
42 = 21·2 + 0
Substitusi mundur dari sisa 21:
21 = 105 − 42·2
42 = 252 − 105·2
21 = 105 − 2(252 − 105·2)
21 = −2·252 + 5·105 ✓
99=78·1+21 → 78=21·3+15 → 21=15·1+6 → 15=6·2+3 → 6=3·2+0
Mundur: $3=15-2\cdot6$ → $3=3(15)-2(21)$ → $3=3(78)-11(21)$ →
Jangan hafal — pahami polanya
Setiap baris Euclid menulis sisa $r$ dari dua bilangan sebelumnya. Mundur = ganti setiap sisa dengan bentuknya, lalu rapikan. Koefisien hasil tidak tunggal (slide 12), tapi selalu ada.
Salah koefisien? Cukup cek: $-2(252)+5(105) = -504+525 = 21$ ✓. Selalu uji jawabanmu dengan substitusi balik.
Mesin Bézout — tabel Euclid diperluas
Mesin ini menambahkan dua kolom pada tabel Euclid: $s$ dan $t$, yaitu koefisien terhadap $a$ dan $b$. Setiap baris selalu memenuhi $r = s\cdot a + t\cdot b$ — baris terakhir tak-nol adalah koefisien Bézout!
| i | q | r | s | t |
|---|---|---|---|---|
| — | — | — | — | — |
−2·252 + 5·105 = −504 + 525 = 21 ✓
Dari mana kolom s & t berasal?
Baris pertama: $a = 1{\cdot}a + 0{\cdot}b$ → $(s,t)=(1,0)$. Baris kedua: $b = 0{\cdot}a+1{\cdot}b$ → $(0,1)$. Baris baru $r=r_{\text{ Lama}}-q\,r_{\text{lama}}$ ikut aturan yang sama pada koefisien: $s=s_1-q\,s_2$, $t=t_1-q\,t_2$.
Koefisien tidak tunggal & dua konsekuensi penting
Kalau $(x_0,y_0)$ kunci Bézout, ada tak hingga pasangan kunci lain. Dan dari sini lahir “hakim” untuk persamaan Diophantine.
Jika $ax_0+by_0=d$ dengan $d=FPB(a,b)$, seluruh pasangan solusinya:
Kenapa? Menambah $\tfrac{b}{d}t$ ke $x$ menambah $a\cdot\tfrac{b}{d}t$; mengurangi $\tfrac{a}{d}t$ dari $y$ mengurangi tepat sebesar itu juga, karena $a\cdot\tfrac{b}{d} = b\cdot\tfrac{a}{d}$. Nilai totalnya tidak berubah.
x = −2 + 5t , y = 5 − 12t
Untuk $t=1$: dapat $(x,y)=(3,-7)$. Cek: $252(3)+105(-7)=756-735=21$ ✓ — pasangan berbeda, hasil sama.
$d>0$ adalah FPB$(a,b)$ jika dan hanya jika: (1) $d\mid a$ dan $d\mid b$; (2) ada $x,y$ bulat dengan $ax+by=d$. FPB = pembagi bersama sekaligus kombinasi linear terkecil positif.
Apakah $18x+30y=7$ punya solusi bulat? Karena $FPB(18,30)=6$, setiap kombinasi $18x+30y$ pasti kelipatan 6. Tetapi $7$ tidak habis dibagi 6 → tidak ada solusi. Inilah embrio Teorema 3.6 (slide 17).
Intuisi Teorema 3.4
$d$ membagi $a$ dan $b$ → $d$ membagi $ax$ dan $by$ → $d$ membagi jumlahnya $ax+by$. Serupa koin Rp100 dan Rp500: berapapun kombinasi jumlahnya, nilainya selalu kelipatan Rp100.
KPK — bertemu di kelipatan terkecil
Jika FPB mencari pembagi bersama terbesar, KPK mencari kebalikannya: kelipatan bersama yang terkecil.
Kelipatan Persekutuan Terkecil
Untuk $a,b$ bulat positif, KPK adalah bilangan positif terkecil $m$ yang memenuhi
Notasi: $KPK(a,b)$ atau $\mathrm{lcm}(a,b)$. Contoh 3.10: kelipatan $8$: $8,16,\mathbf{24},32,40,48\dots$; kelipatan $12$: $12,\mathbf{24},36,48\dots$ → bertemu pertama kali di $24$.
Untuk apa KPK?
Menyamakan penyebut pecahan, mempertemukan jadwal berulang (lampu, bus), menghitung siklus yang berulang dengan periode berbeda.
Dua jalan cepat: faktorisasi prima & rumus FPB×KPK
Mendaftar kelipatan berhenti di sini — untuk bilangan besar, pakai pangkat prima atau cukup FPB yang sudah bisa dihitung Euclid.
Jika $a=\prod p_i^{\alpha_i}$ dan $b=\prod p_i^{\beta_i}$ maka
Contoh 3.11: $72=2^3 3^2$, $120=2^3\cdot3\cdot5$ → $KPK=2^{\mathbf{3}}3^{\mathbf{2}}5^{\mathbf{1}}=360$.
KPK ambil max, FPB ambil min — karena $\min+\max=\alpha+\beta$ itulah asal $FPB\cdot KPK=ab$!
Asalnya: pangkat tiap prima di $ab$ adalah $\alpha_i+\beta_i$, dan $\min+\max = \alpha+\beta$. Satu kesamaan kecil yang menghasilkan rumus besar.
KPK = 252·105 / 21 = 12·105
Contoh 3.13: $KPK(6,8)=24$, lalu $KPK(24,15)=120$ → $KPK(6,8,15)=\mathbf{120}$.
$8\cdot12=96$ dan $FPB(8,12)=4$, $KPK=24$: benar $4\cdot24=96$. Uji di kepala: hasil kali FPB×KPK harus tepat sama dengan $a\cdot b$.
$KPK(a,b)=\frac{ab}{FPB(a,b)}$ — bukan $\frac{a}{d}\cdot\frac{b}{d}$. Bagi hanya sekali, oleh FPB.
Mesin KPK — Euclid + diagram prima
Tiga panggung: (1) FPB lewat Euclid, (2) diagram batang pangkat prima — pemenang tiap prima berbingkai oker, (3) hasil akhir dicek silang dua rumus.
120 = 72·1 + 48
72 = 48·1 + 24
48 = 24·2 + 0
Tebak dulu, baru jalankan
Sebelum menekan tombol, coba hitung sendiri dengan pangkat prima. Lalu cocokkan: KPK lewat $\frac{ab}{d}$ harus sama dengan hasil kali pangkat max. Dua jalan, satu tujuan.
Dua lampu, dua irama — KPK yang hidup
Contoh 3.14: Lampu A berkedip tiap 12 detik, lampu B tiap 18 detik. Keduanya menyala bersama di detik ke-0. Kapan mereka menyala bersama lagi? Tonton simulasinya.
Lampu A · tiap 12 dtk
Lampu B · tiap 18 dtk
Kedua lampu bersama lagi pada waktu $KPK(12,18)$:
12 = 2²·3 · 18 = 2·3²
KPK = 2²·3² = 36
Bertemu di kelipatan 12 dan kelipatan 18: 36, 72, 108… yang pertama = 36. Perhatikan di garis waktu: titik A (teal) dan titik B (violet) baru sejajar sempurna di 36.
Latihan 3.3 — Dua bus
Bus P berangkat tiap 20 menit, bus Q tiap 30 menit, bersama pukul 07.00. $KPK(20,30)=60$ menit → berangkat bersama lagi pukul 08.00.
Sekarang pertanyaan besarnya: bolehkah solusinya pecahan?
Persamaan Diophantine menuntut solusi bilangan bulat. Tidak semua persamaan sanggup — dan hakim yang memutuskan adalah FPB.
Persamaan Diophantine Linear
Bentuk umumnya:
dengan $x,y$ wajib bilangan bulat. Contoh 3.15: $2x+3y=7$ punya solusi bulat $(x,y)=(2,1)$ sebab $2(2)+3(1)=7$.
Bukti “$\Rightarrow$”: jika $ax+by=c$, maka $d\mid ax$, $d\mid by$ → $d\mid c$ (Teorema 3.4). Bukti “$\Leftarrow$”: Bézout memberi $au+bv=d$; kalikan $\tfrac{c}{d}$: $a\,u\tfrac{c}{d}+b\,v\tfrac{c}{d}=c$ — jadilah solusi! ∎
$15x+21y=6$: karena $FPB(15,21)=3$ dan $3\mid 6$ → ada solusi bulat. (Contoh pegangan kita di tiga slide ke depan!)
$15x+21y=5$: FPB-nya tetap $3$, tetapi $3\nmid 5$ → tidak ada solusi bulat. Percuma mencari — hakim sudah bicara.
Kenapa nama Diophantine?
Dari Diophantus dari Alexandria (± 250 M), matematikawan Yunani yang bukunya Arithmetica penuh persamaan yang solusinya harus rasional/bulat. Fermot membaca buku ini lalu menulis teorema terkenalnya di margin.
Menemukan satu solusi (solusi khusus)
Resepnya: Bézout untuk FPB, lalu kalikan skala $\tfrac{c}{d}$. Kita bedah contoh pegangan $15x+21y=6$ sampai tuntas.
- Hitung $d=FPB(a,b)$ dengan Euclid.
- Cek syarat: apakah $d\mid c$? (kalau tidak — stop, tak ada solusi)
- Temukan Bézout: $au+bv=d$ (substitusi mundur).
- Kalikan seluruh persamaan dengan $\tfrac{c}{d}$.
- Peroleh solusi khusus $x_0=u\tfrac{c}{d}$, $y_0=v\tfrac{c}{d}$.
Solusi khusus wajib dicek: hitung $ax_0+by_0$, harus tepat $c$. Lima detik untuk menghindari salah tanda.
① d = FPB(15,21) = 3 , dan 3 | 6 ✓
② Euclid: 21 = 15·1 + 6 ; 15 = 6·2 + 3
③ Mundur: 3 = 15 − 2(21 − 15)
= 3·15 − 2·21 → u = 3, v = −2
④ Skala c/d = 6/3 = 2 : kalikan dua
Cek: $15(6)+21(-4)=90-84=\mathbf{6}$ ✓
Aneh tapi benar
Solusi khusus boleh negatif ($y_0=-4$). Itu bukan masalah — ia hanya “titik pijakan”. Dari pijakan ini kita membangkitkan semua solusi lain (slide berikut).
Solusi umum — tak hingga tapi tertata
Semua solusi bulat $15x+21y=6$ duduk rapi pada satu garis, berjarak tetap. Geser slider $t$ dan lihat titik melompat dari solusi ke solusi.
Jika $(x_0,y_0)$ solusi khusus dan $d=FPB(a,b)$, seluruh solusi bulatnya:
dengan $t\in\mathbb{Z}$. Asalnya: kurangkan dua solusi → $a(x-x_0)+b(y-y_0)=0$; bagi $d$ → $a_1(x-x_0)=-b_1(y-y_0)$ dengan $FPB(a_1,b_1)=1$, maka $b_1$ harus membagi $(x-x_0)$ — itulah $t$.
x = 6 + 7t , y = −4 − 5t
t = 0 → (6, −4) · t = 1 → (13, −9) · t = −1 → (−1, 1) — semuanya memenuhi $15x+21y=6$.
Langkah $x$ sebesar $\tfrac{b}{d}=\tfrac{21}{3}=7$ harus diimbangi langkah $y$ sebesar $-\tfrac{a}{d}=-\tfrac{15}{3}=-5$: tepat $15\cdot7 - 21\cdot5 = 105-105 = 0$.
15·6 + 21·(−4) = 90 − 84 = 6 ✓
Mesin Diophantine — dari FPB sampai solusi umum
Mesin pamungkas: empat panggung otomatis. Coba juga kombinasi mustahil seperti $a=15, b=21, c=5$ dan lihat mesin menolak dengan sopan.
Eksperimen seru
(14, 21, 35) solusi cantik; (8, 12, 20) bisa disederhanakan dulu; (25, 15, 10) koefisien FPB 5; dan (12, 18, 7) akan ditolak mesin — FPB 6 tidak membagi 7.
Mesin menerima $a,b$ positif dan $c$ boleh negatif. Untuk koefisien negatif seperti $18x-30y=12$, lihat pembahasan slide 21: FPB pakai nilai mutlak, solusi umum pakai tanda asli.
Koefisien negatif & solusi yang harus positif
Dua tantangan penutup teori: bagaimana jika ada tanda minus, dan bagaimana jika konteks melarang solusi negatif?
d = FPB(18, 30) = 6 , 6 | 12 ✓ (pakai nilai mutlak)
Bézout: 6 = 2·18 − 1·30 (b = −30!)
Skala ×2: 12 = 4·18 − 2·30 → x₀ = 4, y₀ = 2
Cek t=0: $18(4)-30(2)=72-60=12$ ✓. Rumus umum tetap $x=x_0+\tfrac{b}{d}t$ — dengan $b=-30$, makanya tanda $t$ ikut terbalik.
Saat menghitung $d$: gunakan nilai mutlak koefisien. Saat menulis solusi umum: gunakan koefisien sesuai tanda aslinya di persamaan.
Solusi khusus $(3,2)$ karena $3(3)+5(2)=19$. Umum: $x=3+5t$, $y=2-3t$. Syarat positif:
Ganjilnya bertemu: satu-satunya nilai $t$ yang memenuhi keduanya adalah $t=0$ → solusi positif tunggal $(x,y)=(3,2)$.
Pola penting
Tak hingga solusi bulat + batasan positif = solusi jadi terbatas (bisa tunggal, bisa beberapa, bisa kosong). Selalu selesaikan pertidaksamaan $t$!
Uang pas di kasir — Diophantine di kehidupan nyata
Contoh 3.23: Koperasi menjual buku tulis Rp4.000 dan pulpen Rp6.000. Seseorang ingin membelanjakan tepat Rp30.000. Berapa banyak buku & pulpen yang mungkin?
0·4000 + 5·6000 = 30.000 ✓
(x, y) = (0, 5)
3·4000 + 3·6000 = 30.000 ✓
(x, y) = (3, 3)
6·4000 + 1·6000 = 30.000 ✓
(x, y) = (6, 1)
Langkah emas kontekstual
Sederhanakan dulu: bagi semua suku dengan FPB koefisien (di sini 2000) sebelum mencari solusi. Angka kecil = langkah pendek = salah sedikit.
Uji dirimu — klik untuk membuka pembahasan
Enam soal pilihan dari Latihan 3.1–3.4. Kerjakan di kertas dulu, baru buka pembahasannya. Jujur pada diri sendiri!
FPB dari $84$ dan $126$ dengan daftar faktor?
84 = 1,2,3,4,6,7,12,14,21,28,42,84
126 = 1,2,3,6,7,9,14,18,21,42,63,126
Persekutuan terbesar: 42.
FPB dari $391$ dan $299$ dengan Algoritma Euclid?
391 = 299·1 + 92
299 = 92·3 + 23
92 = 23·4 + 0
KPK dari $18$ dan $30$?
$18=2\cdot3^2$, $30=2\cdot3\cdot5$ → $KPK=2\cdot3^2\cdot5=90$.
Cek silang: $FPB(18,30)=6$, dan $18\cdot30/6=90$ ✓
Apakah $12x+18y=7$ punya solusi bulat?
$FPB(12,18)=6$ dan $6\nmid 7$ → oleh Teorema 3.6, tidak ada solusi bulat.
Satu solusi khusus dari $14x+21y=35$?
d = 7 , 7 | 35 ✓ ; Bézout: 7 = −1·14 + 1·21
Skala ×5: 35 = −5·14 + 5·21
Pensil Rp2.000, buku Rp5.000, total pas Rp25.000. Kemungkinannya?
2x + 5y = 25 → x = (25 − 5y)/2 bulat saat y ganjil:
y=1 → x=10 · y=3 → x=5 · y=5 → x=0
Soal 6 menutup lingkaran: dari Algoritma Euclid sampai daftar belanja. Jika keenam ini terasa mudah — kamu sudah menguasai Bab 3.
Kartu hafalan — delapan rumus, satu halaman
Potret halaman ini di kepala. Setiap kartu mencantumkan asal-usulnya — supaya saat lupa rumus, kamu bisa membangunnya ulang.
Bab 3 dalam satu napas: Euclid memberi FPB, FPB memberi Bézout, Bézout memberi syarat dan solusi Diophantine, dan FPB×KPK = ab merangkai semuanya.