ℂ

Bilangan Kompleks

Mengenal bilangan real, imajiner, dan operasi dasar bilangan kompleks

🌱 1. Pengertian Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks digunakan untuk menyelesaikan persamaan yang tidak memiliki solusi dalam bilangan real.

Contoh:

$x^2+1=0$

Sehingga:

$x^2=-1$

Untuk itu diperkenalkan bilangan imajiner:

$i=\sqrt{-1}$

$\boxed{i^2=-1}$

🔷 2. Bentuk Bilangan Kompleks

Bilangan kompleks secara umum ditulis dalam bentuk:

$\boxed{z=a+bi}$

Dengan:

🔹 $z$ = bilangan kompleks

🔹 $a$ = bagian real

🔹 $b$ = koefisien imajiner

🔹 $i$ = unit imajiner

Contoh:

$z=3+2i$

Pada bilangan tersebut:

Bagian	Nilai
Bagian real	$3$
Koefisien imajiner	$2$
Suku imajiner	$2i$
Unit imajiner	$i=\sqrt{-1}$

🧠 3. Bagian Real dan Bagian Imajiner

Untuk bilangan kompleks:

$z=a+bi$

Bagian real ditulis:

$\boxed{\operatorname{Re}(z)=a}$

Dibaca “Re dari z” atau “bagian real dari z”.

Bagian imajiner ditulis:

$\boxed{\operatorname{Im}(z)=b}$

Dibaca “Im dari z” atau “bagian imajiner dari z”.

📌 Contoh

Jika:

$z=3+2i$

maka:

$\boxed{\operatorname{Re}(z)=3}$

$\boxed{\operatorname{Im}(z)=2}$

⚠️ Perlu dibedakan:

$2$ = koefisien imajiner

$2i$ = suku imajiner

🔵 4. Bilangan Real sebagai Bilangan Kompleks

Setiap bilangan real dapat ditulis sebagai bilangan kompleks dengan bagian imajiner bernilai nol.

Contoh:

$5=5+0i$

Sehingga:

$\operatorname{Re}(z)=5$

$\operatorname{Im}(z)=0$

Demikian pula:

$6i=0+6i$

Sehingga:

$\operatorname{Re}(z)=0$

$\operatorname{Im}(z)=6$

🔄 5. Pangkat Bilangan Imajiner $i$

Karena:

$i^2=-1$

maka:

$i^3=i^2\cdot i=-i$

$i^4=i^2\cdot i^2=(-1)(-1)=1$

Dengan demikian, pola pangkat $i$ adalah:

$\boxed{i,\;-1,\;-i,\;1}$

Pola tersebut berulang setiap empat pangkat.

\[ \begin{aligned} i^1 &= i\\ i^2 &= -1\\ i^3 &= -i\\ i^4 &= 1\\ i^5 &= i\\ i^6 &= -1\\ i^7 &= -i\\ i^8 &= 1 \end{aligned} \]

💡 Ingat: pola pangkat $i$ berulang setiap 4 pangkat.

➕ 6. Penjumlahan Bilangan Kompleks

Untuk menjumlahkan bilangan kompleks, gabungkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Misalkan:

$z_1=3+2i$

$z_2=5+4i$

Maka:

\[ \begin{aligned} z_1+z_2 &=(3+2i)+(5+4i)\\ &=(3+5)+(2i+4i)\\ &=8+6i \end{aligned} \]

$\boxed{z_1+z_2=8+6i}$

Secara umum:

$\boxed{(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}$

➖ 7. Pengurangan Bilangan Kompleks

Untuk pengurangan, kurangkan bagian real dengan bagian real dan bagian imajiner dengan bagian imajiner.

Contoh:

$(7+5i)-(3+2i)$

Maka:

\[ \begin{aligned} (7+5i)-(3+2i) &=(7-3)+(5i-2i)\\ &=4+3i \end{aligned} \]

$\boxed{4+3i}$

Secara umum:

$\boxed{(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}$

✖️ 8. Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian bilangan kompleks dilakukan seperti perkalian aljabar biasa.

Contoh:

$(2+i)(3+i)$

Kalikan setiap suku:

\[ \begin{aligned} (2+i)(3+i) &=6+2i+3i+i^2 \end{aligned} \]

Karena:

$\boxed{i^2=-1}$

maka:

\[ \begin{aligned} 6+2i+3i+i^2 &=6+2i+3i-1\\ &=5+5i \end{aligned} \]

$\boxed{(2+i)(3+i)=5+5i}$

🎯 9. Ringkasan

Bentuk umum: $\boxed{z=a+bi}$

Bagian real: $\boxed{\operatorname{Re}(z)=a}$

Bagian imajiner: $\boxed{\operatorname{Im}(z)=b}$

Unit imajiner: $\boxed{i=\sqrt{-1}}$

Aturan utama: $\boxed{i^2=-1}$

Pola pangkat: $\boxed{i,\;-1,\;-i,\;1}$

Penjumlahan: $\boxed{\text{real + real, imajiner + imajiner}}$

Pengurangan: $\boxed{\text{real - real, imajiner - imajiner}}$

Perkalian: gunakan perkalian aljabar dan $\boxed{i^2=-1}$

🌟 Inti Materi

Bilangan kompleks memiliki bagian real dan bagian imajiner. Bentuk dasarnya adalah $z=a+bi$. Kunci utama yang harus selalu diingat adalah:

$\boxed{i^2=-1}$