Bilangan Kompleks — z = a + bi, i² = −1

z = a + bi · i² = −1

i^23 = −i · (5+5i)/(2+i) = 3+i

Kalkulus Kompleks · Pondasi Nol

Bilangan Kompleks

Oleh : Rohmad Wahid Rhomdani

Topik

Mengenal bilangan real, imajiner, dan operasi dasar bilangan kompleks — pondasi sebelum masuk fungsi kompleks.

Satu kunci utama

i² = −1
Segala perhitungan kompleks kembali ke sini.

01
Bentuk z = a + bibagian real, bagian imajiner, dan artinya
02
Pangkat i yang berulangpola i, −1, −i, 1 setiap 4 pangkat
03
Operasi dasar: +, −, ×, ÷plus konjugat & bidang Argand

Setelah materi ini: Fungsi Kompleks w = f(z) — pondasinya disiapkan hari ini.

Gulir ke bawah

SLIDE 02

Mengapa Perlu Bilangan Imajiner?

Bilangan kompleks lahir dari sebuah persamaan yang tidak punya solusi di dunia bilangan real:

x² + 1 = 0

Sehingga:

x² = −1

Masalahnya: tidak ada bilangan real yang dikuadratkan hasilnya negatif. Untuk itu diperkenalkan bilangan imajiner:

i = √−1

KELUAR DARI GARIS REAL

i² = −1

Inilah satu-satunya aturan baru yang kita butuhkan — semua operasi lain tetap aljabar biasa.

SLIDE 03

Bentuk Umum Bilangan Kompleks

Setiap bilangan kompleks dapat ditulis dalam bentuk:

z = a + bi

a · bagian real b · koefisien imajiner i · unit imajiner (√−1)

Contoh: z = 3 + 2i

Uraian bagian-bagiannya:

Bagian	Nilai
Bagian real	3
Koefisien imajiner	2
Suku imajiner	2i
Unit imajiner	i = √−1

Contoh lain

z = −4 + i

a = −4

z = 5 − 3i

b = −3

Bagian real & koefisien imajiner boleh negatif — tandanya arah berlawanan di bidang kompleks.

Anggap z seperti alamat: a = jarak mendatar, b = jarak vertikal.

SLIDE 04

Bagian Real & Bagian Imajiner

Untuk z = a + bi, kita punya dua notasi penting:

Re(z) = a

Dibaca “Re dari z” — bagian real dari z.

Im(z) = b

Dibaca “Im dari z” — koefisien bagian imajiner (tanpa i!).

z₁ = z₂ Re sama dan Im sama

Contoh · z = 3 + 2i

Bagian real

Re(z) = 3

Koef. imajiner

Im(z) = 2

Perlu dibedakan

Koefisien imajiner

Suku imajiner

Im(z) mengambil angkanya saja (2), bukan sukunya (2i). Kesalahan paling umum pemula!

SLIDE 05

Bilangan Real Adalah Bilangan Kompleks

Setiap bilangan real dapat ditulis sebagai bilangan kompleks dengan bagian imajiner nol. Begitu juga sebaliknya untuk bilangan murni imajiner:

Kasus 1 · Bilangan real

5 = 5 + 0i

Re(z)

Im(z)

Kasus 2 · Murni imajiner

6i = 0 + 6i

Re(z)

Im(z)

Jadi bilangan real hanyalah anggota keluarga besar bilangan kompleks.

ℝ ⊂ ℂ · setiap bilangan real adalah bilangan kompleks dengan Im = 0

SLIDE 06

Bidang Kompleks (Argand)

Karena z punya dua komponen (a dan b), kita bisa menggambarnya sebagai titik pada bidang: sumbu mendatar = real, sumbu tegak = imajiner. Geser slider dan lihat:

Bagian real — aa = 3

Koef. imajiner — bb = 2

z = 3 + 2i

Re(z)

Im(z)

Kompleks umum

Titik proyeksinya: garis putus-putus menunjukkan nilai a di sumbu real dan b di sumbu imajiner.

SLIDE 07

Pangkat Bilangan Imajiner i

Karena i² = −1, pangkat i saling terkait:

i³ = i² · i = −i

i⁴ = i² · i² = (−1)(−1) = 1

Karena i⁴ = 1, maka pola berulang setiap 4 pangkat:

i, −1, −i, 1

i¹ = i

i² = −1

i³ = −i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = −1

i⁷ = −i

i⁸ = 1

Rumus cepat

iⁿ = i^{(n mod 4)}

Cukup bagi n dengan 4, ambil sisanya: sisa 1 → i, sisa 2 → −1, sisa 3 → −i, sisa 0 → 1.

Pangkat ke-n n = 1

i¹ = in mod 4 = 1 → sama dengan i¹

Tantangan — klik untuk menguji:

Roda berputar 90° setiap kali dikali i — perhatikan jarum selalu kembali ke posisi awal setiap 4 langkah.

SLIDE 08

Penjumlahan Bilangan Kompleks

Gabungkan real dengan real dan imajiner dengan imajiner. Misalkan:

z₁ = 3 + 2i

z₂ = 5 + 4i

Maka:

z₁ + z₂ = (3+5) + (2+4)i = 8 + 6i

z₁ + z₂ = 8 + 6i

Bentuk umum

(a+bi) + (c+di)
= (a+c) + (b+d)i

Sama persis seperti mengumpulkan suku sejenis di aljabar biasa — i tidak pernah "bercampur" dengan bilangan real.

Di bidang Argand: penjumlahan = geser titik z₁ sejauh vektor z₂.

SLIDE 09

Pengurangan Bilangan Kompleks

Kebalikannya: kurangkan real dengan real, imajiner dengan imajiner. Contoh:

(7 + 5i) − (3 + 2i)

= (7−3) + (5−2)i = 4 + 3i

4 + 3i

Bentuk umum

(a+bi) − (c+di)
= (a−c) + (b−d)i

Hati-hati dengan tanda kurung dan tanda minus: minus di depan kurung mengubah tanda semua suku di dalamnya.

(2+i) − (4−3i) = (2−4) + (1+3)i = −2 + 4i
Perhatikan: −(−3i) menjadi +3i.

SLIDE 10

Perkalian Bilangan Kompleks

Dilakukan seperti perkalian aljabar biasa (kali silang), lalu gunakan kunci i² = −1. Contoh:

(2 + i)(3 + i)

Kali setiap suku:

= 6 + 2i + 3i + i²

Ganti i² = −1:

= 6 + 2i + 3i − 1 = 5 + 5i

PROSES PERKALIAN

① Kali silang

2·3 + 2·i + i·3 + i·i

② i² = −1

6 + 2i + 3i − 1

③ Kumpulkan

5 + 5i

(2+i)(3+i) = 5 + 5i

Rumus cepat:
(a+bi)(c+di) = (ac − bd) + (ad + bc)i
— ac−bd dari bagian real (karena i² bernilai real), ad+bc dari imajiner.

SLIDE 11

Senjata Rahasia: Konjugat

Konjugat dari z ditulis z̄ (dibaca “z garis”) — caranya cukup balik tanda bagian imajiner:

z = a + bi ⟶ z̄ = a − bi

Contoh: z = 3 + 2i maka z̄ = 3 − 2i.

Kenapa penting? Lihat apa yang terjadi jika z dikalikan konjugatnya:

z · z̄ = (a+bi)(a−bi) = a² + b²

Sifat kunci

z · z̄ = a² + b² (bilangan real!)

Bagian imajiner hilang total. Inilah alat untuk menghilangkan i dari pembagi — kunci teknik pembagian di slide berikutnya.

Di bidang Argand: z̄ adalah cerminan z terhadap sumbu real (dibalik atas-bawah).

SLIDE 12

Pembagian Bilangan Kompleks

Triknya: kalikan atas & bawah dengan konjugat pembagi — supaya penyebut menjadi bilangan real. Contoh (pakai hasil slide 10!):

(5 + 5i) ÷ (2 + i)

Kalikan dengan (2 − i) di atas dan bawah:

= (5+5i)(2−i) / (2+i)(2−i)

= (15 + 5i) / 5

= 3 + i

PROSES PEMBAGIAN

① × konjugat (2−i)

atas & bawah
sekaligus

② Pembilang

10−5i+10i−5i²
= 15 + 5i

③ Penyebut

2²+1² = 5
(real, aman!)

(5+5i)/(2+i) = 3 + i

Cek balik: (2+i)(3+i) = 5+5i ✓ — persis hasil perkalian di Slide 10!

SLIDE 13

Lab: Kalkulator Bilangan Kompleks

Saatnya bereksperimen. Atur z₁ dan z₂, pilih operasi, lalu amati hasil beserta langkah-langkah perhitungannya — termasuk trik konjugat untuk pembagian.

Bilangan Pertama

3 + 2i

Real aa = 3

Imajiner bb = 2

Bilangan Kedua

1 + i

Real cc = 1

Imajiner dd = 1

Hasil & Langkah

HASIL · w4 + 3i

Selesai

Coba operasi ÷ lalu geser c dan d — lihat bagaimana langkah konjugat otomatis menyesuaikan, dan hasil boleh berupa pecahan!

SLIDE 14

Ringkasan Lengkap

Semua yang perlu diingat dari sesi ini:

Bentuk umum: z = a + biBentuk
Bagian real: Re(z) = aKomponen
Bagian imajiner: Im(z) = b — tanpa i!Komponen
Unit imajiner: i = √−1Definisi
Aturan utama: i² = −1Kunci
Pola pangkat: i, −1, −i, 1 — berulang tiap 4Pola
Konjugat: z = a+bi → z̄ = a−bi; z·z̄ = a²+b²Senjata
Penjumlahan: (a+c) + (b+d)iOperasi
Pengurangan: (a−c) + (b−d)iOperasi
Perkalian: aljabar biasa + i² = −1Operasi
Pembagian: × konjugat pembagi di atas & bawahOperasi

SLIDE 15

Inti Materi

Bilangan kompleks itu apa?

Memiliki bagian real dan bagian imajiner, ditulis z = a + bi.

Kunci yang harus selalu diingat?

Satu saja: i² = −1. Selebihnya aljabar biasa.

Kalau sudah lancar operasinya, lanjut ke mana?

Memasukkan z ke dalam fungsi → w = f(z).

i² −1 · z = a + bi · semua mulai dari sini

Bersambung · Materi Berikutnya Fungsi Kompleks w = f(z) Mesin yang mengolah bilangan kompleks

Bilangan Kompleks #01 Pertemuan Pertama: Mengenal Bilangan Kompleks

Bilangan Kompleks

Mengapa Perlu Bilangan Imajiner?

Bentuk Umum Bilangan Kompleks

Bagian Real & Bagian Imajiner

Bilangan Real Adalah Bilangan Kompleks

Bidang Kompleks (Argand)

Pangkat Bilangan Imajiner i

Penjumlahan Bilangan Kompleks

Pengurangan Bilangan Kompleks

Perkalian Bilangan Kompleks

Senjata Rahasia: Konjugat

Pembagian Bilangan Kompleks

Lab: Kalkulator Bilangan Kompleks

Bilangan Pertama

Bilangan Kedua

Hasil & Langkah

Ringkasan Lengkap

Inti Materi