Fungsi Kompleks

Memahami konsep fungsi pada bilangan kompleks

🌱 1. Apa itu Fungsi Kompleks?

Sebelumnya kita sudah mengenal bilangan kompleks:

$z=a+bi$

Fungsi kompleks secara sederhana adalah aturan yang menerima bilangan kompleks sebagai input, kemudian menghasilkan bilangan kompleks sebagai output.

Ditulis:

$\boxed{w=f(z)}$

Dibaca: “w sama dengan f dari z” atau “w adalah fungsi dari z”.

Input

$z$

Bilangan kompleks yang dimasukkan ke dalam fungsi.

Fungsi

$f(z)$

Aturan yang digunakan untuk mengolah input.

Output

$w$

Hasil yang diperoleh setelah input diproses.

💡 2. Contoh Paling Sederhana

Misalkan:

$f(z)=z+2$

Diberikan:

$z=3+i$

Kita masukkan $z$ ke dalam fungsi:

$f(3+i)=(3+i)+2$

Sehingga:

$\boxed{f(3+i)=5+i}$

Jadi:

👉 Input: $3+i$

👉 Fungsi: $f(z)=z+2$

👉 Output: $5+i$

🔢 3. Contoh Kedua

Misalkan:

$f(z)=2z$

dan:

$z=2+3i$

Maka:

$f(2+3i)=2(2+3i)$

Kalikan $2$:

$f(2+3i)=4+6i$

Jadi:

$\boxed{f(2+3i)=4+6i}$

🧠 4. Pola Dasar Fungsi Kompleks

Dalam fungsi kompleks:

$\boxed{w=f(z)}$

Ingat tiga hal berikut:

Simbol	Arti
$z$	Input / masukan
$f(z)$	Fungsi / aturan
$w$	Output / hasil

$\boxed{z\longrightarrow f(z)\longrightarrow w}$

🌟 5. Bentuk Umum

Karena bilangan kompleks dapat ditulis:

$z=a+bi$

maka hasil fungsi juga dapat ditulis sebagai bilangan kompleks:

$w=u+vi$

Di sini:

• $u$ = bagian real dari $w$

• $v$ = koefisien bagian imajiner

• $i$ = unit imajiner

Contoh:

$w=5+2i$

Maka:

$\operatorname{Re}(w)=5$

$\operatorname{Im}(w)=2$

🚀 6. Contoh Fungsi Kuadrat

Misalkan:

$f(z)=z^2$

dan:

$z=1+i$

Maka:

$f(1+i)=(1+i)^2$

Kita hitung:

$(1+i)^2=(1+i)(1+i)$

$=1+i+i+i^2$

Karena:

$\boxed{i^2=-1}$

maka:

$=1+2i-1$

Sehingga:

$\boxed{f(1+i)=2i}$

🎯 7. Inti yang Perlu Dihafal

Bilangan kompleks: $z=a+bi$

Fungsi kompleks: $w=f(z)$

$z$ = input

$f(z)$ = aturan fungsi

$w$ = output

$\boxed{\text{Input}\longrightarrow\text{Fungsi}\longrightarrow\text{Output}}$

📌 Kesimpulan

Fungsi kompleks pada dasarnya adalah fungsi yang bekerja pada bilangan kompleks.

Untuk tahap awal, kita cukup memahami cara memasukkan nilai $z$ ke dalam $f(z)$ dan menghitung hasilnya.

Belum perlu masuk ke Cauchy-Riemann atau fungsi analitik. Kita bangun pondasinya sedikit demi sedikit.