Fungsi Kompleks — Memahami w = f(z)

w = f(z) = u + vi

(1+i)² = 1 + 2i + i² = 2i

Kalkulus Kompleks · Pondasi Pertama

Fungsi Kompleks

Oleh : Rohmad Wahid Rhomdani

Topik

Memahami konsep fungsi pada bilangan kompleks — bagaimana sebuah aturan menerima bilangan kompleks dan menghasilkan bilangan kompleks.

Inti notasi

w = f(z)
dibaca: “w sama dengan f dari z”.

01
Bilangan kompleks — z = a + bibahan baku (input) fungsi
02
Notasi w = f(z)aturan yang mengolah input kompleks
03
Alur z → f(z) → wdari input, diproses, sampai output

Belum perlu Cauchy–Riemann atau fungsi analitik — kita bangun pondasinya dulu.

Gulir ke bawah

SLIDE 02

Apa itu Fungsi Kompleks?

Sebelumnya kita sudah mengenal bilangan kompleks:

z = a + bi

Fungsi kompleks secara sederhana adalah aturan yang menerima bilangan kompleks sebagai input, kemudian menghasilkan bilangan kompleks sebagai output.

Ditulis:

w = f(z)

Dibaca: “w sama dengan f dari z” atau “w adalah fungsi dari z”.

KARTU IDENTITAS

NAMA	Fungsi Kompleks
NOTASI	w = f(z)
INPUT	z = a + bi
OUTPUT	w = u + vi

Analogi sederhana: fungsi itu mesin — masukkan z, keluar w.

SLIDE 03

Tiga Pemain Utama

Setiap fungsi kompleks melibatkan tiga peran. Perhatikan masing-masing:

Peran 1 · Input

Bilangan kompleks yang dimasukkan ke dalam fungsi.

Peran 2 · Aturan

f(z)

Aturan yang digunakan untuk mengolah input. Inilah “mesin”-nya.

Peran 3 · Output

Hasil yang diperoleh setelah input diproses.

z f(z) w

SLIDE 04

Contoh Paling Sederhana

Misalkan kita punya fungsi dan sebuah input:

f(z) = z + 2

z = 3 + i

Masukkan z ke dalam fungsi:

f(3 + i) = (3 + i) + 2

Jumlahkan bagian realnya (3 + 2), bagian imajiner tetap:

PROSES FUNGSI

① Input

z = 3 + i

② Aturan

f(z) = z + 2

③ Hitung

(3 + i) + 2
= 5 + i

f(3+i) = 5 + i

Input: 3 + i
Fungsi: f(z) = z + 2
Output: 5 + i

SLIDE 05

Contoh Kedua

Sekarang dengan perkalian skalar:

f(z) = 2z

z = 2 + 3i

Masukkan ke fungsi:

f(2 + 3i) = 2 · (2 + 3i)

Kalikan 2 ke kedua bagian — real dan imajiner:

= 4 + 6i

PROSES FUNGSI

① Input

z = 2 + 3i

② Aturan

f(z) = 2z

③ Hitung

2 · (2 + 3i)
= 4 + 6i

f(2+3i) = 4 + 6i

Perkalian skalar mengalikan real dan imajiner sekaligus — hasilnya z “memanjang” dua kali lipat di bidang kompleks.

SLIDE 06

Pola Dasar Fungsi Kompleks

Dalam fungsi kompleks w = f(z), ingat tiga simbol berikut:

Simbol	Arti
z	Input / masukan
f(z)	Fungsi / aturan
w	Output / hasil

zinput · a + bi

f(z)aturan · mesin pengolah

woutput · u + vi

Satu kalimat untuk diingat

“z masuk, f(z) mengolah, w keluar.”

SLIDE 07

Bentuk Umum Output

Karena input dapat ditulis z = a + bi, maka hasil fungsi juga dapat ditulis sebagai bilangan kompleks:

w = u + vi

u = bagian real dari w
v = koefisien bagian imajiner
i = unit imajiner

Contoh

w = 5 + 2i

Bagian realRe(w) = 5

Koef. imajinerIm(w) = 2

Nanti, u dan v inilah yang menentukan posisi titik w di bidang kompleks — kita akan lihat langsung di Lab.

SLIDE 08

Contoh Fungsi Kuadrat

Misalkan f(z) = z² dan z = 1 + i. Kita hitung f(1+i) = (1+i)² — kali ini selangkah demi selangkah. Tekan tombolnya:

Kunci utamanya hanya satu: i² = −1.

i² = −1

LANGKAH PENYELESAIAN

Langkah 1 dari 6

SLIDE 09

Lab: Mesin Fungsi Kompleks

Sekarang giliran Bapak yang mengoperasikan mesinnya. Pilih fungsi, geser bagian real & imajiner z, lalu amati titik z dan w bergerak di bidang kompleks — beserta langkah perhitungannya.

1 · Pilih Fungsi

2 · Atur Input z = a + bi

Bagian real — aa = 2

Koef. imajiner — bb = 1

z = 2 + i

3 · Langkah Perhitungan

Bidang Kompleks

HASIL · OUTPUTw = 4 + i

Coba perhatikan: untuk f(z) = z², geser b saja — lihat bagaimana w melompat! Itulah wajah fungsi kompleks yang menarik.

SLIDE 10

Inti yang Perlu Dihafal

Kalau hari ini hanya ingat satu slide, biarlah slide ini:

Bilangan kompleks: z = a + biBahan baku
Fungsi kompleks: w = f(z)Notasi inti
zInput
f(z)Aturan fungsi
wOutput
i² = −1Kunci perhitungan

Input Fungsi Output

SLIDE 11

Kesimpulan

Fungsi kompleks pada dasarnya itu apa?

Fungsi yang bekerja pada bilangan kompleks.

Untuk tahap awal, kita cukup bisa apa?

Memasukkan nilai z ke dalam f(z) dan menghitung hasilnya.

Perlu langsung belajar Cauchy–Riemann?

Belum. Kita bangun pondasinya sedikit demi sedikit.

Bersambung · Materi Berikutnya Fungsi Analitik & Cauchy–Riemann Kapan sebuah fungsi kompleks disebut “analytic”

Fungsi Kompleks #01 Pertemuan Pertama: Mengenal Fungsi Kompleks