GEMETRI.
Dari titik tak terdefinisi, sampai bola bengkok non-Euclid.
Arsitektur kebenaran dalam geometri
Sebelum menghitung apa pun, geometri membangun sebuah gedung logika. Bata pertamanya adalah konsep tak terdefinisi; dari sana dibuat definisi; kebenaran dasar yang disepakati disebut aksioma/postulat; dan segala hal yang harus dibuktikan disebut teorema.
Rantai kebenaran: teorema tidak akan lebih kuat daripada postulat yang menopangnya.
Pernyataan umum yang diterima sebagai kebenaran — mutlak, tanpa perlu pembuktian. Contoh: "keseluruhan lebih besar daripada bagiannya."
Pernyataan yang dibuat memakai konsep tak terdefinisi (titik, garis, bidang, ruang) atau konsep yang sudah terdefinisi sebelumnya.
Pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa pembuktian. Banyak orang menganggap Postulat = Aksioma, sehingga keduanya dapat dipertukarkan.
Pernyataan yang harus dibuktikan menggunakan definisi, postulat, dan teorema sebelumnya. Inilah "hasil produksi" mesin geometri.
Tentukan jenis pernyataan berikut. Satu kesempatan per soal!
"Postulat dan aksioma sama-sama diterima benar tanpa pembuktian, sehingga sebagian orang memperlakukan keduanya sama."
"Titik, garis, bidang, dan ruang adalah konsep yang sudah terdefinisi lengkap dalam geometri."
Membangun bahasa: ruas, sinar, sudut
Dari konsep primitif, kita definisikan benda-benda dasar. Perhatikan polanya: setiap definisi selalu "meminjam" kata dari definisi atau konsep sebelumnya.
Ruas garis AB = himpunan titik-titik pada garis yang memuat A dan B, beserta semua titik di antaranya.
Sinar = gabungan titik pangkal dan semua titik pada satu sisi garis dari pangkal itu.
Sinar-sinar berlawanan = dua sinar berlainan pada garis sama dengan titik pangkal yang sama.
Sudut = gabungan dua sinar yang titik pangkalnya berserikat (sama).
Titik tengah ruas garis = titik pada ruas itu yang membaginya menjadi dua ruas sama ukuran.
Garis bagi (bisector) ruas garis = garis yang memotong ruas itu tepat pada titik tengahnya.
Garis bagi sudut = sinar dari titik sudut yang membentuk dua sudut sama besar dengan kaki sudut.
Kongruen = mempunyai ukuran sama — baik untuk ruas garis maupun sudut.
Postulat 7 memasangkan setiap titik pada garis dengan bilangan (koordinat). Titik tengah = rata-rata dua koordinat — dan Teorema 4 menjamin ia tunggal.
Enam postulat pondasi titik-garis-bidang
Enam pernyataan sederhana ini yang menopang segala sesuatunya. Tidak ada yang dibuktikan di sini — semuanya disepakati.
| Kode | Isi Postulat |
|---|---|
| POSTULAT 1 | Sebuah garis paling sedikit terdiri atas 2 titik. |
| POSTULAT 2 | Sebuah bidang paling sedikit terdiri atas 3 titik nonkolinear (tidak segaris). |
| POSTULAT 3 | Melalui 2 titik akan terbentuk tepat satu garis. |
| POSTULAT 4 | Melalui 3 titik nonkolinear akan terbentuk tepat satu bidang. |
| POSTULAT 5 | Jika dua titik berada pada satu bidang, garis penghubungnya terletak dalam bidang itu. |
| POSTULAT 6 | Jika dua bidang saling memotong, perpotongannya adalah sebuah garis. |
Teorema 2 & 3
Titik di luar sebuah garis? Ada tepat satu bidang melalui garis dan titik itu (T2). Dua garis berpotongan? Ada tepat satu bidang melalui keduanya (T3).
Klik dua titik pada bidang, lalu saksikan garisnya terbentuk. Klik lagi untuk mencoba pasangan baru.
Postulat penggaris & penjumlahan ruas
Bagaimana ruas garis mendapat "angka"? Postulat 7 memasangkan titik dengan koordinat; jarak dua titik adalah selisih positif koordinatnya. Postulat 8 lalu memberi aturan tambah-menambah yang paling sering dipakai sepanjang modul ini.
Jarak $AB = |a - b|$ (selisih positif). Dari mana? Penggaris = garis bernomor. "Selisih positif" memastikan jarak tak pernah negatif.
CONTOH PEGANGAN — ΔPEGAS (dipakai di seluruh modul)
Segitiga siku-siku kita: $A(0,0)$, $B(8,0)$, $C(0,6)$. Pada garis koordinat, letakkan $A$ di 0 dan $B$ di 8 → $AB = |8-0| = 8$ (Postulat 7). Titik tengah $AB$ ada di $\tfrac{0+8}{2}=4$ (Teorema 4). Di bab-bab berikutnya, ΔPEGAS akan kembali terus: 6–8–10.
Dunia sudut: dari lancip sampai bertolak belakang
Sudut adalah gabungan dua sinar berpangkal sama. Untuk mengukurnya, Postulat 9 (Busur Derajat) memasangkan setiap sinar dengan bilangan $0^\circ$–$180^\circ$; selisih positifnya itulah ukuran sudut. Postulat 10 lalu mengatur penjumlahannya.
Sudut siku-siku = $90^\circ$.
Sudut lurus = $180^\circ$.
Sudut lancip: $0^\circ < x < 90^\circ$.
Sudut tumpul: $90^\circ < x < 180^\circ$.
Dua sudut berkomplemen (berpenyiku): jumlahnya $90^\circ$.
Dua sudut bersuplemen (berpelurus): jumlahnya $180^\circ$.
Dua sudut bertolak belakang: kaki-kaki yang satu adalah sinar berlawanan dari kaki sudut yang lain.
Jembatan Keledai
Komplemen = Kecil (90°). Suplemen = Sambungan garis lurus (180°). Dan Postulat 10: jika sinar $OB$ di antara $OA$ dan $OC$, maka $m\angle AOB + m\angle BOC = m\angle AOC$.
Coba hentikan tepat di 45°, 90°, dan 135° — perhatikan jenis dan pasangannya berubah warna.
Teorema 9: sudut bertolak belakang sama besar. Teorema 11: dua sudut berdampingan pada garis lurus berpelurus. Teorema 12: pelurus sudut yang sama juga sama besar.
Transversal: delapan sudut yang saling terkunci
Garis sejajar ($a \mathbin{/\!/} b$) = sebidang dan tak berpotongan (Def 47). Garis yang memotong keduanya di dua titik berlainan disebut transversal (Def 48). Dari perpotongan itu lahir delapan sudut dengan nama-nama pasangan yang penting.
Berseberangan dalam (alternate interior): di daerah interior, sisi berlawanan transversal.
Berseberangan luar (alternate exterior): di daerah eksterior, sisi berlawanan transversal.
Sehadap (corresponding): kedudukan yang sama pada kedua perpotongan, sepihak dengan transversal.
| Teorema (garis sejajar + transversal) | Kesimpulan |
|---|---|
| T16 Sudut dalam berseberangan | Sama besar |
| T17 Sudut luar berseberangan | Sama besar |
| T18 & T19 Sudut dalam / luar sepihak | Berpelurus (jumlah $180^\circ$) |
| T20 Setiap pasang sudut yang terbentuk | Sama besar atau berpelurus |
| T21 Transversal ⊥ satu garis sejajar | Juga ⊥ garis yang satunya |
| T23 & T24 Dua garis ∥ / ⊥ garis yang sama | Kedua garis itu saling sejajar |
| T19K–T22 Kebalikan (sehadap / berseberangan sama, sepihak berpelurus) | Membuktikan dua garis sejajar |
Klik salah satu sudut a–h pada gambar untuk menyorot semua pasangannya. Karena $l \mathbin{/\!/} m$, semua relasi ini dijamin berlaku (Post 11, T16–20). Jika garis TIDAK sejajar, yang dijamin hanyalah pasangan bertolak belakang.
Segitiga: teorema paling terkenal sedunia — 180°
Segitiga adalah polygon bersisi tiga (Def 27). Ada segitiga sama sisi, sama kaki, dan siku-siku (Def 28–31); di dalamnya bekerja garis tinggi (⊥ sisi di hadapannya, Def 33), garis berat (ke titik tengah sisi, Def 34), dan garis bagi (membagi sudut sama besar, Def 35).
BUKTI LANGKAH DEMI LANGKAH (α+β+γ = 180°):
| Kode | Isi |
|---|---|
| T32–T33 | Dua sisi sama ⇒ sudut-sudut di hadapannya sama. Segitiga sama sisi ⇒ semua sudutnya sama. |
| T34–T35 | Kebalikannya: dua sudut sama ⇒ sisi di hadapannya sama. |
| T36–T37 | Sisi/sudut yang lebih besar selalu berhadapan dengan sudut/sisi yang lebih besar. |
| T38 | Ketidaksamaan segitiga: jumlah dua sisi selalu lebih besar dari sisi ketiga. |
| T15 | Segitiga sama sudut (equilateral): setiap sudutnya tepat $60^\circ$. |
Syarat segitiga: $|a-b| < c < a+b$. Jika $c$ sisi terpanjang dan segitiga sah, Teorema 67 menentukan jenisnya lewat perbandingan $c^2$ dengan $a^2+b^2$ — mesin yang sama akan kita pakai lagi di Bab 09.
Coba ini
a=3, b=4, c=8 → gagal! Karena $3+4=7 < 8$: dua sisi tidak cukup "menggapai" sisi ketiga.
Menyatakan dua segitiga identik dengan hanya 3 data
Dua polygon kongruen (Def 26) jika ada korespondensi 1-1 antar titiknya sehingga semua sisi yang berkoresponden kongruen dan semua sudut yang berkoresponden kongruen. Kabar baiknya: untuk segitiga, cukup tiga bagian tertentu yang sama.
S–S–S
Ketiga sisi sama ⇒ kongruen.
S–Sd–S
Dua sisi + sudut yang diapitnya sama ⇒ kongruen.
Sd–S–Sd
Dua sudut + sisi yang diapitnya sama ⇒ kongruen.
M–K (siku-siku)
Sisi miring + satu kaki sama ⇒ kongruen.
Sd–Sd–S
Dua sudut + sisi yang tidak diapit ⇒ kongruen.
M–Sd
Sisi miring + satu sudut lancip ⇒ kongruen.
K–K
Kedua kaki segitiga siku-siku sama ⇒ kongruen.
K–Sd
Satu kaki + satu sudut (di sisi itu) sama ⇒ kongruen.
Kuncinya satu: apakah sisi/sudut itu diapit oleh pasangan yang disebutkan, atau tidak?
Teorema 65: kaki² + kaki² = miring²
Pada setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kedua kaki sama dengan kuadrat sisi miring. Lebih hebat lagi, kebalikannya juga benar — dan perbandingan itu bahkan bisa mendiagnosis lancip atau tumpul.
$c^2 = a^2+b^2$ → siku-siku · $c^2 > a^2+b^2$ → tumpul · $c^2 < a^2+b^2$ → lancip Dari mana? Bayangkan sisi miring "engsel": makin tumpul sudutnya, makin panjang $c$ menempel di tanah — kuadratnya menyalip jumlah kaki.
Contoh Pegangan
ΔPEGAS: $6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$. Jadi $BC = 10$ — dan karena persamaan terpenuhi, Teorema 66 menegaskan $\angle A = 90^\circ$. Tripel lain untuk dikumpulkan: $(3,4,5)$, $(5,12,13)$, $(7,24,25)$.
Bentuk sama, ukuran bebas: faktor skala
Dua bangun sebangun jika sudut-sudut yang berkoresponden sama dan sisi-sisi yang berkoresponden sebanding. Dari ide sederhana itu tumbuh teorema-teorema perbandingan yang sangat produktif.
| Kode | Isi Teorema |
|---|---|
| T56 | Teorema Titik Tengah: ruas penghubung titik tengah dua sisi segitiga ∥ sisi ketiga dan setengah panjangnya. |
| T57 | Pembagi Sisi: garis ∥ satu sisi yang memotong dua sisi lain membagi keduanya dengan perbandingan sama. |
| T58 | Sudut Bagi: garis bagi sudut segitiga membagi sisi hadapannya sebanding dengan dua sisi pembentuk sudut: $\dfrac{BD}{DC}=\dfrac{AB}{AC}$. |
| T59 | Rasio dua garis searah (tinggi, garis berat, garis bagi) = rasio sisi-sisi yang searah. |
| T60 | Faktor skala $a:b$ ⇒ rasio keliling $= a:b$. |
| T61 | Faktor skala $a:b$ ⇒ rasio luas $= a^2 : b^2$. |
| T62–T64 | Tinggi ke sisi miring menghasilkan dua segitiga siku-siku sebangun; kaki$^2$ = (miring × proyeksinya); tinggi$^2$ = hasil kali dua bagian sisi miring (mean geometri). |
Mengapa luas naik kuadrat? Karena luas menghitung kotak-kotak unit: setiap kotak ikut memanjang dan melebar ×k, jadi tiap kotak "bernilai" k² kotak lama.
Contoh Pegangan
ΔPEGAS punya keliling $6+8+10=24$ dan luas $\tfrac12\cdot 6\cdot 8 = 24$. Salin dengan $k=2$ (T60, T61): keliling jadi $24\cdot 2 = 48$, luas jadi $24\cdot 2^2 = 96$. Perhatikan: keliling naik 2×, luas naik 4×.
Keluarga segi empat & rumus S = (n−2)·180°
Segi empat adalah polygon bersisi empat (Def 52). Tapi jumlah sudut dalam semua polygon cembung bisa dihitung sekaligus: dari satu titik sudut, polygon n-sisi terbelah menjadi $n-2$ segitiga — masing-masing menyumbang $180^\circ$.
Jumlah sudut luar (cembung): selalu $360^\circ$ Dari mana? Pilih satu titik sudut, tarik diagonal ke semua titik tak bertetangga → jadilah $n-2$ segitiga. Sudut luar total 360° karena setiap "belokan" keliling bangun ujungnya kembali menghadap arah awal.
Jajar genjang (dua pasang sisi hadapan sejajar) → persegi panjang (satu sudut siku) → persegi (dua sisi bersisihan kongruen).
Belah ketupat (jajar genjang bersisi kongruen) · trapesium (tepat sepasang sisi sejajar) · trapesium sama kaki (kaki-kakinya kongruen).
Untuk poligon beraturan, tiap sudut dalam = $S/n$, tiap sudut luar = $360^\circ/n$. Uji: n=4 → $S=360^\circ$, cocok dengan segi empat mana pun.
| Kode | Sifat-sifat penting segi empat |
|---|---|
| T42–T45 | Jajar genjang: sisi/sudut berlawanan sama; sudut dalam sepihak berpelurus; diagonal saling membagi sama panjang (T45). |
| T46–T50 | Cara membuktikan jajar genjang: dua pasang sisi / dua pasang sudut berlawanan sama; sepasang sisi sama dan sejajar; sudut sepihak berpelurus; diagonal saling membagi. |
| T41 | Satu diagonal membagi jajar genjang menjadi dua segitiga kongruen. |
| T51 | Persegi panjang: kedua diagonal sama panjang. |
| T52–T53a | Belah ketupat: diagonal membagi sudut berlawanan sama besar dan saling tegak lurus. |
| T53b–T54 | Trapesium sama kaki: sudut alas sama besar; diagonal-diagonalnya sama panjang. |
| T55 | Garis berat trapesium: sejajar kedua alas, panjangnya $\tfrac12(a+b)$ — setengah jumlah alas. |
Lingkaran: sudut keliling selalu setengah busurnya
Lingkaran (Def 36) adalah himpunan titik yang berjarak sama (jari-jari, Def 37) dari titik tetap (pusat). Dari relasi pusat–keliling–tali busur–garis singgung, lahir teorema-teorema yang sangat rapi.
Garis singgung ⊥ diameter (radius) di titik singgung. Dari mana? Langsung dari T70 dengan busur $180^\circ$. Sifat ⊥ garis singgung inilah dasar banyak soal "jarak terpendek" ke lingkaran.
Geser posisi C sepuasnya: sudut keliling tidak bergeser sedikit pun. Inilah isi Teorema 71.
| Kode | Teorema lingkaran (68–86, diperingkas) |
|---|---|
| T68–T69 | Sudut pusat sama ⇔ busur kecil hadapannya sama. |
| T71 | Sudut keliling menghadap busur sama ⇒ sudut sama besar. |
| T74 | Tali busur ⊥ garis singgung di titik singgung ⇒ tali busur itu diameter. |
| T75 | Sudut dua tali busur berpotongan di dalam = ½(jumlah busur hadapan & busur bertolak belakang). |
| T76–T77 | Sudut dari tali busur × garis singgung = ½ busurnya; dua garis potong di luar = ½(selisih busur). |
| T78–T82 | Tali busur sama ⇔ busur kecil sama ⇔ berjarak sama dari pusat. |
| T80 | Diameter ⊥ tali busur ⇒ membagi dua tali busur dan busurnya. |
| T83 | Dua tali busur berpotongan di dalam: hasil kali bagian-bagiannya sama: $ap\cdot bp = aq\cdot bq$. |
| T84–T85 | Dari titik luar: (garis potong)(bagian luar) konstan; khusus garis singgung: $\text{singgung}^2 = (\text{potong})(\text{bagian luar})$. |
| T86 | Dua garis singgung dari titik luar yang sama sama panjang. |
Prisma, silinder, limas, kerucut, bola
Semua rumus Teorema 87–100 tumbuh dari dua ide: selimut digulung = persegi panjang (luas = keliling alas × tinggi) dan isi runcing = sepertiga isi tumpul dengan alas dan tinggi sama.
$V = L_A \cdot t$ Dari mana? Bongkar sisi tegak: menjadi persegi panjang berukuran (keliling alas) × (tinggi). Volume = menumpuk alas setinggi t.
$V = \pi r^2 t$ Dari mana? Sama dengan prisma — alasnya lingkaran dengan keliling $2\pi r$.
$V = \tfrac13 L_A\, t$ Dari mana? $k$ = keliling alas, $l$ = garis pelukis. Faktor ⅓: tiga limas identik bisa menyusun satu prisma dengan alas & tinggi sama.
$V = \tfrac13 \pi r^2 t$ Dari mana? Selimut kerucut dibuka = juring lingkaran berjari-jari $l$; volume ⅓ karena kerucut adalah limas ber alas lingkaran. Cari $l$ dengan Pythagoras: $l=\sqrt{r^2+t^2}$!
Perhatikan pola luas → volume: lingkaran $2\pi r$ vs $\pi r^2$; bola $4\pi r^2$ vs $\tfrac43\pi r^3$. Dimensi naik satu, pangkat r naik satu. Menyimpan satuan: luas satuan², volume satuan³.
Ketika geometri bertemu aljabar
Pasangkan setiap titik dengan koordinat, dan setiap teorema berubah menjadi rumus. Jarak? Itu Pythagoras yang menyamar. Dua garis sejajar/tegak lurus? Sekadar perbandingan gradien.
Titik tengah: $T=\left(\dfrac{x_1+x_2}{2},\ \dfrac{y_1+y_2}{2}\right)$ Dari mana? Gambar segitiga siku kecil: kaki-kakinya $|x_2-x_1|$ dan $|y_2-y_1|$ — sisi miringnya adalah $d$. Rumus titik tengah = rata-rata Postulat 7.
Tegak lurus: $m_1 \cdot m_2 = -1$ Dari mana? Putar garis $90^\circ$: gradiennya "terbalik dan bertanda balik", sehingga hasil kalinya selalu $-1$.
Klik dua titik pada bidang koordinat (klik ketiga menggeser titik kedua). Segitiga siku putus-putusnya = Pythagoras menyamar.
Coba m₁ = 0,75 (gradien BC pada ΔPEGAS!) → pasangan tegak lurusnya m₂ = −4/3. Dan jika m₁ = 0, pasangannya garis vertikal (gradien tak terdefinisi).
Postulat kesejajar Euclid & lahirlah geometri non-Euclid
Selama ± 2000 tahun, satu postulat terasa "kurang jelas" dibanding saudara-saudaranya: postulat sejajar. Ribuan percobaan pembuktian selalu gagal atau diam-diam meminjam hal yang setara. Awal abad ke-19, para matematikawan akhirnya sadar: postulat ini tidak pasti — ia bisa diganti. Posisi unik geometri Euclid runtuh pada dekade 1820–1830, dan geometri non-Euclid resmi sah.
Euclid ⇄ Playfair
Asumsikan Euclid: garis melalui P yang sejajar l bisa dibangun (dua tegak lurus berurutan), dan setiap kandidat lain memaksa sudut lancip → jumlah sepihak < 180° → berpotongan. Maka sejajarnya tunggal → Playfair. Asumsikan Playfair: garis lain melalui P pasti bukan sejajar → berpotongan dengan l di sisi yang jumlah sudut sepihaknya < 180° → itulah pernyataan Euclid. Saling menyirat!
Yang sama dengan yang sama adalah sama · tambah/kurang yang sama dengan yang sama memberi yang sama · keseluruhan > bagian · bangun dapat digeser tanpa berubah · setiap sudut punya garis bagi · setiap ruas punya titik tengah · dua titik menentukan satu garis · ruas dapat diperpanjang · lingkaran dapat dilukis dengan pusat & radius sembarang · semua sudut siku-siku sama besar.
Teorema sudut luar: sudut luar segitiga lebih besar daripada sudut dalam tak berdampingan mana pun — jantung banyak bukti ketidaksamaan.
Berseberangan dalam sama besar ⇒ sejajar (kebalikan T16) — dan sebaliknya dari Postulat 11.
Corollary garis sejajar: melalui P di luar l ada minimal satu sejajar (bangun dua tegak lurus). Kebetulan tunggalnya itulah yang ternyata "mahal".
Di bola, "garis" = lingkaran besar (seperti garis khatulistiwa & meridian): dua garis selalu berpotongan, jumlah sudut segitiga bisa mencapai 270°. Di bidang pelana, sebaliknya: sejajar bermunculan tak terhingga.
EKUIVALENSI, LANGKAH DEMI LANGKAH:
| Dunia | Sejajar melalui P (di luar garis) | Jumlah sudut segitiga | Nama |
|---|---|---|---|
| Bidang datar | Tepat satu | = $180^\circ$ | Euclid |
| Permukaan bola | Tidak ada | > $180^\circ$ | Elliptik (Riemann) |
| Pelana (saddle) | Tak hingga banyak | < $180^\circ$ | Hiperbolik (Lobachevsky–Bolyai) |
Dua belas kartu yang wajib menempel di kepala
Seluruh modul dipadatkan jadi dua belas kartu rumus inti. Kartu bergaris atas warna = kategori: bata (ruas-sudut), teal (sejajar-segitiga), oker (ukuran), violet (analitik).
Penjumlahan ruas
Postulat 8 — B di antara A dan C.
PENJUMLAHAN SUDUT
Postulat 10.
Bertolak belakang
Teorema 9; berdampingan pada garis = berpelurus (T11).
Transversal sejajar
Postulat 11 & T16–T20; kebalikannya membuktikan sejajar.
Segitiga
T13, T14, T15.
Ketidaksamaan
T38 — syarat mutlak sebuah segitiga.
Pythagoras
T65–T67.
Poligon & skala
T39, T40, T60–T61.
Lingkaran
T70, T72, T83.
Bangun ruang
T87–T100.
Jarak & titik tengah
T101–T102 = Pythagoras + rata-rata.
Gradien
T103–T106.
Kuis akhir: benar atau salah?
Delapan pernyataan dari seluruh perjalanan. Jawab dengan jujur — mesin akan memberi tahu alasannya.