Deret Taylor
& Maclaurin
Bagaimana kalkulator menghitung $\sin(37°)$? Bagaimana fisikawan menyederhanakan bandul? Jawabannya satu: mengubah fungsi apa pun menjadi polinom tak berujung. Kita bedah dari nol — setiap rumus ditelusuri asal-usulnya, dengan 7 mesin interaktif yang bisa kamu jalankan.
Enam pemberhentian, satu gagasan besar.
Gagasannya sederhana: fungsi rumit digantikan polinom sederhana. Kita mulai dari deret pangkat (bahasanya), membangun rumus Taylor (mesinnya), menghafal deret standar (amunisinya), lalu menguji kapan ia sah (konvergensi & galat).
Deret Pangkat
Bahasa dasarnya: $\sum c_n(x-a)^n$ — polinom tak berujung berpusat di $a$.
Deret Taylor
Dari mana $c_n = f^{(n)}(a)/n!$? Kita turunkan sendiri, lalu jalankan Mesin Turunan.
Deret Maclaurin
Kasus istimewa $a=0$: enam deret standar yang wajib di ujung jari.
Radius Konvergensi
Uji rasio menentukan wilayah sah deret — divisualkan di garis bilangan.
Sisa Lagrange
Seberapa salah aproksimasi kita? Ada formula garansi galatnya.
Lab Grafik & Aplikasi
Geser orde $n$ dan saksikan polinom “menempel” pada fungsi — plus aplikasi nyata.
PROLOG · Kenapa repot belajar deret?
Polinom adalah satu-satunya fungsi yang dengan mudah dihitung komputer: cukup tambah, kali, dan pangkat. Sinus, eksponen, logaritma? Komputer tidak punya tombol langsung untuk itu — ia menghitungnya lewat deret pangkat.
Ide inti: di sekitar satu titik, hampir semua fungsi halus terlihat seperti polinom — makin banyak sukunya, makin mirip. Seluruh modul ini adalah penjabaran kalimat itu.
Deret Pangkat: Bahasa Polinom Abadi
Sebelum menyusun rumus Taylor, kita pahami dulu objek yang akan kita bangun: deret pangkat — polinom yang sukunya tak berujung.
1.1 · Definisi
Sebuah deret pangkat berpusat di $a$ adalah deret berbentuk:
Di mana $c_n$ = koefisien (bilangan tetap) dan $a$ = pusat (titik acuan). Untuk setiap nilai $x$ yang kita tempelkan, deret ini menjadi deret bilangan biasa yang bisa kita jumlahkan — dan hasilnya adalah satu angka. Jadi deret pangkat sebenarnya adalah fungsi baru: masukkan $x$, keluar jumlah tak hingga.
Catatan: $S_N(x)$ = jumlah sampai suku ke-$N$ (jumlah parsial). Fungsi deret = $\lim_{N\to\infty} S_N(x)$ — jika limitnya ada.
Deret pangkat paling sederhana: $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots$ Tahunya eksak: $\frac{1}{1-x}$. Geser $x$ dan saksikan kapan deret menaiki fungsi geometrinya — dan kapan ia meledak.
Deret menempel rapat pada fungsi. Geser $x$ mendekati $1$…
Deret $\sum x^n$ hanya bekerja untuk $|x|<1$. Di luar wilayah itu, jumlahnya menjauhi fungsi (bahkan divergen). Fenomena umum ini disebut radius konvergensi — kita pelajari ilmunya di Bab 4. Rumus Taylor tanpa cek konvergensi = janji tanpa garansi!
Suku-sukunya berbentuk $(x-3)^n$, jadi pusatnya $a=3$. Suku pertama ($n=0$): $c_0(x-3)^0 = c_0$. Deret ini “hidup” paling bagus di sekitar $x=3$.
Polinom berhenti di suku tertentu (hingga $x^2$); deret pangkat tak berujung. Polinom selalu bernilai terdefinisi; deret pangkat hanya punya nilai di wilayah konvergensinya.
Deret Taylor: Menjahit Polinom pada Fungsi
Sekarang pertanyaan kuncinya: koefisien $c_n$ diambil dari mana? Jawabannya adalah satu ide paling elegan dalam kalkulus — dan kita akan menurunkannya sendiri, langkah demi langkah.
2.1 · Menurunkan Rumus Koefisien dari Nol
Misinya: fungsi $f$ kita “jahit” dengan polinom tak berujung yang wajib cocok sempurna di titik pusat $a$ — nilainya sama, kemiringannya sama, kelengkapannya sama:
Cara mencuri koefisiennya: evaluasi $f$ dan semua turunannya di $x=a$. Setiap kali diturunkan, satu koefisien “tertinggal sendirian” dan tertangkap:
| Aksi | Hasil di $x=a$ | Kesimpulan |
|---|---|---|
| Substitusi langsung | $f(a) = c_0 + 0 + 0 + \cdots$ | c₀ = f(a) |
| Turunkan 1×, substitusi | $f'(a) = c_1 + 2c_2(0) + \cdots$ | c₁ = f′(a) |
| Turunkan 2×, substitusi | $f''(a) = 2!\,c_2 + 3!\,c_3(0)\cdots$ | c₂ = f″(a)/2! |
| Turunkan k×, substitusi | $f^{(k)}(a) = k!\,c_k$ | cₖ = f⁽ᵏ⁾(a)/k! |
Dari mana $k!$? Dari menurunkan $(x-a)^k$ sebanyak $k$ kali: $k(k-1)(k-2)\cdots 1 = k!$. Faktorial adalah “bekas rantai pembedaan” — itulah asal-usulnya di rumus Taylor.
Rumus Deret Taylor — hasil kerja kita
Memotong deret pada suku ke-$n$ menghasilkan polinom Taylor — aproksimasi praktisnya:
Semua mesin di modul ini menghitung $T_n$ — deret penuh adalah bayangannya saat $n\to\infty$.
Garis singgung = Taylor orde 1! $T_1(x) = f(a) + f'(a)(x-a)$ — persis persamaan garis singgung di $x=a$ yang dulu kamu pelajari.
Jadi deret Taylor hanyalah garis singgung yang ditingkatkan: orde 2 ikut meniru kelengkungan, orde 3 meniru lengkungannya lagi, dst. Setiap suku baru menambah satu “lapis kecocokan”.
Mesin ini menjalankan resep $c_k = f^{(k)}(0)/k!$ secara langsung: turunkan → substitusi $x=0$ → bagi faktorial → jahit suku. Tekan Jalankan!
2.2 · Taylor dengan pusat a ≠ 0 — contoh $\ln x$ di $a=1$
Bagaimana bila kita ingin deret $\ln x$ di sekitar $x=1$ (karena di $x=0$ tak terdefinisi)? Tempelkan $a=1$ ke resep yang sama. Turunan ke-$n$: $f^{(n)}(x) = (-1)^{n+1}(n-1)!\,/x^n$ untuk $n\ge1$, sehingga $f^{(n)}(1) = (-1)^{n+1}(n-1)!$ dan $c_n = (-1)^{n+1}/n$.
Perhatikan: sukunya berbentuk $(x-1)^n$ — deret selalu berbicara dalam jarak dari pusatnya. Ini contoh pegangan kita untuk Taylor umum; pembandingnya Maclaurin $\ln(1+x)$ di Bab 3.
$f^{(7)}(x) = 0$ karena $x^3$ hanya punya turunan hingga orde 3 (setelahnya nol). Bahkan $T_3(x) = f(x)$ eksak — polinom memang polinom!
$c_0 = f(0) = 2$. Lalu $c_2 = f''(0)/2! = -3 \Rightarrow f''(0) = -3 \times 2! = -6$. Baca deretnya mundur lewat resep $c_n = f^{(n)}(0)/n!$.
Enam Deret Maclaurin yang Wajib Kamu Kuasai
Dengan Mesin Turunan, hampir semua fungsi penting bisa “dipanggang” jadi deret di $a=0$. Enam di antaranya begitu sering dipakai sehingga menjadi tabel hafalan wajib kalkulus.
| Fungsi | Deret Maclaurin | Radius K. |
|---|---|---|
| $e^x$ | $1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}$ | R = ∞ |
| $\sin x$ | $x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!}$ | R = ∞ |
| $\cos x$ | $1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}$ | R = ∞ |
| $\dfrac{1}{1-x}$ | $1 + x + x^2 + x^3 + \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^n$ | R = 1 |
| $\ln(1+x)$ | $x - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3} - \cdots = \displaystyle\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1} x^n}{n}$ | R = 1 |
| $\arctan x$ | $x - \dfrac{x^3}{3} + \dfrac{x^5}{5} - \cdots = \displaystyle\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{2n+1}$ | R = 1 |
Cara membaca tabel: kolom tengah adalah deret eksaknya (bukan sekadar aproksimasi), selama $x$ berada dalam radius konvergensi di kolom kanan.
Sinus & arctan hanya memuat pangkat ganjil ($x, x^3, x^5$) — karena keduanya fungsi ganjil: $\sin(-x) = -\sin x$. Cosinus & $e^x$… tunggu, $e^x$ fungsi genap? Bukan! Tapi deretnya memuat semua pangkat — itulah kenapa $e^x$ adalah “raja” yang tak bisa dipangkas.
Tempelkan $x=1$ ke deret $e^x$: e = 1 + 1 + 1/2! + 1/3! + ⋯ ≈ 2.71828
Tempelkan $x=1$ ke $\arctan x$: π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ⋯ — deret Leibniz! Dua konstanta termasyhur dunia, lahir dari substitusi sederhana.
Tekan Lanjut untuk menambah baris: lihat bagaimana $S_n$ merangkak menuju $e = 2.718281828\ldots$ — bukti nyata “deret = fungsi”.
Substitusi langsung: ganti setiap $x$ pada deret $\sin x$ dengan $2x$. = $2x - \frac{8x^3}{6} + \frac{32x^5}{120} - \cdots = 2x - \frac{4x^3}{3} + \frac{4x^5}{15} - \cdots$ Trik substitusi ini cara tercepat membangun deret baru!
$f'(0) = -\sin(0) = 0$ — turunan pertama di pusat nol, jadi $c_1 = 0$. Lebih umum: semua suku ganjil hilang karena $\cos(-x)=\cos x$ menuntut deretnya hanya memuat pangkat genap.
Radius & Interval Konvergensi
Setiap deret pangkat punya “pagar” wilayah sah. Uji rasio adalah alat standar untuk menemukannya — dan hasilnya selalu berupa pola yang indah: selang simetris di sekitar pusat.
4.1 · Uji Rasio: Dari mana asalnya?
Intuisi: deret konvergen bila sukunya ciut cukup cepat. Cara mengukurnya: bandingkan suku berurutan. Jika $\lim\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| = \rho$, maka untuk $\rho<1$ sukunya menyusut seperti deret geometri dengan rasio $<1$ (konvergen); $\rho>1$ sukunya membesar (divergen); $\rho=1$ — uji rasio tidak memutuskan.
Untuk deret pangkat, rasio ini selalu menghasilkan bentuk $\rho = L\,|x-a|$. Syarat $\rho<1$ memberi $|x-a| < 1/L$ — dan itulah definisi radius konvergensi $R = 1/L$.
Di $x = a \pm R$ (ujung interval), uji rasio memberi $\rho = 1$ — tidak memutuskan. Kedua ujung harus diuji terpisah dengan uji deret lain. Contoh $\sum x^n/n$: di $x=1$ konvergen bersyarat ($1 - \frac12 + \frac13 - \cdots$, uji Leibniz), tapi di $x=-1$ divergen ($-1-\frac12-\frac13-\cdots$, harmonik). Intervalnya: $(-1, 1]$ — tidak simetris penuh!
Rasio: $\left|\frac{x^{n+1}}{5^{n+1}\sqrt{n+1}} \cdot \frac{5^n\sqrt n}{x^n}\right| = \frac{|x|}{5}\cdot\sqrt{\tfrac{n}{n+1}} \to \frac{|x|}{5}$. Syarat $<1$ memberi $|x|<5$. Aturan cepat: konstanta $b^n$ di penyebut membagi $R$ sebesar $b$.
Interval selalu pusat $\pm R$: $(2-3,\; 2+3) = (-1, 5)$, simetris di sekitar pusat. Kedua ujung $x=-1$ dan $x=5$ wajib diuji terpisah sebelum diklaim masuk.
Sisa Lagrange: Garansi Galat Aproksimasi
Aproksimasi tanpa taksiran galat itu berbahaya. Kabar baiknya: Taylor membawa
Dari mana asalnya? Ini kakak dari Teorema Nilai Rata-rata (MVT). MVT biasa mengatakan $f(x) = f(a) + f'(c)(x-a)$ — persis kasus $n=0$: sisa $R_0 = f'(c)(x-a)$. Bentuk umumnya diperoleh dengan trik yang sama, diterapkan berlapis pada fungsi bantu $\varphi(t) = f(x) - T_n(t) - K(x-t)^{n+1}$, lalu memilih $K$ agar $\varphi(a)=\varphi(x)=0$ dan memakai Rolle: ada $c$ dengan $\varphi'(c)=0$ — yang menyembulkan $\;K = f^{(n+1)}(c)/(n+1)!$.Teorema Taylor — bentuk sisa Lagrange
c : suatu bilangan di antara a dan x (tidak perlu diketahui persis!)
5.1 · Cara pakai: memburat (bounding) galat
Kita jarang tahu $c$, tapi tidak perlu! Cukup ambil batas atas: jika $\left|f^{(n+1)}(t)\right| \le M$ untuk semua $t$ di antara $a$ dan $x$, maka:
Contoh pegangan: aproksimasi $e = e^1$ dengan deret Maclaurin. Di selang $[0,1]$, berlaku $e^t \le e < 3$, jadi $M = 3$:
Bandingkan: galat nyata selalu di bawah garansi — itulah fungsi teorema Lagrange.
Untuk $\sin x$ dan $\cos x$ (deret selang-seling dengan suku mengecil), galat ≤ suku pertama yang dibuang. Contoh: $\sin(1) \approx 1 - \frac{1}{3!} = 0.8\overline{3}$, galatnya ≤ $\frac{1}{5!} \approx 0.0083$. Nilai asli $0.84147$ — di dalam garansi. Tanpa Lagrange pun bisa, tapi Lagrange selalu aman untuk semua fungsi.
Suku dibuang pertama adalah $\frac{x^6}{6!} = \frac{0.5^6}{720} \approx 2.2\times10^{-5} < 0.001$ ✓. Padahal dengan suku hingga $x^2$ saja: $\frac{0.5^4}{4!}\approx 0.0026 > 0.001$ ✗. Jadi $T_4$ yang lolos.
Laboratorium Grafik: Lihat Deretnya Bekerja
Momen paling memuaskan: geser orde $n$ dan saksikan polinom Taylor
6.1 · Aplikasi: Deret di Dunia Nyata
Dari $\sin x = x - \frac{x^3}{3!}+\cdots$ diperoleh $\frac{\sin x}{x} = 1 - \frac{x^2}{6}+\cdots \to 1$. L'Hôpital tak dibutuhkan — deret melihat langsung “isi” fungsi dekat 0.
Fungsi ini tidak punya antiderivat elementer (terbukti!). Tapi substitusi deret $e^{-x^2} = \sum \frac{(-1)^n x^{2n}}{n!}$ lalu integrasi suku-demi-suku menyelesaikannya — dasar fungsi gauss di statistika.
Persamaan bandul eksaknya tak terpecahkan elementer. Ambil 2 suku Maclaurin → persamaan berosilasi sederhana (SHM) yang bisa diselesaikan — klasik mata kuliah Fisika Dasar.
Inilah jawaban teka-teki di Prolog: tidak ada tabel sinus di dalam chip — hanya deret pangkat dan aritmetika. Modul ini, secara harfiah, mengajarkan cara kerja kalkulatormu.
Kartu Hafalan — rumus inti Deret Taylor.
Delapan lembar di atas meja gelap. Kalau hanya satu halaman dari modul ini yang boleh kamu bawa ke ujian — bawalah halaman ini.
Pusat a, koefisien dari turunan
Taylor dengan a = 0
R = ∞ · x=1 → e
Pangkat ganjil · R = ∞
Pangkat genap · R = ∞
R = 1 · induk semua deret
arctan x = Σ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹/(2n+1)
R = 1 · ln 2 & π/4 di x=1
M = batas |f⁽ⁿ⁺¹⁾| · garansi galat
Mesin Penilai QZ-∞.
Lima soal lintas bab. Pilih jawaban, tekan Periksa, dan terima stempel skormu.