Barisan & Deret Bertingkat (Ordo n) — Lembar Interaktif №7 — Oleh: Rohmad Wahid Rhomdani

000%

Δ Σ n² ! ∞

MATEMATIKA · BARISAN & DERET · LEMBAR INTERAKTIF №7

Barisan & Deret BERTINGKAT

Kalau beda suatu barisan tidak kunjung konstan? Jangan panik — bedakan sekali lagi. Dari ordo 1, 2, 3, hingga ordo-n yang fleksibel dan dinamis; dari Rumus Newton, metode koefisien Yin-Yang, sampai deret bertingkat dan aplikasinya — semua dari nol, dengan empat mesin interaktif.

Oleh: Rohmad Wahid Rhomdani

Coba Mesin Deteksi Mulai dari Nol

Gulir per-bab — seperti menaiki tangga bertingkat

Δ KONSTAN = TUNTAS PANEN TERDEPAN: a · b · c · d Uₙ = a + (n−1)b + C(n−1,2)·c + … Sₙ = n·a + C(n,2)·b + C(n,3)·c + … 0! = 1 · 1! = 1 · 2! = 2 · 3! = 6 ORDO-n DINAMIS Δ KONSTAN = TUNTAS PANEN TERDEPAN: a · b · c · d Uₙ = a + (n−1)b + C(n−1,2)·c + … Sₙ = n·a + C(n,2)·b + C(n,3)·c + … 0! = 1 · 1! = 1 · 2! = 2 · 3! = 6 ORDO-n DINAMIS

Konsep Dasar

Beda Tingkat: naikkan lantainya, konstanlah ia

Semua berawal dari barisan aritmetika yang sudah kau kenal. Barisan bertingkat hanyalah saudaranya yang menaiki tangga.

Barisan aritmetika (ordo 1) adalah barisan yang selisih dua suku berdampingannya (disebut beda) selalu tetap. Contoh: 5, 9, 13, 17, 21 — bedanya selalu 4. Rumusnya:

$U_n = a + (n-1)b$

Namun sekarang perhatikan barisan pegangan yang akan menemani kita sepanjang lembar ini:

Barisan Pegangan

8 · 19 · 36 · 59 · 88 · …

Suku pertama a = 8. Beda tingkat 1-nya?

Selisihkan suku berdampingan (kanan dikurangi kiri): 11, 17, 23, 29. Tidak konstan! Jadi ini bukan ordo 1. Trik jitu barisan bertingkat: bedakan sekali lagi — selisihkan barisan beda itu sendiri: 6, 6, 6. Konstan! Berarti barisan pegangan kita baru jujur di lantai kedua: ia bertingkat ordo 2.

Definisi Kunci — Kotak Jawaban

Ordo sebuah barisan bertingkat = tingkat pertama tempat bedanya menjadi konstan. Beda tingkat-1 konstan → ordo 1. Perlu dua kali pembedaan → ordo 2. Perlu tiga kali → ordo 3. Dan seterusnya hingga ordo-n. Berhentilah membedakan begitu menemukan barisan konstan.

Skema mesin beda — input menjadi output

Tingkat 0 · input8 · 19 · 36 · 59 · 88

selisih

Tingkat 111 · 17 · 23 · 29

selisih lagi

Tingkat 2 · konstan6 · 6 · 6

panen

Hasila=8 · b=11 · c=6

Kamus simbol — hafalkan, dipakai di seluruh lembar

Simbol	Arti	Diambil dari	Nilai pada pegangan
a	Suku pertama barisan utama (tingkat 0)	Angka paling kiri tingkat 0	8
b	Angka pertama beda tingkat 1	Angka paling kiri tingkat 1	11
c	Angka pertama beda tingkat 2	Angka paling kiri tingkat 2	6
d	Angka pertama beda tingkat 3	Angka paling kiri tingkat 3	— (pada barisan №2: 6)
n	Posisi suku yang dicari	Bilangan asli 1, 2, 3, …	bebas
U_n	Nilai suku ke-n	Hasil substitusi ke rumus	U₃ = 36

Post-it: Panen Terdepan

Angka paling kiri tiap tingkat itulah a, b, c, d. Itu satu-satunya yang kita butuhkan dari seluruh tabel beda — sisa angkanya hanya penjaga gerbang.

Rumus Inti · Untuk Dihafal

Metode Newton: satu rumus untuk semua ordo

Tidak perlu eliminasi, tidak perlu menebak bentuk. Masukkan a, b, c, d — rumus bekerja untuk ordo berapa pun.

Rumus Umum Newton (Maju)

$U_n = a + (n-1)b $ $+ \frac{(n-1)(n-2)}{2!}\,c $ $+ \frac{(n-1)(n-2)(n-3)}{3!}\,d $ $+ \cdots$

Setiap naik satu tingkat: tambah satu faktor $(n-k)$ dan penyebut bertambah $k!$ — berhenti sesuai ordonya.

Ordo 1

$$U_n = a + (n-1)b$$

Beda tingkat 1 konstan — inilah barisan aritmetika biasa.

Ordo 2

$U_n = a + (n-1)b $ $+ \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}\,c$

Karena $2! = 2$. Barisan pegangan kita tinggal di sini.

Ordo 3

$U_n = a + (n-1)b $ $+ \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}c $ $+\tfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d$

Karena $3! = 6$. Ditutup di tingkat ketiga.

Kantong Faktorial — hafalkan lima angka ini

$0! = 1 \quad 1! = 1 \quad 2! = 2 \quad 3! = 6 \quad 4! = 24$

Karena itu ordo 2 memakai penyebut $2$ dan ordo 3 memakai penyebut $6$. Dari mana angka-angka itu muncul? Dibongkar tuntas di Bab 04.

Barisan bertingkat mengajarkan satu hal: kalau belum konstan di lantai ini, naiklah satu lantai.
— Lembar №7 · Bab Beda Tingkat

Mesin Interaktif №1 · Detektor Pola

Mesin Beda bertingkat — dengan input bebas

Ketik barisan versimu sendiri — misalnya 2, 4, 6, 8, 10 — tekan Jalankan, dan mesin membedakan tingkat demi tingkat lalu menghakimi: bertingkat ordo berapa, geometri, Fibonacci, atau tidak terdeteksi.

Mesin Beda · Detektor Ordo PAPER LAB v7

TAHAP 0/0

Klik contoh cepat, atau ketik barisan sendiri lalu tekan Jalankan / Enter.

Siap. Menunggu barisan…

Cara Membaca Mesin

Angka paling kiri tiap baris itulah $a, b, c, d$ — "panen terdepan". Mesin juga memeriksa kelayakan otomatis: bila sampai tingkat 3 tak ada baris konstan, ia mengecek rasio (geometri) dan penjumlahan berdampingan (Fibonacci) sebelum menyatakan belum menemukan. Bila barisanmu ordo 2 atau 3, tombol Kirim ke Mesin Yin-Yang meneruskan $a, b, c, d$ ke Bab 07.

Laboratorium Rumus

Dari mana asal rumus Newton?

Rumus itu bukan sulap — ia lahir dari kegiatan paling jujur di matematika: menjumlahkan selisih berulang-ulang.

Ambil barisan ordo 2. Untuk sampai dari $a$ ke suku ke-$n$, kita menambahkan $(n-1)$ buah beda tingkat 1 secara berantai. Nah, beda tingkat 1 itu sendiri adalah barisan aritmetika: mulai dari $b$, naik terus sebesar $c$:

Penurunan — kasus ordo 2

$$U_n = a + \underbrace{b + (b{+}c) + (b{+}2c) + \cdots + \bigl(b+(n{-}2)c\bigr)}_{(n-1)\ \text{suku — deret aritmetika}}$$ $$U_n = a + (n-1)\cdot\frac{2b + (n-2)c}{2} = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}\,c \quad\blacksquare$$

Uji pada pegangan untuk $n=4$: cara manual, $U_4 = 8 + (11+17+23) = 8+51 = \mathbf{59}$. Cara rumus, $8 + 3(11) + \frac{3\cdot 2}{2}(6) = 8+33+18 = \mathbf{59}$. Identik. Itulah asal suku $(n-1)b$ dan $\frac{(n-1)(n-2)}{2}c$.

Lalu bagaimana penyebut 6 di ordo 3? Ketika beda-nya sendiri bertingkat, penjumlahan berantai membentuk tangga yang menebal dua lapis — pola pembaginya berderet:

Pola tangga faktorial

Hasil penjumlahan berulang menghasilkan pembagi $1,\ 2,\ 6,\ 24,\ \ldots$ yaitu $1!,\ 2!,\ 3!,\ 4!$. Karena itu penyebut di tingkat ke-$k$ selalu $k!$ — dan itulah wajahnya di rumus Newton.

Lab Newton · Uji Rumus Suku GESER & RASAKAN

n = 5

Barisan — 5 suku pertama diketahui, sisanya prediksi rumus

Rincian tiap suku rumus

Kontribusi tiap suku

Satu keanggunan yang jarang diperhatikan

Geser $n$ ke angka kecil: pada ordo 2, saat $n=1$ atau $n=2$ suku $c$ bernilai 0 otomatis — karena faktor $(n-2)$ mencetak nol. Inilah sebab rumus Newton tetap akurat di awal barisan meski memuat suku tingkat tinggi.

Metode Koefisien Polinomial

Yin-Yang ordo 2: tiga persamaan, tiga rahasia

Barisan ordo 2 pasti lahir dari polinomial kuadrat. Tugasmu: membongkar koefisien $A, B, C$ dari nilai depan tiap tingkat.

Mengapa kuadrat? Karena fungsi kuadrat punya sifat yang persis mendefinisikan ordo 2: beda tingkat keduanya konstan. Lihat pola $n^2$ telanjang:

n	1	2	3	4	5
n²	1	4	9	16	25
Δ¹	3 · 5 · 7 · 9
Δ²	2 · 2 · 2 ← konstan!

Bentuk umum ordo 2: $U_n = An^2 + Bn + C$. Sekarang bongkar mesinnya — hitung beda-depan dari bentuk umum itu langsung:

Bongkar mesinnya — dari mana angka 2, 3, 1?

$U_1 = A+B+C $ $\quad U_2 = 4A+2B+C \quad $ $U_3 = 9A+3B+C$ $\Delta^1_1 = U_2-U_1 $ $= \mathbf{3A+B} \qquad \Delta^2 $ $= (\Delta^1_2)-(\Delta^1_1) $ $= \mathbf{2A}$

Tiga persamaan beda-depan (sistem Yin-Yang ordo 2)

Tingkat 2
(paling bawah)$2A \;=\; $ Beda Tingkat 2

Tingkat 1$3A + B \;=\; $ Beda Tingkat 1

Tingkat 0
(suku pertama)$A + B + C \;=\; $ Suku Pertama

Kenapa dikerjakan dari bawah ke atas?

Di tingkat paling bawah, $A$ muncul sendirian — langsung ketemu tanpa bantuan siapa pun. Setelah $A$ diketahui, naik satu lantai: $B$ bisa dihitung. Naik lagi: $C$. Nama Yin-Yang-nya karena nilai depan tiap tingkat saling berpasangan atas-bawah.

Penerapan — pegangan 8, 19, 36, 59, 88

Dari Mesin Beda: beda tingkat 2 = $c=6$, beda tingkat 1 = $b=11$, suku pertama = $a=8$. Kerjakan dari bawah:

① $A = \dfrac{6}{2} = 3$ ② $B = 11 - 3(3) = 2$ ③ $C = 8 - 3 - 2 = 3$

$U_n = 3n^2 + 2n + 3$

Tabel verifikasi interaktif — klik selnya, ia menyala

Rumus vs asli	n = 1	n = 2	n = 3	n = 4	n = 5
$3n^2+2n+3$	8	19	36	59	88
Barisan asli	8	19	36	59	88

Klik angka pada kolom n untuk menyalakan perhitungannya.

Sempurna — cocok di semua suku

Metode Koefisien Polinomial

Yin-Yang ordo 3: naik satu lantai lagi

Empat koefisien $A, B, C, D$ — dan satu jebakan klasik bernama "lupa dibagi 6".

Barisan ordo 3 lahir dari polinomial $U_n = An^3 + Bn^2 + Cn + D$. Dari mana angka 6, 12, 7 pada sistem persamaannya? Bongkar dari perilaku $n^3$:

n	1	2	3	4	5
n³	1	8	27	64	125
Δ¹	7 · 19 · 37 · 61
Δ²	12 · 18 · 24
Δ³	6 · 6 ← konstan!

Empat persamaan beda-depan (sistem Yin-Yang ordo 3)

Tingkat 3
(paling bawah)$6A \;=\; $ Beda Tingkat 3

Tingkat 2$12A + 2B \;=\; $ Beda Tingkat 2 $\;\Rightarrow\; B = \dfrac{\text{Beda Tkt 2} - 12A}{2}$

Tingkat 1$7A + 3B + C \;=\; $ Beda Tingkat 1

Tingkat 0
(suku pertama)$A + B + C + D \;=\; $ Suku Pertama

Penerapan — barisan №2: 2, 10, 30, 68, 130

Panen terdepan: $a=2,\; b=8,\; c=12,\; d=6$. Dari bawah ke atas:

① $A = \dfrac{6}{6} = 1$ ② $B = \dfrac{12 - 12(1)}{2} = 0$ ③ $C = 8 - 7(1) - 3(0) = 1$ ④ $D = 2 - 1 - 0 - 1 = 0$

$U_n = n^3 + n$

Cek: $n=4 \Rightarrow 64+4=68$ ✓ · $n=5 \Rightarrow 125+5=130$ ✓

Jebakan Klasik — hati-hati!

Dua kesalahan paling sering di ulangan: lupa membagi beda tingkat 3 dengan $6$ (= $3!$), dan lupa membagi beda tingkat 2 dengan $2$ (= $2!$) saat mencari $B$. Hafalkan: semakin dalam tingkatnya, semakin besar pembaginya — 2, lalu 6, lalu 24.

Post-it: Pola koefisien cepat

Ordo 2: $A = c \div 2$. Ordo 3: $A = d \div 6$, lalu sisa "12A" ditagih saat mencari $B$. Urutan kerja selalu: bawah → atas.

Mesin Interaktif №2 · Koefisien Otomatis

Mesin Yin-Yang — dari beda ke polinomial

Masukkan hasil panen terdepan ($a$, $b$, $c$, $d$) — mesin menyelesaikan sistem langkah demi langkah, lalu memverifikasi dua arah.

Mesin Yin-Yang · Koefisien A–D LANGKAH DEMI LANGKAH

Suku pertama a

Beda tkt-1 b

Beda tkt-2 c

LANGKAH 0/0

Alur kerja tiga bab yang sudah kau kuasai

① Bedakan (Mesin Beda, Bab 03) → ② panen terdepan $a,b,c,d$ → ③ substitusi sistem Yin-Yang (mesin ini) → dapat $U_n$ dalam bentuk polinomial. Dua metode, satu jawaban — saling mengecek.

Dari Barisan ke Jumlah

Deret bertingkat: menjumlahkan suku-sukunya

Deret = jumlah suku-suku barisan. Dan ada kejutan indah: setiap penjumlahan menaikkan ordonya satu lantai.

Misal $S_n = U_1 + U_2 + \cdots + U_n$ (jumlah $n$ suku pertama). Jika $U_n$ bertingkat ordo $k$, maka barisan $S_n$-nya bertingkat ordo $k+1$ — karena menjumlahkan sama saja dengan membuat beda baru. Rumus Newton-nya menyesuaikan: faktornya kini $\binom{n}{k}$, bukan $\binom{n-1}{k}$:

$$S_n = n\,a + \frac{n(n-1)}{2!}\,b + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}\,c + \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4!}\,d + \cdots$$

Kejutan satu lantai

Jumlahkan pegangan: $S = 8, 27, 63, 122, 210$. Bedakan: $\Delta^1 = 19, 36, 59, 88$ — itu barisan asli kita yang digeser! Lanjutkan: $\Delta^2 = 17, 23, 29$ dan $\Delta^3 = 6, 6$ konstan. Barisan ordo 2 → deretnya ordo 3. Selalu demikian.

Contoh pegangan deret

Panen terdepan dari barisan $U$: $a=8,\ b=11,\ c=6$. Maka:

$$S_n = 8n + \frac{11\,n(n-1)}{2} + n(n-1)(n-2)$$

Cek $n=3$: $S_3 = 24 + 33 + 6 = 63$ — persis $8+19+36$. 63. ✓

Mesin Deret · U → S JUMLAH BERJALAN

Aplikasi Nyata

Empat cerita dunia, satu pola tangga

Barisan bertingkat bukan mainan kertas — ia muncul di kursi auditorium, bola yang jatuh, celengan, sampai tumpukan kaleng di pasar.

Kursi Auditorium

Baris depan 18 kursi; penambah antarbaris naik terus: +4, +6, +8, …

$U_n = n^2+n+16$

Bola Jatuh Bebas

Jarak jatuh tiap detik: 4,9 m; 19,6 m; 44,1 m; … kenaikan tetap 9,8.

$s(t) = 4{,}9\,t^2$

Celengan Disiplin

Setoran: 5rb; 7rb; 11rb; 17rb — kenaikannya naik 2rb terus.

$U_n = 5000+2000(n{-}1)$ $+2000\binom{n-1}{2}$

Piramida Kaleng

Lapisan atas 1 kaleng, lalu 3, 6, 10, … bilangan segitiga.

$U_n = \tfrac{n(n+1)}{2}$

Mesin Aplikasi · Geser n SUKU & TOTAL LANGSUNG

n = 4

Pertumbuhan suku demi suku

suku ke-n

total Sₙ

Mesin Interaktif №3 · Universal

Ordo-n dinamis: lempar barisan apa pun

Barisan yang lahir dari polinomial derajat $k$ pasti tertangkap di ordo $k$ — mesin ini mencari sampai ordo 4, lalu membangun rumusnya dan memprediksi 2 suku berikutnya.

Lab Ordo-n · Analisis Universal FLEKSIBEL · DINAMIS

Mengapa ini fleksibel?

Rumus Newton tidak peduli ordonya berapa — tiap tingkat baru hanya menambah satu faktor dan satu pembagi faktorial. Karena itu mesin yang sama bekerja untuk $k=1, 2, 3, 4, \ldots$ tanpa diubah. Satu prinsip, tak terbatas lantai.

Uji Pemahaman

Enam kartu — beranikah membaliknya?

Klik kartu untuk membuka jawaban. Kartu krem-kemerahan dan krem-kehijauan bergantian — putuskan dulu sebelum mengintip!

Kartu 01

Barisan 3, 7, 13, 21, 31 adalah barisan bertingkat ordo 2.

Ketuk untuk jawaban

Benar

Δ¹: 4, 6, 8, 10 lalu Δ²: 2, 2, 2 — konstan di tingkat kedua. Ordo 2. ✓

Kartu 02

Rumus Newton ordo 2: $U_n = a + (n-1)b + \frac{(n-1)(n-2)}{2}c$.

Ketuk untuk jawaban

Benar

Persis. Penyebut 2 adalah $2!$ dari tangga faktorial. ✓

Kartu 03

Barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16 adalah barisan bertingkat ordo 1.

Ketuk untuk jawaban

Salah

Bedanya 1, 2, 4, 8 — tidak konstan; dibedakan berkali-kali pun tak akan konstan. Ia geometri, bukan bertingkat.

Kartu 04

Menjumlahkan barisan ordo 2 menghasilkan deret yang ordo-nya 3.

Ketuk untuk jawaban

Benar

Bukti pegangan: $S = 8, 27, 63, 122, 210$ → $\Delta^3 = 6, 6$ konstan. ✓

Kartu 05

Pada ordo 3, nilai $A = d \div 2$.

Ketuk untuk jawaban

Salah

$A = d \div 6$, karena $3! = 6$. Yang berhubungan dengan pembagian 2 itu langkah mencari $B$.

Kartu 06

Barisan 2, 4, 8, 14, 22, 32 berordo 3.

Ketuk untuk jawaban

Salah

Δ¹: 2, 4, 6, 8, 10 dan Δ²: 2, 2, 2, 2 — konstan lebih cepat! Ordo 2, dengan $U_n = n^2 - n + 2$.

Selesaikan semua kartu sebelum lanjut

Ringkasan Akhir

Kantong rumus: bawa pulang delapan ini

Seluruh lembar terbungkus dalam delapan baris. Merekalah paspor-mu naik tangga.

Newton Umum

$$U_n = a + \sum_{k\ge1} \binom{n-1}{k}\,\Delta^k_1$$

$\Delta^k_1$ = panen terdepan tingkat ke-$k$.

Ordo 2

$$U_n = a + (n-1)b + \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}c$$

Ordo 3

$$U_n = a + (n-1)b + \tfrac{(n-1)(n-2)}{2}c + \tfrac{(n-1)(n-2)(n-3)}{6}d$$

Yin-Yang O2

$$2A=\Delta^2,\quad 3A+B=\Delta^1_1,\quad A+B+C=U_1$$

Yin-Yang O3

$$6A=\Delta^3,\; 12A{+}2B=\Delta^2,\; 7A{+}3B{+}C=\Delta^1_1,\; A{+}B{+}C{+}D=U_1$$

Deret Bertingkat

$$S_n = n\,a + \binom{n}{2}b + \binom{n}{3}c + \binom{n}{4}d + \cdots$$

Faktorial

$$0!=1,\; 1!=1,\; 2!=2,\; 3!=6,\; 4!=24$$

Alur Emas

BEDA → KONSTAN → PANEN a·b·c·d
→ SUBSTITUSI → UJI → PREDIKSI

Kantong penuh — siap ujian

Deret dan Barisan Bertingkat atau Ordo n

Barisan & Deret BERTINGKAT