Diferensiasi Kompleks — Limit, Cauchy–Riemann, Analitik | Oleh: Rohmad Wahid Rhomdani

∂u/∂x = ∂v/∂y , ∂u/∂y = −∂v/∂x

Δz → 0 dari segala arah · z̄ tak pernah diferensiabel · f′ = |f′|e^(iφ)

Analisis Kompleks · Diferensiasi Kompleks

Diferensiasi Kompleks

Oleh : Rohmad Wahid Rhomdani

Tentang bab ini

Definisi turunannya sama seperti di kalkulus — tetapi kini Δz hidup di BIDANG: ia bisa mendekat dari segala arah. Tuntutan ekstra inilah yang melahirkan persamaan Cauchy–Riemann.

Intisari

Jika f′ benar-benar ada, f harus lurus dan konsisten ke segala arah — dan secara geometris f′ berarti memutar sekaligus membesarkan peta di sekitar titik.

1.1
Limit Dua DimensiΔz dari segala arah + Mesin Radar Arah Limit
1.2
Persamaan Cauchy–Riemannderivasi, bentuk polar, Lab Penguji + Peta CR
1.3
Analitik, Entire, Harmoniklingkungan vs titik + Lab fungsi harmonik
1.4
Geometri f′: Besar dan Putar|f′| pembesaran, arg f′ rotasi + Lab Transformasi Grid

Contoh pegangan: f(z)=z² (bintangnya) dan f(z)=z̄ (penjahatnya), di titik z₀ = 1+i.

Gulir ke bawah

1.1

Limit yang Kini Berdimensi Dua

Di kalkulus real, turunan diukur lewat limit selisih — dan Δx hanya punya dua pilihan arah: dari kanan atau dari kiri. Di dunia kompleks, Δz adalah vektor di bidang: ia bisa datang dari segala arah mata angin.

$$f'(z_0)=\lim_{\Delta z\to 0}\frac{f(z_0+\Delta z)-f(z_0)}{\Delta z}$$

Agar f′ ada, hasil bagi selisih harus konvergen ke nilai yang SAMA, betapapun Δz mendekat: horizontal, vertikal, spiral, miring 37°. Satu arah saja membangkang — f′ batal.

DUNIA REAL vs DUNIA KOMPLEKS

DI ℝ · DUA ARAH

Cukup cek limit kiri = limit kanan. Δx bergerak di garis — satu dimensi, dua penjuru.

DI ℂ · TAK HINGGA ARAH

Δz bergerak di bidang: setiap sudut θ adalah jalur masuk. Limit wajib sama untuk SEMUA θ — syarat jauh lebih keras.

AKIBATNYA

Diferensiabel-kompleks itu istimewa: sekali lolos, fungsi terikat aturan rapi (Cauchy–Riemann) dan sifatnya cantik.

InputΔz = h·e^(iθ)

Proseshasil bagi selisih

Ujih→0 tiap θ

SyaratSAMA semua θ

Analogi radar: di ℝ kita cukup intip dari kiri dan kanan. Di ℂ, radar harus menyapu 360° — dan semua arah harus melaporkan angka yang persis sama. Mesin radar-nya kita bangun di slide berikut.

1.1

Definisi Formal dan Contoh Pegangan

f diferensiabel di $z_0$ jika limit hasil bagi selisih ADA, segala arah

Contoh pegangan kita: $f(z)=z^2$ di sekitar $z_0=1+i$. Ikuti pembuktian $f'(z)=2z$ dari prinsip pertama di mesin di samping — perhatikan bahwa di langkah akhir, |h|→0 memaksa apa pun arahnya.

Pegangan angka

Di z₀ = 1+i: f′(1+i) = 2(1+i) = 2+2i. Nanti di Lab Geometri kita lihat: angka ini berarti "besarkan 2,83× lalu putar 45°".

$$f'(z)=2z\quad\text{untuk semua } z\in\mathbb{C}\;\Rightarrow\; z^2 \text{ entire}$$

MESIN BUKTI: (z²)′ = 2z

① TULIS LIMIT

$\dfrac{f(z+h)-f(z)}{h}=\dfrac{(z+h)^2-z^2}{h}$

h kini bilangan kompleks — nanti kita biarkan h→0 dari arah mana pun.

② EKSPANSI

$\dfrac{z^2+2zh+h^2-z^2}{h}$

Binomial $(z+h)^2=z^2+2zh+h^2$ — aljabar biasa, sah di ℂ.

③ SEDERHANAKAN

$\dfrac{h\,(2z+h)}{h}=2z+h$

z² saling menghapus; karena h ≠ 0, h boleh dicoret.

④ BIARKAN h→0

$2z+h\;\longrightarrow\;2z$

Kunci: $|2z+h-2z|=|h|\to 0$ TANPA memandang arah h. Kekuatan modulus!

⑤ KESIMPULAN

$f'(z)=2z\;\;\forall z\in\mathbb{C}$

Diferensiabel di setiap titik → z² entire. Persis seperti kalkulus real! ∎

Langkah 1 dari 5

1.1 · LAB

Mesin Radar: Arah Limit Δz

Pilih fungsi, geser titik z₀ dan arah θ, lalu tekan JALANKAN — mesin mengecilkan h dan mencatat hasil bagi selisih. Ganti θ: apakah limitnya tetap sama? Di sinilah z̄ ketahuan berbuat onar.

MESIN ARAH LIMIT · RADAR Δz

Re z₀1.0

Im z₀1.0

Arah θ0°

Ukuran h0.5

Preset:

Δz saat ini–

Hasil bagi Δf/Δz–

h	L = Δf/Δz

Cek keadilan: mesin juga membandingkan θ dengan θ+90° dan θ+45°.

1.2

Menurunkan Cauchy–Riemann dari Dua Arah

Tulis $f=u+iv$ dengan $u,v$ fungsi dua variabel real. Jika f′ ada, pendekatan lewat sumbu-x dan sumbu-y wajib memberi nilai sama — dua "jalan" yang harus bertemu.

INILAH PERSAMAAN CAUCHY–RIEMANN

$u_x=v_y,\qquad u_y=-v_x$

$f'(z_0)=u_x+i\,v_x\;=\;v_y-i\,u_y$

dengan $u_x=\partial u/\partial x$, dst. Dua persamaan ini adalah syarat perlu diferensiabilitas.

$$\text{Polar: }\;u_r=\tfrac{1}{r}v_\theta,\quad v_r=-\tfrac{1}{r}u_\theta,\quad f'(z)=e^{-i\theta}(u_r+i\,v_r)$$

MESIN DERIVASI CR

① ARAH SUMBU-X

$\Delta z=h:\;\dfrac{f(z_0+h)-f(z_0)}{h}\;\longrightarrow\;u_x+i\,v_x$

Hanya x yang berubah — persis definisi turunan parsial u dan v.

② ARAH SUMBU-Y

$\Delta z=ih:\;\dfrac{f(z_0+ih)-f(z_0)}{ih}\;\longrightarrow\;v_y-i\,u_y$

Membagi dengan ih sama dengan mengalikan −i — perhatikan tanda yang berbalik.

③ LIMIT HARUS SAMA

$u_x+i\,v_x\;=\;v_y-i\,u_y$

Jika f′ benar-benar ada, semua arah sepakat — termasuk dua arah istimewa ini.

④ URai REAL–IMAJINER

$u_x=v_y\qquad v_x=-u_y$

Samakan bagian real dan bagian imajiner kedua ruas.

⑤ CAUCHY–RIEMANN

Dua persamaan — syarat PERLU f′ ada

Ditambah kontinuitas partial, CR menjadi syarat CUKUP — lihat Slide 8. ∎

Langkah 1 dari 5

1.2 · LAB

Lab: Penguji Cauchy–Riemann

Pilih fungsi, geser titik (x, y). Mesin menghitung keempat partial secara numerik, lalu menguji kedua persamaan CR di titik itu — dan menyimpulkan nasib f′:

PENGUJI CR · f = u + iv

x1.0

y1.0

u dan v

–

∂u/∂x–

∂u/∂y–

∂v/∂x–

∂v/∂y–

1.2 · LAB

Peta Daerah Cauchy–Riemann

CR diuji di 625 titik sekaligus (kisi −2,4 … 2,4). Hijau = CR lolos, merah = gugur, abu = titik singular. Klik sel mana pun untuk membaca residunya:

PETA CR · WILAYAH KELOLOSAN

CR ✓ CR ✗ singular

–

Baca polanya: untuk z² hijau di mana-mana; untuk z̄ merah di mana-mana; |z|² hanya satu titik hijau; x²+iy² hanya garis diagonal. Bentuk wilayah hijau menentukan nasib analitiknya.

1.2

Kapan CR Cukup? Jebakan Titik Tunggal

Teorema yang aman

CR ✓ di lingkungan $+$ partial kontinu $\Rightarrow f'$ ada

Jika keempat partial ada dan kontinu di sekitar titik serta CR terpenuhi di sana, maka f diferensiabel di titik itu. Dua arah sumbu "menarik" semua arah lain mengikuti.

Jebakan: CR saja

$f(z)=\dfrac{z^5}{|z|^4}$: CR ✓ di $0$, tetapi f′ tidak ada di $0$

CR di satu titik tanpa kontinuitas bisa menipu — limit dari arah miring tetap membangkang. Maka di lab, mesin selalu mengecek lebih dari dua arah.

Diferensiabel di SATU titik ≠ analitik — analitik menuntut lingkungan penuh

Syaratpartial kontinu

SyaratCR di lingkungan

Hasilf′ ada

Bonusanalitik bila berlaku terbuka

Contoh pegangan |z|²

$f(z)=|z|^2$ diferensiabel hanya di 0 dengan $f'(0)=0$ — tetapi TIDAK analitik: tidak ada lingkungan di sekitar 0 yang penuh titik diferensiabel. Titik tunggal tidak menetapkan status analitik.

Contoh x²+iy²

CR terpenuhi hanya pada garis y=x — f diferensiabel di sepanjang garis itu (f′=2x), tetapi garis tidak pernah memuat lingkaran → analitik di mana-mana? Tidak sama sekali.

1.3

Analitik, Entire, dan Hierarkinya

f analitik (holomorfik) di titik ⟺ f′ ada di SELURUH lingkungan sekitar titik itu

Level 1f′ ada di 1 titik

Level 2f′ ada di lingkungan = ANALITIK

Level 3analitik di seluruh ℂ = ENTIRE

z², eᶻ, sin z

Klub Entire

Polinomial, $e^z$, $\sin z$, $\cos z$ — diferensiabel di semua ℂ. Aturan aljabar turunan berlaku persis seperti real.

entire

1/z

Analitik Bertitik Lubang

Analitik di ℂ kecuali di 0 (titik singular). Turunannya $-1/z^2$ juga sah di z ≠ 0. Cukup satu lubang untuk gugur dari klub entire.

analitik di z ≠ 0

|z|²

Diferensiabel Satu Titik

f′(0)=0 ada, tetapi tanpa lingkungan — bukan analitik. Contoh favorit soal ujian untuk menguji pemahaman definisi.

bukan analitik

z̄

Gugur Total

CR gagal di setiap titik: $u_x=1$ tetapi $v_y=-1$. Antiklimaks yang berguna — bukti bahwa konjugasi bukan "fungsi analitik terselubung".

f′ tidak pernah ada

Trik cepat

Ganti x → z dan y → iz pada rumus f; jika hasilnya bisa ditulis murni dalam z tanpa z̄, itu petunjung kuat f analitik. Contoh: $x^2-y^2+2ixy = (x+iy)^2 = z^2$ ✓

1.3 · LAB

Fungsi Harmonik dan Konjugatnya

Jika f = u + iv analitik, maka u dan v otomatis harmonik — memenuhi persamaan Laplace:

$$\nabla^2 u=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2 u}{\partial y^2}=0$$

Dari mana? Turunkan CR terhadap x lalu terhadap y dan jumlahkan: $u_{xx}=v_{yx}$ dan $u_{yy}=-v_{xy}$ — keduanya saling menghapus. Dua CR bekerja sama seperti mesin penghapus.

Konjugat harmonik

Pasangan v yang membuat f = u + iv analitik disebut konjugat harmonik — dicari dengan mengintegrasikan CR, unik hingga konstanta. Kurva level u dan v selalu saling tegak lurus di mana f′ ≠ 0. Uji di mesin:

MESIN HARMONIK · PEMERIKSA LAPLACE

x1.0

y1.0

u(x,y) terpilih

–

∂²u/∂x²–

∂²u/∂y²–

∇²u = jumlah–

1.4

Makna Geometri f′: Besar dan Putar

$$f'(z_0)=|f'(z_0)|\,e^{\,i\arg f'(z_0)}\;=\;\underbrace{\text{pembesaran}}_{|f'|}\times\underbrace{\text{rotasi}}_{\arg f'}$$

Lingkaran kecil di sekitar z₀ (kiri) dipetakan f. Jika f′ ada, bayangannya lingkaran yang sama, dibesarkan |f′|× dan diputar arg f′ — garis putus teal adalah aproksimasi itu. Bandingkan dengan bayangan EKSAK (bata):

LAB KACA PEMBESAR LOKAL

Re z₀1.0

Im z₀1.0

Radius r0.30

BIDANG z (domain)

BIDANG w (= f(z))

|f′(z₀)| pembesaran–

arg f′(z₀) rotasi–

Kecilkan r agar garis bata (eksaq) dan teal (aproksimasi) saling menempel — itulah makna "linearisasi".

1.4 · LAB

Lab: Transformasi Grid Bidang

Seluruh grid kotak-kotak dilempar ke bidang w. Di mana f′ ≠ 0, dua keluarga kurva tetap saling tegak lurus (konformal). Di titik kritis f′=0, sudut dilipat:

MESIN TRANSFORMASI w = f(z)

–

Perhatikan z²: grid berubah jadi dua keluarga parabola yang tetap bersudut siku — kecuali di z = 0 tempat f′ = 0 dan sudut 90° terlipat menjadi 180°. Titik kritis = tempat mesin "menekuk" peta.

1.4

Aturan Turunan: Warisan Kalkulus

Kabar baik: seluruh aturan aljabar turunan dari kalkulus real tetap sah di ℂ — buktinya lewat limit yang sama:

Aturan	Rumus
Jumlah / selisih	$(f\pm g)'=f'\pm g'$
Hasil kali	$(f\,g)'=f'g+fg'$
Hasil bagi	$\left(\dfrac{f}{g}\right)'=\dfrac{f'g-fg'}{g^2},\quad g\neq 0$
Rantai	$(f\circ g)'(z)=f'\!\big(g(z)\big)\,g'(z)$
Pangkat	$(z^n)'=n\,z^{n-1}$

Fungsi	Turunan	Status
zⁿ	$n z^{n-1}$	entire
eᶻ	$e^z$	entire
sin z	$\cos z$	entire
cos z	$-\sin z$	entire
ln z	$1/z$	per cabang
z̄	—	tak pernah ada

Kenapa aturannya identik? Karena pembuktian real hanya memakai aljabar limit — dan aljabar ℂ sama dengan aljabar ℝ. Yang berubah bukan aturannya, melainkan ketatnya syarat keberadaan.

UJI DIRI

Lima Soal Pegangan

Kerjakan dulu di buku catatan, lalu klik untuk membuka pembahasan:

Pembahasan. Hasil bagi selisih f = x²+y² menuju nilai $(2(x_0\cos\theta+y_0\sin\theta))\,e^{-i\theta}$.

θ = 0 : $\;2(1)(1)e^{0}=2$ · θ = 90° : $\;2(1)(1)e^{-i\pi/2}=-2i$

Karena $2\neq-2i$, limit bergantung arah → f′ tidak ada di 1+i. (Cek ulang di Mesin Radar, Slide 4!)

Pembahasan. u = x², v = y² → u_x = 2x, v_y = 2y, u_y = 0, v_x = 0.

CR1: $2x=2y\Rightarrow x=y$ · CR2: $0=0$ ✓ selalu

CR hanya pada garis y = x; di sana f′ = u_x + i·v_x = 2x. Tetapi garis tidak memuat lingkungan → f tidak analitik di mana pun, meski diferensiabel di tak hingga banyak titik.

Pembahasan. u_xx = eˣ cos y dan u_yy = −eˣ cos y → ∇²u = 0 ✓ harmonik.

v_y = u_x = eˣ cos y $\Rightarrow v=e^x\sin y+\varphi(x)$; lalu CR2: $u_y=-v_x\Rightarrow \varphi'(x)=0$

Jadi v = eˣ sin y + C, dan f = eˣ cos y + i eˣ sin y = eᶻ — tumbang menjadi fungsi yang kita kenal.

Pembahasan. f′(z) = 2z → f′(1+i) = 2+2i.

$|f'|=|2+2i|=2\sqrt{2}\approx 2{,}83$ · $\arg f'=\arctan(1)=45^{\circ}$

Lingkaran r = 0,1 kira-kira menjadi lingkaran berjari-jari 0,283 yang diputar 45° — verifikasi visualnya di Lab Geometri (Slide 11): garis bata dan teal menempel ketika r kecil.

Pembahasan. u = x², v = xy → u_x = 2x, v_y = x, u_y = 0, v_x = y.

CR1: $2x=x\Rightarrow x=0$ · CR2: $0=-y\Rightarrow y=0$

Kedua CR hanya bertepuk di (0,0); partial kontinu → f diferensiabel hanya di 0 dengan f′(0) = 0. Tanpa lingkungan → bukan analitik. Kembaran pola |z|²!

RANGKUMAN

Satu Tabel untuk Semua Fungsi

Fungsi	f′ ada di	Analitik	f′	Catatan CR
z²	semua z	entire	2z	CR ✓ di mana-mana
z̄	∅		—	CR ✗ di mana-mana
\|z\|²	hanya {0}		0 di 0	CR ✓ hanya di 0
x²+i·y²	garis y=x		2x di garis	CR ✓ pada garis
eᶻ	semua z	entire	eᶻ	CR ✓ identitas
1/z	z ≠ 0	(z≠0)	−1/z²	CR ✓ kecuali 0
sin z	semua z	entire	cos z	CR ✓ identitas trig.

Cara membaca: kolom "f′ ada di" mengikuti bentuk wilayah hijau di Peta CR (Slide 7); kolom Analitik baru boleh ✓ bila wilayah itu memuat lingkungan penuh — bukan sekadar titik atau garis.

INTI

Kartu Hafalan — Rumus Inti

Limit: f′(z₀) = lim Δf/Δz — Δz dari SEGALA arah bidangDefinisi
Cauchy–Riemann: u_x = v_y , u_y = −v_xSyarat perlu
f′ = u_x + i·v_x = v_y − i·u_x... bentuk aman: u_x + i·v_xHitung f′
Polar: u_r = (1/r)·v_θ , v_r = −(1/r)·u_θ , f′ = e^(−iθ)(u_r + i·v_r)Bentuk polar
Harmonik: ∇²u = u_xx + u_yy = 0 — turunan dari CRKonsekuensi
Geometri: |f′| = pembesaran, arg f′ = rotasi; konformal ⟺ f′ ≠ 0Makna peta
Analitik = f′ ada di lingkungan; entire = analitik di seluruh ℂHierarki

RADAR 360° ⊕ CR DUA PERSAMAAN ⊕ PARTIAL KONTINU = f′ ADA

GAME

Kuis Berhadiah — 10 Soal

Jawab semua untuk sertifikat "Pembaca Peta Analitik". Skor ≥ 8 = mastery:

PAPAN KUIS DIFERENSIASI KOMPLEKS

EPILOG

Satu Limit, Semua Arah

Mahasiswa

"Jadi rumus limitnya sama persis dengan kalkulus — lalu apa yang membuatnya berbeda?"

Pengajar

Hanya satu hal: Δz sekarang tinggal di bidang. Dua dimensi memaksa limit sepakat ke segala arah — dan dari tuntutan itu lahir Cauchy–Riemann, fungsi harmonik, sampai geometri memutar-membesarkan. Syarat yang lebih keras, hadiah yang lebih indah.

Mahasiswa

"Dan setiap kali melihat f, saya harus curiga: apakah ia konsisten ke segala arah — atau berpotensi seperti z̄?"

Pengajar

Tepat. z̄ adalah pengingat abadi bahwa tampak mulus belum tentu analitik. Selamat — Anda siap naik ke bab integrasi kurva.

BAB BERIKUTNYA Integral Kurva & Teorema Cauchy kontur · integral siklik · anti-turunan