RHOMDANI : DEFINIS, POSTULAT DAN TEOREMA

Geometri berasal dari bahasa Yunani geōmetrein yang memiliki arti mengukur bumi. Bapak dari geometri yaitu Euclid atau Eukleidēs (sekitar 325 SM – sekitar 265 SM) dalam tulisannya “The Element” yang menjadi referensi utama dalam bidang geometri hingga abad ke-20 menjelaskan mengenai Geometri yang kini dikenal dengan Euclidean geometry. Sekitar 2000 tahun setelah dibuatnya “The Element”, geometri mengalami perkembangan dimana pada abad ke-19 muncul non-Euclidean geometry.

Aksioma adalah sebuah pernyataan dimana pernyataan yang kita terima sebagai suatu kebenaran dan bersifat umum, serta tanpa perlu adanya pembuktian dari kita. Bisa juga dikatakan adalah sebuah ketentuan yang pasti atau mutlak kebenarannya.

Definisi merupakan sebuah pernyataan yang dibuat dengan menggunakan konsep yang tak terdefinisi atau konsep yang telah terdefinisi sebelumnya. Konsep yang tak terdefinisi didalam geometri misalnya adalah titik, garis, bidang dan ruang.

Postulat adalah sebuah pernyataan matematika yang disepakati benar tanpa perlu adanya pembuktian. Sebagian orang mengatakan Postulat = Aksioma sehingga mereka dapat dipertukarkan, karena didalam suatu materi terkadang telah ditentukan pernyataan yang telah disepakati kebenarannya, sehingga disebut Aksioma.

Kumpulan Definisi, Aksioma, dan Postulat

DEFINISI 1: Ruas garis AB adalah himpunan titik-titik dari garis yang memuat titik A dan titik B dan semua titik diantara titik A dan B.
DEFINISI 2: Sinar adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dari titik pangkal sinar garis dan semua titik pada sisi yang sama terhadap titik pangkalnya.
DEFINISI 3: Sinar-sinar yang berlawanan adalah dua sinar berlainan pada garis yang sama dan mempunyai titik pangkal yang sama.
DEFINISI 4: Sudut adalah himpunan titik-titik yang merupakan gabungan dua sinar dan kedua titik pangkalnya berserikat.
DEFINISI 5: Titik tengah dari ruas garis adalah suatu titik pada ruas garis itu sedemikian membentuk dua ruas garis yang sama ukurannya.
DEFINISI 6: Garis bagi (bisector) dari ruas garis adalah garis yang memotong ruas garis pada titik tengahnya.

Postulat 1: Sebuah garis paling sedikit terdiri atas 2 titik.
Postulat 2: Sebuah bidang paling sedikit terdiri atas 3 titik nonkolinear.
Postulat 3: Melalui 2 titik akan terbentuk tepat satu garis.
Postulat 4: Melalui 3 titik akan terbentuk tepat satu bidang.
Postulat 5: Jika dua titik berada pada satu bidang, maka garis yang menghubungkannya akan berada dalam bidang tersebut.
Postulat 6: Jika dua bidang saling memotong, maka perpotongannya adalah sebuah garis.

Teorema 1: Jika dua bidang saling memotong, maka perpotongannya adalah sebuah titik.
Teorema 2: Jika sebuah titik berada di luar garis, maka terdapat tepat satu bidang yang melalui garis dan titik tersebut.
Teorema 3: Jika dua garis saling memotong, maka terdapat tepat satu bidang yang melalui kedua garis tersebut.

Postulat 7 (Postulat Penggaris): Setiap titik pada sebuah garis dapat dipasangkan dengan satu bilangan nyata yang disebut koordinat. Jarak antara kedua titik adalah selisih positif dari koordinatnya.
Postulat 8 (Postulat Penjumlahan Ruas Garis): Jika B berada di antara A dan C pada sebuah garis, maka AB + BC = AC.

Teorema 4: Sebuah ruas garis mempunyai tepat satu titik tengah.
Teorema 5: Jika dua bidang sejajar dengan bidang yang sama, maka kedua bidang tersebut sejajar.
Teorema 6: Jika dua bidang yang tegak lurus dengan bidang yang sama, maka kedua bidang tersebut akan berpotongan atau sejajar.

Definisi 7 - 12

Definisi 7: Sudut siku-siku adalah suatu sudut dari 90$^0$.
Definisi 8: Sudut lurus adalah suatu sudut dari 180$^0$.
Definisi 9: Sudut lancip adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 0$^0$ dan lebih kecil 90$^0$.
Definisi 10: Sudut tumpul adalah suatu sudut yang ukurannya lebih besar 90$^0$ dan lebih kecil 180$^0$.
Definisi 11: Dua sudut saling berkomplemen adalah suatu sudut yang jumlah ukurannya 90$^0$.
Definisi 12: Dua sudut saling bersuplemen adalah dua sudut yang jumlah ukurannya 180$^0$.

Postulat 9 (Postulat Busur Derajat): Misalkan O adalah titik pada garis dan semua sinar garis dengan titik ujung O terletak pada satu sisi. Setiap sinar garis bisa dipasangkan dengan satu bilangan antara 0$^0$ dan 180$^0$. Selisih positif antara dua bilangan yang menunjukan dua sinar yang berbeda adalah ukuran sudut yang sisi-sisinya adalah dua sinar itu.
Postulat 10 (Postulat Penjumlahan Sudut): Jika sinar OB berada diantara sinar OA dan OC, maka m∠AOB + m∠BOC = m∠AOC.

Teorema 7: Suatu sudut yang bukan sudut lurus hanya mempunyai satu garis bagi sudut.
Teorema 8: Semua sudut siku-siku sama.
Teorema 9: Sudut-sudut bertolak belakang mempunyai ukuran yang sama.
Teorema 10: Jika dua sudut merupakan sudut penyiku yang sama, atau sudut yang besarnya sama, maka keduanya akan sama besar.
Teorema 11: Jika sisi berbeda dari dua sudut berdampingan terletak pada sebuah garis maka kedua sudut itu adalah sudut pelurus.
Teorema 12: Jika dua sudut merupakan pelurus sudut yang sama atau yang ukurannya sama, maka keduanya mempunyai ukuran sudut yang sama.
Teorema 13: Jumlah sudut dalam setiap segitiga adalah 180$^0$.
Teorema 14: Besar sudut luar segitiga sama dengan jumlah dua sudut dalam yang tidak berdampingan dengan sudut tersebut.
Teorema 15: Setiap sudut segitiga sama sudut memiliki sudut yang sama, yaitu yang berukuran 60$^0$.

Definisi 13 - 22

DEFINISI 13: Dua garis saling tegak lurus adalah dua garis yang saling berpotongan membentuk sudut siku-siku.
DEFINISI 14: Garis bagi suatu sudut adalah suatu sinar sedemikian hingga titik pangkalnya titik sudut itu dan membentuk dua sudut yang sama ukurannya dengan kaki sudut itu.
DEFINISI 15: Ruas-ruas garis yang kongruen adalah ruas-ruas garis yang mempunyai ukuran sama.
DEFINISI 16: Sudut-sudut yang kongruen adalah sudut-sudut yang mempunyai ukuran sama.
DEFINISI 17: Jumlah dari dua ruas garis adalah jika dan hanya jika B diantara A dan C.
DEFINISI 18: Titik C terletak diantara ruas garis A dan B yang berlainan jika dan hanya jika C diantara A dan B.
DEFINISI 19: Sinar PB terletak diantara sinar PA dan PC.
DEFINISI 20: Jumlah dari dua sudut diantara sinar.
DEFINISI 21: Sudut diantara dua sinar.
DEFINISI 22: Dua sudut bertolak belakang adalah dua sudut sedemikian rupa hingga kaki-kaki dari sudut yang satu merupakan sinar yang berlawanan dengan kaki-kaki sudut yang lain.

Garis Sejajar dan Transversal

DEFINISI 46: Sudut eksterior (luar) pada suatu polygon adalah suatu sudut yang bersisihan dan bersuplemen terhadap suatu polygon tersebut.
DEFINISI 47: Garis-garis yang sejajar adalah dua garis yang sebidang dan tidak berpotongan. Garis a sejajar dengan b dinotasikan dengan a // b.
DEFINISI 48: Suatu transversal adalah suatu garis yang memotong dua garis lain di dua titik yang berlainan.
DEFINISI 49: Sudut-sudut berseberangan dalam (alternate interior angles) adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; kedua sudut tersebut pada daerah interior di sisi yang berlawanan dari transversal, dan titik sudutnya berlainan.
DEFINISI 50: Sudut-sudut berseberangan luar (alternate exterior angles) adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; kedua sudut tersebut pada daerah eksterior di sisi yang berlawanan dari transversal, dan titik sudutnya berlainan.
DEFINISI 51: Sudut-sudut yang sehadap (corresponding angles) adalah dua sudut yang dibentuk oleh transversal yang memotong dua garis; sudut-sudut tersebut titik sudutnya berlainan, satu terletak di daerah interior dan yang lain pada daiah eksterior tetapi kedua sudut tersebut sepihak dengan transversal.

Postulat 11 (Postulat Sejajar): Jika dua garis sejajar terpotong oleh garis melintang, maka besar sudut-sudut sehadap yang terbentuk adalah sama.

Teorema 16: Jika dua garis sejajar terpotong oleh garis melintang, maka sudut dalam berseberangan besarnya sama.
Teorema 17: Jika dua garis sejajar terpotong oleh garis melintang, maka sudut-sudut luar berseberangan besarnya sama.
Teorema 18: Jika dua garis sejajar terpotong oleh garis melintang, maka sudut-sudut dalam sepihaknya akan berupa sudut pelurus (jumlahnya 180$^0$).
Teorema 19: Jika dua garis sejajar terpotong oleh garis melintang, maka sudut-sudut luar sepihaknya akan berupa sudut pelurus.
Teorema 20: Jika dua garis sejajar terpotong oleh sebuah garis melintang, maka setiap pasang sudut yang terbentuk akan sama atau berupa sudut pelurus.
Teorema 21: Jika sebuah garis melintang tegak lurus dengan salah satu dari dua garis sejajar, maka akan juga tegak lurus dengan garis yang satunya.

Postulat 12: Jika dua garis dan sebuah garis melintang membentuk sudut-sudut sehadap yang sama besarnya, maka dua garis-garis tersebut sejajar.
Teorema 19 (Kebalikan): Jika dua buah garis dan sebuah garis melintang membentuk sudut-sudut dalam berseberangan yang besarnya sama, maka kedua garis tersebut sejajar.
Teorema 20 (Kebalikan): Jika dua buah garis dan sebuah garis melintang membentuk sudut-sudut luar berseberangan yang besarnya sama, maka kedua garis tersebut sejajar.
Teorema 21 (Kebalikan): Jika dua buah garis dan sebuah garis melintang membentuk sudut-sudut dalam sepihak yang saling berpelurus, maka kedua garis tersebut sejajar.
Teorema 22: Jika dua buah garis dan sebuah garis melintang membentuk sudut-sudut luar sepihak yang saling berpelurus, maka kedua garis tersebut sejajar.
Teorema 23: Pada sebuah bidang jika dua garis sejajar dengan garis yang ketiga, maka kedua garis tersebut saling sejajar.
Teorema 24: Pada sebuah bidang, jika dua garis tegak lurus dengan garis yang sama, maka kedua garis tersebut saling sejajar.

POLYGON

DEFINISI 23: Polygon adalah gabungan himpunan titik-titik P1, P2, P3, ... Pn-1, Pn dengan ruas-ruas garis: P1P2, P2P3, ... Pn-1Pn, PnP1, sedemikian rupa hingga jika dua sebarang dari ruas garis berpotongan, bertitik potong salah satu dari titik P1, P2, P3 ... Pn-1, Pn dan tidak ada titik lain.
DEFINISI 24: Korespondensi (hubungan) sudut-sudut dari dua polygon adalah dua sudut dengan titik sudutnya berpasangan, yang merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut-titik sudut dua polygon.
DEFINISI 25: Korespondensi (hubungan) sisi-sisi dari dua polygon adalah dua sisi dengan titik ujungnya berpasangan yang merupakan korespondensi unsur-unsur yang bersesuaian diantara titik sudut-titik sudut dari dua polygon.
DEFINISI 26: Dua polygon adalah kongruen, jika ada korespondensi 1-1 diantara titik-titiknya sedemikian rupa hingga: (1) semua sisi yang korespondensi kongruen, dan (2) semua sudut yang korespondensi kongruen.

SEGITIGA

DEFINISI 27: Segitiga adalah polygon yang bersisi tiga.
Teorema 65 (Teorema Pythagoras): Pada setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat kaki-kakinya sama dengan kuadrat garis miringnya (kaki$^2$ + kaki$^2$ = sisi miring$^2$).
Teorema 66: Jika sebuah segitiga mempunyai sisi-sisi dengan panjang a, b, dan c, di mana c adalah sisi yang terpanjang dan $c^2 = a^2 + b^2$, maka segitiga tersebut adalah segitiga siku-siku dengan c sebagai sisi miringnya.
Teorema 67: Jika a, b dan c mewakili panjang sisi-sisi segitiga dengan c sebagai sisi yang terpanjang, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul jika $c^2 > a^2 + b^2$, dan segitiga lancip jika $c^2 < a^2 + b^2$.

Definisi 28 - 35

DEFINISI 28-31: Tentang Segitiga sama sudut, segitiga siku-siku, segitiga sama sisi, dan segitiga sama kaki.
DEFINISI 32 A: Interior (sudut dalam) dari sebuah sudut adalah suatu himpunan titik-titik sedemikian rupa hingga jika sebuah sinar yang titik pangkalnya adalah verteks sudut tersebut, ditarik melalui sembarang sebuah titik pada himpunan titik-titik itu, sinar akan terletak diantara sisi-sisi sudut tersebut.
DEFINISI 32 B: Interior (sudut dalam) pada suatu segitiga adalah himpunan titik-titik yang merupakan persekutuan sembarang dua interior-interior sudut segitiga tersebut.
DEFINISI 33: Garis tinggi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks (titik sudut), tegak lurus terhadap sisi di hadapannya (dapat diperpanjang, jika diperlukan) pada segitiga tersebut.
DEFINISI 34: Garis berat pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang ditarik dari sembarang verteks ke titik tengah sisi di hadapan sudut tadi.
DEFINISI 35: Garis bagi pada suatu segitiga adalah suatu segmen yang membagi dua sama ukurannya sembarang sudut pada segitiga dan berujung pada sisi hadapannya.

KESEBANGUNAN

Postulat 13 (Postulat SSS): Jika setiap sisi sebuah segitiga sama dan sebangun dengan sisi setiap segitiga yang lain, maka segitiga-segitiga itu adalah segitiga kongruen.
Postulat 14 (S, Sd, S): Jika dua sisi dan sebuah sudut yang diapit dari sebuah segitiga sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Postulat 15 (Sd, S, Sd): Jika dua sudut dan sisi yang diapitnya dari sebuah segitiga sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Teorema 28 (Teorema Sd, Sd, S): Jika dua sudut dan sisi yang tidak diapit dari sebuah segitiga sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama dari segitiga yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Postulat 16 (Postulat MK): Jika sisi miring dan kaki sebuah segitiga siku-siku sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama dari segitiga siku-siku yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Teorema 29 (Teorema MS): Jika sisi miring dan sebuah sudut lancip dari sebuah segitiga siku-siku sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama dari segitiga siku-siku yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Teorema 30 (Teorema KK): Jika kaki-kaki sebuah segitiga siku-siku sama dan sebangun dengan bagian-bagian segitiga siku-siku yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Teorema 31 (Teorema KSd): Jika satu kaki dan satu sudut sebuah segitiga siku-siku sama dan sebangun dengan bagian-bagian yang sama segitiga siku-siku yang lain, maka kedua segitiga tersebut kongruen.
Teorema 32: Jika dua sisi sebuah segitiga sama, maka sudut-sudut yang berlawanan dari sisi-sisi tersebut juga sama.
Teorema 33: Jika sebuah segitiga sisinya sama, maka sudut segitiga tersebut juga sama.
Teorema 34: Jika dua sudut sebuah segitiga sama, maka sisi-sisi yang berlawanan dengan sudut-sudut tersebut juga sama.
Teorema 35: Jika sebuah segitiga sama sudut, maka sisi segitiga itu juga sama.
Teorema 36: Jika dua sisi segitiga tidak sama, maka ukuran sudut-sudut yang berlawanan dengan sisi-sisi tersebut juga tidak sama. Sudut yang lebih besar akan berlawanan dengan sisi yang lebih besar.
Teorema 37: Jika dua sudut segitiga tidak sama, ukuran sisi-sisi yang berlawanan dengan sudut-sudut tersebut juga tidak sama. Sisi yang lebih panjang akan berlawanan dengan sudut yang lebih besar.
Teorema 38 (Teorema Ketidaksamaan Segitiga): Jumlah panjang setiap dua sisi segitiga lebih besar dibandingkan dengan panjang yang ketiga.
Teorema 39: Jika segi banyak cembung mempunyai jumlah sisi n, maka jumlah sudut dalamnya dicari dengan persamaan berikut: S = (n - 2) x 180$^0$.
Teorema 40: Jika sebuah segi banyak cembung, maka jumlah sudut-sudut luarnya adalah 360$^0$.
Teorema 41: Sebuah diagonal membagi jajaran genjang menjadi dua segitiga sama dan sebangun.

SEGI EMPAT

DEFINISI 52: Suatu segi empat adalah polygon yang bersisi empat.
DEFINISI 53: Jajar genjang adalah segi empat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar.
DEFINISI 54: Persegi panjang adalah jajar genjang yang salah satu sudutnya siku-siku.
DEFINISI 55: Persegi adalah persegi panjang dengan dua sisi bersisihannya kongruen.
DEFINISI 56: Belah ketupat adalah jajar genjang dengan dua sisi bersisihannya kongruen.
DEFINISI 57: Trapesium adalah segi empat yang mempunyai satu dan hanya satu pasang sisi sejajar.
DEFINISI 58: Trapesium sama kaki adalah trapesium yang kedua sisi tidak sejajarnya kongruen.

Teorema 42: Panjang sisi-sisi jajaran genjang yang berlawanan adalah sama.
Teorema 43: Besar sudut-sudut jajaran genjang yang berlawanan adalah sama.
Teorema 44: Sudut-sudut dalam sepihak jajaran genjang adalah pelurus.
Teorema 45: Diagonal-diagonal jajaran genjang saling membagi.
Teorema 46: Jika kedua pasang sisi segi empat yang berlawanan sama, maka segi empat ini adalah jajaran genjang.
Teorema 47: Jika kedua pasang sudut segi empat yang berlawanan sama, maka segi empat ini adalah jajaran genjang.
Teorema 48: Jika semua pasang sudut dalam sepihak sebuah segi empat adalah pelurus, maka segi empat ini adalah jajaran genjang.
Teorema 49: Jika sepasang sisi segi empat yang berlawanan sama dan sejajar, maka segi empat ini adalah jajaran genjang.
Teorema 50: Jika diagonal-diagonal sebuah segi empat saling membagi, maka segi empat ini adalah jajaran genjang.
Teorema 51: Panjang diagonal-diagonal persegi panjang adalah sama.
Teorema 52: Diagonal-diagonal belah ketupat membagi sudut-sudut yang berlawanan sama besar.
Teorema 53 (a): Diagonal-diagonal belah ketupat saling tegak lurus.
Teorema 53 (b): Besar sudut-sudut alas trapesium sama kaki adalah sama.
Teorema 54: Panjang diagonal-diagonal trapesium sama kaki adalah sama.
Teorema 55: Garis berat setiap trapesium mempunyai dua sifat: (1) sejajar pada setiap alasnya (2) panjangnya setengah dari jumlah panjang alasnya.
Teorema 56 (Teorema Titik Tengah): Ruas garis yang menghubungkan titik-titik tengah dua sisi segitiga sejajar dengan sisi yang ketiga dan setengah panjang sisi yang ketiga.
Teorema 57 (Teorema Pembagi Sisi): Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi segitiga dan memotong dua sisinya, garis ini akan membagi kedua sisi dengan perbandingan sama.
Teorema 58 (Teorema Sudut Bagi): Jika sebuah sinar garis membagi sebuah sudut segitiga, maka sinar garis tersebut akan membagi sisi berlawanan menjadi bagian-bagian garis yang sebanding dengan sisi-sisi yang membentuk sudut.
Teorema 59: Jika dua segitiga sebangun, maka rasio setiap dua garis yang searah (seperti tinggi, garis berat, atau garis bagi) sama dengan rasio setiap dua sisi yang searah.
Teorema 60: Jika dua segitiga sebangun mempunyai faktor skala a : b, maka rasio kelilingnya adalah a : b.
Teorema 61: Jika dua segitiga yang sama mempunyai faktor skala a : b, maka rasio luas mereka adalah a$^2$ : b$^2$.
Teorema 62: Tinggi yang ditarik ke sisi miring sebuah segitiga siku-siku menghasilkan dua segitiga siku-siku sebangun yang masing-masing sebangun dengan segitiga siku-siku aslinya.
Teorema 63: Jika satu garis tinggi ditarik ke sisi miring sebuah segitiga siku-siku, maka masing-masing kaki adalah mean geometri di antara sisi miring dan bagian garis miring yang menyentuhnya.
Teorema 64: Jika satu garis tinggi ditarik ke sisi miring sebuah segitiga siku-siku, maka mean geometrinya berada di antara bagian-bagian garis pada sisi miring.

LINGKARAN

DEFINISI 36: Suatu lingkaran adalah suatu himpunan titik sedemikian rupa hingga segmen garis-segmen garis yang ditarik dari masing-masing titik pada himpunan tersebut ke titik tetap adalah kongruen.
DEFINISI 37: Jari-jari suatu lingkaran adalah segmen garis yang ditarik dari sembarang titik pada lingkaran tersebut ke pusat lingkaran.
DEFINISI 38: Sinar PB terletak diantara sinar-sinar PA dan PC.
DEFINISI 39: Sudut-sudut ABC terletak diantara sinar.
DEFINISI 40: Jarak antara dua bangun geometri adalah ukuran garis hubung yang terpendek diantaranya.

Teorema 68: Dalam sebuah lingkaran, jika dua sudut pusat mempunyai ukuran yang sama, maka busur kecilnya mempunyai ukuran sama.
Teorema 69: Dalam sebuah lingkaran, jika dua busur kecil mempunyai ukuran yang sama, maka sudut-sudut pusatnya mempunyai ukuran sama.
Teorema 70: Besar sudut keliling pada suatu lingkaran sama ukurannya dengan setengah ukuran busur berhadapannya.
Teorema 71: Jika dua sudut keliling pada sebuah lingkaran menghadap busur yang sama atau busur dengan ukuran yang sama, maka kedua sudut keliling tersebut mempunyai ukuran yang sama.
Teorema 72: Jika sebuah sudut keliling menghadap ke setengah lingkaran, maka ukurannya 90$^0$.
Teorema 73: Jika sebuah garis singgung dan diameter bertemu pada satu titik singgung, maka keduanya akan saling tegak lurus.
Teorema 74: Jika sebuah tali busur tegak lurus dengan garis singgung pada titik singgung, maka tali busur tersebut adalah diameter.
Teorema 75: Besar sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang saling berpotongan di dalam lingkaran, sama dengan setengah dari jumlah ukuran busur-busur yang berhadapan dengan sudut itu dan sudut bertolak belakangnya.
Teorema 76: Besar sudut yang terbentuk oleh sebuah garis singgung dan tali busur yang bertemu di titik singgung adalah setengah dari ukuran busur berhadapan.
Teorema 77: Besar sudut yang terbentuk oleh dua tali busur yang di luar lingkaran sama dengan setengah dari selisih ukuran busur-busur berhadapannya.
Teorema 78: Pada sebuah lingkaran, jika dua tali busur berukuran sama, maka busur kecilnya juga berukuran sama.
Teorema 79: Pada sebuah lingkaran jika dua busur kecil berukuran sama, maka tali busurnya juga berukuran sama.
Teorema 80: Jika sebuah diameter tegak lurus dengan tali busur, maka diameter tersebut akan membagi dua tali busur dan busurnya.
Teorema 81: Pada lingkaran, jika dua tali busur mempunyai ukuran yang sama, maka keduanya berjarak sama dengan pusatnya. (Jika AB = CD, maka OX = OY).
Teorema 82: Pada lingkaran, jika dua tali busur berjarak sama dengan pusatnya, maka kedua tali busur tersebut mempunyai ukuran yang sama. (Jika OX = OY, maka AB = CD).
Teorema 83: Jika dua tali busur berpotongan dalam lingkaran, maka hasil kali bagian-bagian satu tali busur sama dengan hasil kali bagian tali busur yang lain.
Teorema 84: Jika dua bagian garis potong berpotongan di luar lingkaran, maka hasil kali garis potong dengan bagian garis luarnya sama dengan hasil kali garis potong yang lain dengan bagian luarnya.
Teorema 85: Jika satu bagian garis singgung dan satu bagian garis potong berpotongan di luar lingkaran, maka kuadrat bagian garis singgung sama dengan hasil kali ukuran bagian garis potong dengan bagian luarnya.
Teorema 86: Jika dua bagian garis singgung berpotongan di luar lingkaran, maka ukuran kedua bagian garis singgungnya sama.

BANGUN RUANG

Teorema 87: Luas sisi tegak (S), tinggi (t), dan keliling (p) Prisma Siku-siku: S = (p)(t) satuan$^2$
Teorema 88: Luas keseluruhan (LK) Prisma Siku-siku: LK = LS + 2LA atau LK = (p)(t) + 2LA
Teorema 89: Volume (V) Prisma Siku-siku: V = (LA)(t) satuan$^3$
Teorema 90: Luas sisi tegak (LS) Silinder Lingkaran Siku-siku: LS = (K)(t) = ($2\pi r$)(t) satuan$^2$
Teorema 91: Luas keseluruhan (LK) Silinder Siku-siku: LK = LS + 2LA = ($2\pi r$)(t) + $2\pi r^2$ = $2\pi r(t + r)$ satuan$^2$
Teorema 92: Volume (V) Silinder Siku-siku: V = (LA)(t) = ($\pi r^2$)(t) satuan$^3$
Teorema 93: Luas samping (LS) Limas: LS = $\frac{1}{2}(k)(l)$ satuan$^2$
Teorema 94: Luas keseluruhan (LK) Limas Beraturan: LK = LS + LA = $\frac{1}{2}(k)(l)$ + LA satuan$^2$
Teorema 95: Volume (V) Limas Beraturan: V = $\frac{1}{3}(LA)(t)$ satuan$^3$
Teorema 96: Luas selimut (LS) Kerucut: LS = $\frac{1}{2}(K)(l)$ = $\frac{1}{2}(2\pi r)(l)$ = $\pi r l$ satuan$^2$
Teorema 97: Luas keseluruhan (LK) Kerucut: LK = LS + LA = $\pi r l$ + $\pi r^2$ = $\pi r(l + r)$ satuan$^2$
Teorema 98: Volume (V) Kerucut: V = $\frac{1}{3}(LA)(t)$ = $\frac{1}{3}(\pi r^2)(t)$ satuan$^3$
Teorema 99: Luas permukaan (LP) Bola: LP = $4\pi r^2$ satuan$^2$
Teorema 100: Volume (V) Bola: V = $\frac{4}{3}\pi r^3$ satuan$^3$

GEOMETRI ANALITIK

Teorema 101 (Rumus Jarak): Jika koordinat 2 titik adalah $(x_1, y_1)$ dan $(x_2, y_2)$ maka jarak (d) dari kedua titik tersebut: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Teorema 102 (Rumus Titik Tengah): Jika koordinat A adalah $(x_1, y_1)$ dan B adalah $(x_2, y_2)$ maka titik tengah (T) dari AB: $T = \left(\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
Teorema 103: Jika 2 garis yang tidak vertikal sejajar, maka keduanya mempunyai kemiringan yang sama.
Teorema 104: Jika kedua garis memiliki kemiringan yang sama, maka keduanya pasti garis tidak vertikal yang sejajar. Jika kedua garis saling tegak lurus dan keduanya tidak vertikal, maka satu garis akan mempunyai kemiringan positif dan garis yang lain mempunyai kemiringan negatif. Nilai absolut kemiringannya juga merupakan kebalikan.
Teorema 105: Jika 2 garis tidak vertikal saling tegak lurus maka kemiringannya saling berlawanan, atau hasil kali dari kedua kemiringannya adalah -1.
Teorema 106: Jika kemiringan dua garis saling berlawanan atau hasil kemiringan adalah -1, maka garis-garis tersebut adalah garis-garis tidak vertikal saling tegak lurus.

POSTULAT KESEJAJARAN EUCLID

Euclid adalah seorang ahli logika ternama telah menyatakan bahwa perubahan perkembangan teori geometri non-Euclid dapat kontradiksi dengan postulat kesejajaran Euclid. Seiring dengan kepercayaan ahli matematika bahwa geometri non-Euclid hanya memungkinkan untuk teori ruang dan yang menjelaskan segala sesuatunya secara fisik. Tetapi posisi unik geometri Euclid di abad 19 telah diserang oleh penemuan geometri non-Euclid. Dan banyak ahli matematika sangat terguncang. Ide tentang kealamian geometri dan posisi unik geometri Euclid yang telah di lakukan sepanjang dua ribu tahunan, akhirnya runtuh pada dekade 1820-1830.

Awal abad 19 ahli matematika yang berkompeten berhasil diyakinkan bahwa masalahnya tentang postulat telah diselesaikan dan hanya sedikit memiliki kekurangan dalam pembuktiannya. Kegagalan setiap percobaan dalam membuktikan postulat kesejajaran tersebut membawa pada pengakuan bahwa postulat kesejajaran tidaklah pasti. Dan bahwa teori geometri lainnya (non-Euclid) bias saja digunakan. Selanjutnya dalam bab ini akan dijelaskan 3 upaya penting dalam membuktikan postulat kesejajaran Euclid.

1. Struktur Geometri Bidang Euclid

Postulat sejajar Euclid dapat dinyatakan sebagai berikut:

“Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Sejumlah asumsi/postulat untuk geometri bidang Euclid, yaitu:

Sesuatu akan sama dengan sesuatu atau sesuatu yang sama akan sama satu sama yang lainnya
Jika kesamaan ditambahkan dengan kesamaan maka jumlahnya akan sama
Jika kesamaan dikurangi dengan kesamaan maka selisihnya akan sama
Keseluruhan akan lebih besar dari bagiannya
Bangun geometri dapat dipindahkan tanpa mengubah ukuran atau bentuknya
Setiap sudut memiliki bisector (garis bagi)
Setiap segmen memiliki titik tengah
Dua titik hanya berada pada satu-satunya garis
Sembarang segmen dapat diperluas oleh suatu segmen yang sama dengan segmen yang diberikan
Lingkaran dapat digambarkan dengan sembarang titik pusat dan radius yang diketahui
Semua sudut siku-siku sama besar

Dari postulat-postulat ini, dapat dideduksi sejumlah teorema dasar diantaranya:

1. Sudut bertolak belakang sama besar

Bukti 1:

Lukis garis l dan m sejajar
Garis transversal h memotong tegak lurus l dan m di P dan Q
P = Q (postulat ke 11)
P = 1 (postulat ke 11)
P dan 1 dua sudut bertolak belakang, jadi sudut bertolak belakang sama besar (terbukti)

Bukti 2:

Ada B sehingga B ∈ g
Ada C sehingga C ∈ g
Analog untuk D dan E ∈ l
BAD + BAE = 180° (Postulat garis pelurus)
CAE + BAE = 180°
(BAD + BAE) – (CAE + BAE) = 180° – 180° (postulat 3)
BAD – CAE = 0
BAD = CAE
(Terbukti sudut bertolak belakang sama besar)

2. Sifat kongruensi segitiga (SAS, ASA, SSS)

Bukti: Sifat kongruensi segitiga (ASA)

Lukis ΔABC dan ΔPQR sehingga ∠A = ∠P, ∠B = ∠Q dan AB = PQ
Pindahkan ΔABC pada ΔPQR sehingga A berimpit dengan P, B berimpit Q dan AB berimpit pada PQ maka C berimpit pada R dan ∠C = ∠R (postulat 5)

3. Teorema kesamaan sudut alas segitiga sama kaki dan konversnya

Bukti: Diberikan ΔABC dengan AC = BC, akdib ∠A = ∠B

Lukis garis bagi ∠C (aksioma 6)
Perpanjang garis bagi tersebut hingga memotong AB di D (aksioma 9)
Dalam ΔACD dan ΔBCD, AC=BC, ∠1=∠2 (aksioma 6), CD=CD (berimpit), sehingga ΔACD kongruen dengan ΔBCD (S-A-S)
Jadi ∠A = ∠B (sudut yang berkoresponden sama besar) (Terbukti)

Dan sebaliknya jika diberikan ΔABC dengan ∠A = ∠B maka AC = BC

Bukti:

Lukis garis bagi ∠C sehingga ∠1 = ∠2 (aksioma 6)
Karena ∠A = ∠B dan ∠1 = ∠2 maka ∠ADC = ∠BDC
ΔADC kongruen dengan ΔBDC sehingga AC = BC (Terbukti)

Teorema Lainnya:

4. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis pada titik dari garis tersebut
5. Eksistensi garis yang tegak lurus pada garis yang melalui titik eksternal
6. Pembentukan suatu sudut yang sama, dengan sudut, dengan titik sudut dan sisi yang telah diberikan sebelumnya
7. Pembentukan segitiga yang kongruen dengan segitiga dengan sisi yang sama pada sisi segitiga yang diketahui

TEOREMA 1: Teorema Sudut Eksterior (luar)

Sudut eksterior segitiga akan lebih besar daripada sudut interior (dalam) terpencil (berjauhan) manapun.

Bukti:

ABC = Segitiga sembarang
D = Perpanjangan AB melalui B
Akdib: ACB < CBD

E pada BC sehingga BE = EC (aksioma 7)
F pada perpanjangan AE shg AE = EF (aksioma 7)
∠AEC = ∠FEB (bertolak belakang) (postulat 1)
Jadi ΔAEC kongruen dengan ΔFEB (SAS)
∠ACE = ∠FBE
∠FBE < ∠EBD
∠ACE < ∠EBD
Jadi ACB < CBD (Terbukti)

TEOREMA 2

Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan maka garis tersebut sejajar.

BUKTI:

Diberikan garis l dan m
Garis transversal h memotong l dan m di A dan B sehingga membentuk pasangan sudut interior dalam berseberangan yaitu ∠1 dan ∠2 yang sama besar
Misal l dan m tidak sejajar berarti akan bertemu di C dan terbentuk ΔABC (hipotesis)
C terletak di depan sisi AB
∠1 < ∠AQP
∠APR = ∠AQP (Aksioma 11, sudut siku-siku sama besar)
Jadi l = m
Kesimpulan: Ada tepat satu l sehingga l tegak lurus g, A ∈ l, A ∈ g (Terbukti).

Corollary 3: (Eksistensi garis sejajar)

Jika titik P tidak berada pada garis l maka akan ada setidaknya satu garis yang melalui P yang sejajar dengan l.

Bukti:

Lukis garis l
Titik P di luar garis l
Lukis garis dari P yang tegak lurus l dan memotong l di Q
Melalui titik P lukis garis m yang tegak lurus PQ
m sejajar l (corollary 1) (Terbukti)

TEOREMA 3

Jumlah dua sudut pada segitiga kurang dari 180°

BUKTI:

ABC = segitiga sembarang
Akdib: ∠B + ∠C < 180°

Perpanjang BC melalui C
∠CBD > ∠ACB (teorema 1)
∠CBD > ∠ACB dan ∠CBD = 180° – ∠CBA
180° – ∠CBA > ∠ACB
180° > ∠CBA + ∠ACB
Atau 180° > ∠B + ∠C
∠B + ∠C < 180° (TERBUKTI)

Ekivalensi Postulat Euclid Dan Playfair

Postulat Euclid:
“Jika dua garis dipotong oleh garis transversal sedemikian hingga jumlah dua sudut interiornya (sudut dalam) pada satu sisi transversal adalah kurang dari 180°. Garis tersebut akan bertemu pada satu sisi transversal tersebut”

Postulat Playfair:
“Hanya ada satu garis sejajar pada garis yang melalui titik bukan pada garis tersebut”

Mengasumsikan postulat sejajar Euclid kita deduksi postulat Playfair:

Diberikan garis l dan titik P bukan pada l
Akan ada garis melalui P sejajar l (corollary 3), misal m
Dari P ditarik garis tegak lurus l dengan kaki Q
Lukis garis n melalui P (n≠m)
Jika ∠1 adalah siku-siku maka n berimpit dengan m (berlawanan dengan asumsi) maka ∠1 = lancip
Jadi ∠1 + ∠Q < 180°

Mengasumsikan postulat Playfair kita deduksi postulat sejajar Euclid:

Diberikan garis l dan m
l dan m dipotong oleh garis transversal h di P dan Q sehingga membentuk sudut interior ∠1 dan ∠2
∠1 + ∠2 < 180° (postulat Euclid)
∠1 + ∠3 = 180° jadi ∠2 < ∠3 sehingga RP ≠ m