Selamat datang di GAMACUMA, kali ini kami akan memaparkan kumpulan soal beserta pembahasan teori binomial.
semoga artikel yang kami bawakan dapat bermanfaat bagi pembaca. CHEK IT OUT! .
Teorema sisa atau biasa di kenal dengan Chinese Remainder Theorem adalah hasil tentang Kongruen di teori bilangan dan digeneralisasi dalam aljabar abstrak yang Pertama kali pada abad ke-3 sampai abad ke-5 oleh Sun Tzu seorang matematikawan Cina. Dalam publikasi tersebut diperkenalkan metode mencari solusi sistem linear kongruen, yang sekarang kita kenal dengan Teorema Sisa Cina ( Chinese residual theorem ) bisa disingkat CRT. Sebelum mempelajari Teorema Sisa Cina (TSC), Anda diwajibkan mempelajari materi kongruensi modulo dan inversnya terlebih dahulu. Pada situs ini akan memberikan beberapa contoh soal mengenai teorema sisa china sekaligus juga mengenai analisis faktor dan kelipatan yang disertai dengan pembahasan yang cukup mudah dipahami.
TEOREMA SISA CHINA DAN ANALISIS FAKTOR DAN KELIPATAN
$1$. Tentukan solusi sistem perkongruenan berikut, sehingga nilai dari $x$ adalah…
$
\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}3) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}4) \\ x & \equiv 4
(\text{mod}5)\end{cases}
$
a. $60$
b. $34$
c. $15$
d. $30$
Pembahasan :
$a_{1} = 1$ $m_{1} = 3$
$a_{2} = 2 $ $m_{2} = 4$
$a_{3} = 4 $ $m_{3} = 5$
$M = m_{1}. m_{2}. m_{3}$
$= 3.4.5$
$= 60$
$m_{1} = 4.5 = 20$ sehingga $20x \equiv 1$(mod $3$) atau $y_{1} \equiv 2$(mod $3$)
$m_{2} = 3.5 = 15$ sehingga $15x \equiv 1$(mod $4$) atau $y_{2} \equiv 3$(mod $4$)
$m_{3} = 3.4 = 12$ sehingga $12x \equiv 1$(mod $5$) atau $y_{3} \equiv 3$(mod $5$)
maka, $x = a_{1}. y_{1}.m_{1} + a_{2}. y_{2}.m_{2} + a_{3}. y_{3}.m_{3}$
$= 1.2.20 + 2.3.15 + 4.3.12$
$= 40 + 90 + 144$
$= 274$
$ x = 274$ mod $60$
$ x = 34$ mod $60$
$x = 34$
Jadi, nilai $x$ dari perkongruenan di atas adalah $34$. (jawaban B)
$2$. Tentukan suatu bilangan bulat yang bersisa $3$ jika dibagi $5$, bersisa $1$ jika dibagi $7$, dan bersisa $6$ jika dibagi $8$.
a.$56$
b.$40$
c.$87$
d.$78$
Pembahasan :
$
\begin{cases} x & \equiv 3
(\text{mod}5) \\x& \equiv 1
(\text{mod}7)\\ x & \equiv 6
(\text{mod}8)\end {cases}
$
$a_{1} = 3$ $m_{1} = 5$
$a_{2} = 1$ $m_{2} = 7$
$a_{3} = 6$ $m_{3} = 8$
$M = m_{1}. m_{2}. m_{3}$
$= 5.7.8$
$= 280$
$m_{1} = 7.8 = 56$ sehingga $56x \equiv 1$(mod $5$) atau $y_{1} \equiv 6$(mod $5$)
$m_{2} = 5.8 = 40$ sehingga $40x \equiv 1$(mod $7$) atau $y_{2} \equiv 3$(mod $7$)
$m_{3} = 5.7 = 35$ sehingga $35x \equiv 1$(mod $8$) atau $y_{3} \equiv 3$(mod $8$)
maka, $x = a_{1}. y_{1}.m_{1} + a_{2}. y_{2}.m_{2} + a_{3}. y_{3}.m_{3}$
$= 3.6.56 + 1.3.40 + 6.3.35$
$= 1008 + 120 + 680$
$= 1758$
$x = 1758$ mod $280$
$x = 78$ mod $280$
$x = 78$
Jadi, nilai $x$ dari perkongruenan di atas adalah $78$.
$3$. Tentukan solusi sistem perkongruenan berikut, sehingga nilai dari x adalah…
$
\begin{cases} x & \equiv 2
(\text{mod} 3) \\x& \equiv 3
(\text{mod} 5)\\ x & \equiv 2
(\text{mod} 7)\end {cases}
$
a. $21$
b. $15$
c. $32$
d. $23$
Pembahasan :
$a_{1} = 2$ $m_{1} = 3$
$a_{2} = 3$ $m_{2} = 5$
$a_{3} = 2$ $m_{3} = 7$
$M = m_{1}. m_{2}. m_{3}$
$= 3.5.7$
$= 105$
$m_{1} = 5.7 = 35$ sehingga $35x \equiv 1$(mod $ 3$) atau $y_{1} \equiv 2$(mod $3$)
$m_{2} = 3.7 = 21$ sehingga $21x \equiv 1$(mod $5$) atau $y_{2} \equiv 6$(mod $5$)
$m_{3} = 3.5 = 15$ sehingga $15x \equiv 1$(mod $7$) atau $y_{3} \equiv 8$(mod $7$)
maka, $x = a_{1}. y_{1}.m_{1} + a_{2}. y_{2}.m_{2} + a_{3}. y_{3}.m_{3}$
$= 2.2.35 + 3.6.21 + 2.8.15$
$= 140 + 378 + 240$
$= 758$
$x = 758$ mod $105$
$x = 23$ mod $105$
$x = 23$
Jadi, nilai $x$ dari perkongruenan di atas adalah $23$.
$4$.Tentukan suatu bilangan bulat yang bersisa 1 jika dibagi 3, bersisa 2 jika dibagi 5, dan bersisa 3 jika dibagi 7.
a.$52$
b.$51$
c. $35$
d. $21$
Pembahasan :
$
\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod} 3) \\x& \equiv 2
(\text{mod} 5)\\ x & \equiv 3
(\text{mod} 7)\end {cases}
$
$a_{1} = 1$ $m_{1} = 3 $
$a_{2} = 2 $ $m_{2} = 5 $
$a_{3} = 3 $ $m_{3} = 7 $
$M = m1. m2. m3$
$= 3.5.7$
$= 105$
$m_{1} = 5.7 = 35$ sehingga $35x \equiv 1$(mod $3$) atau $y_{1} \equiv 2$(mod $3$)
$m_{2} = 3.7 = 21$ sehingga $21x \equiv 1$(mod $5$) atau $y_{2} \equiv 6$(mod $5$)
$m_{3} = 3.5 = 15$ sehingga $15x \equiv 1$(mod $7$) atau $y_{3} \equiv 8$(mod $7$)
maka, $x = a_{1}. y_{1}.m_{1} + a_{2}. y_{2}.m_{2} + a_{3}. y_{3}.m_{3}$
$= 1.2.35 + 2.6.21 + 3.8.15$
$= 70 + 252 + 360$
$= 682$
$x = 682$ mod $105$
$x = 52$ mod $105$
$x = 52$
Jadi, nilai $x$ dari perkongruenan di atas adalah $52$.
$5$.Banyaknya bilangan asli n yang menyebabkan $\frac{16}{n}$ juga bilangan asli adalah…
a.$5$
b.$6$
c. $4$
d. $3$
Pembahasan :
Agar $\frac{16}{n}$ bilangan asli, maka $n$ harus merupakan faktor positif dari $16$, yaitu ${1, 2, 4, 8, 16}$.
Faktor dari $16$ adalah $1,2,4,8,16$ sehingga jika disubtitusikan ke dalam $\frac{16}{n}$ dengan $n={1,2,4,8,16}$
Maka hasilnya adalah $\frac {16}{n} = {16,8,4,2,1}$
Jadi, ada $5$ bilangan asli $n$ yang menyebabkan $\frac{16}{n}$ juga bilangan asli, yaitu ${1, 2, 4, 8, 16}$
$6$. Terdapat pemisalan $B$ yang menunjukkan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\frac {n+6}{n-3}$ untuk suatu bilangan asli $n$. Maka, jumlah dari anggota $B$ adalah…
a. $18$
b. $9$
c. $16$
d. $0$
Pembahasan :
Seperti yang kita ketahui bahwa bentuk $\frac{n+6}{n-3}$ dapat dibentuk dengan bentuk yang lain, yakni sebagai berikut.
$\frac{n+6}{n-3}$ = $\frac{{n-3}+9}{n-3}$
= $\frac{n-3}{n-3}$ + $\frac {9}{n-3}$
= $\frac {1 + 9}{n-3}$
Agar menghasilkan bilangan asli, $(n – 3)$ harus merupakan faktor positif dari $9$, yaitu ${1, 3, 9}$.
Faktor dari $9$ adalah $1$,$3$, dan $9$ sehingga jika disubstitusikan ke dalam $1+\frac {9}{n-3}$ dengan $n = {4,6,12}$ maka hasilnya adalah $10, 4, 2$.
Jadi,anggota $B$ ada $3$ yaitu, ${2, 4, 10}$.Sehingga jumlah anggotanya adalah $2 + 4 + 10 = 16$
$7$. Misalkan $S$ menyatakan himpunan semua bilangan asli yang dapat dituliskan sebagai $\frac{n+10}{n-2}$ untuk suatu bilangan asli $n$. Berapakah banyak anggota $S$…
a.$8$
b. $4$
c. $6$
d. $3$
Pembahasan :
Seperti yang kita ketahui bahwa bentuk $\frac{n+10}{n-2}$ dapat dibentuk dengan bentuk yang lain, yakni sebagai berikut.
$\frac {n+10}{n-2} = {{n-2}+12}{n-2}$
= $\frac{n-2}{n-2}$ + $\frac{12}{n-2}$
= $1$ + $\frac {12}{n-2}$
Agar menghasilkan bilangan asli, $(n – 2)$ harus merupakan faktor positif dari $12$, yaitu ${1, 2, 3, 4, 6, 12}$.
Faktor dari $12$ adalah $1,2,3,4,6,12$ sehingga jika disubstitusikan ke dalam $1+ \frac {12}{n-2}$ dengan $n = {3,4,5,6,8,14}$ maka hasilnya adalah $13,7,5,4,3,2$
Jadi, banyak anggota $S$ sebanyak $6$ yaitu, ${2, 3, 4, 5, 7, 13}$.
$8$. Tentukan solusi system perkongruenan
$
\begin{cases} x & \equiv 2
(\text{mod}3) \\x& \equiv 3
(\text{mod}5)\\ x & \equiv 1
(\text{mod}4)\end {cases}
$
a. $53 $
b. $63$
c. $73$
d. $83$
Jawab:
Kita menyelesaikan dengan cara seperti bukti kedua, yaitu:
Pada soal tersebut $a_{1}=2 m_{1}=3$
$a_{2}=3$ $m_{2}=5$
$a_{3}=1$ $m_{3}=4$
$M_{1}=5.4=20$, sehingga $20x \equiv 1$(mod $3$) atau $x \equiv 2$(mod $3$)
$M_{2}=3.4=12$, sehingga $12x \equiv 1$(mod $5$) atau $x \equiv 3$(mod $5$)
$M_{3}=3.5=15$, sehingga $15x \equiv 1$(mod $4$) atau $x \equiv 3$(mod $4$)
Maka $s = a_{1}\times s_{1} \times M_{1}+ a_{2} \times s_{2} \times M_{2}+ a_{3} \times s_{3} \times M_{3}$
$=2 \times 2 \times 20+3 \times 3 \times 12+1 \times 3 \times 15$
$=233$
Maka system perkongruenan diatas dapat dinyatakan sebagai
$x \equiv 233 $(mod $3.5.4$)
$x \equiv 233 $(mod $60$)
$x \equiv 53 $(mod $60$)
$x = 53$
Jadi, nilai $x$ dari perkongruenan di atas adalah $53$
$9$. Tentukan solusi system perkongruenan
$
\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}5) \\x& \equiv 2
(\text{mod}6)\\ x & \equiv 3
(\text{mod}7)\end {cases}
$
Jawab:
Pengkongruenan $x \equiv 1$(mod $5$) berarti $x=5t+1$, untuk suatu bilangan bulat $t$.
Subsitusikan pada pengkongruenan kedua dan diperoleh
$5t+1 \equiv 2$(mod $6$)
$t \equiv 5 $(mod $6$)
Perkongruenan terakhir sama artinya dengan $t = 6μ+5$, dengan $μ$ suatu bilangan bulat.
Subtitusikan nilai $t$ ini pada persamaan $x=5t+1$, sehingga diperoleh $x=30μ+26$.
Nilai $x$ ini disubstitusikan pada pengkongruenan ketiga dan diperoleh:
$30μ+26 \equiv 3$(mod $7$)
$μ \equiv 6$(mod $7$)
Perkongruenan terakhir ini sama artinya dengan $μ=7v+6$, dengan $v$ suatu bilangan bulat.
Subtitusikan nilai $μ$ ini pada persamaan $x=30μ+26$ dan didapat $x=210v+206$ yang sama artinya dengan $x \equiv 206 $(mod $210$).
Jadi, solusi bersama dari system perkongruenan semula adalah $x=206+210k$ dengan $k$ bilangan bulat.
Cara lain:
Kita menyelesaikan dengan cara seperti bukti kedua, yaitu:
Pada soal tersebut $a_{1}=1$ $m_{1}=5$
$a_{2}=2$ $m_{2}=6$
$a_{3}=3$ $m_{3}=7$
$M_{1}=6.7=42$, sehingga $42x \equiv 1$(mod $5$) atau $x \equiv 3$(mod $5$)
$M_{2}=5.7=35$, sehingga $35x \equiv 1$(mod $6$) atau $x \equiv 5$(mod $6$)
$M_{3}=5.6=30$, sehingga $30x \equiv 1$(mod $7$) atau $x \equiv 4$(mod $7$)
Maka $s = a_{1} \times s_{1} \times M_{1}+ a_{2} \times s_{2} \times M_{2}+ a_{3} s_{3} M_{3}$
$=1.3.42+2.5.35+3.4.30$
$=836$
Maka system perkongruenan diatas dapat dinyatakan sebagai:
$x \equiv 836 $(mod $5.6.7$)
$x \equiv 206 $(mod $210$)
Jadi solusi bersama dari system perkongruenan semula adalah $x=206+210k$ dengan $k$ bilangan bulat.
$10$. Seorang peternak memiliki sejumlah sapi. Jika ia memasukkan $5$ ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada $2$ ekor sapi yang tidak masuk kandang. Jika ia memasukkan $6$ ekor sapi masing-masing ke dalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada $4$ ekor sapi yang tidak masuk kandang. Banyaknya sapi yang dimiliki peternak tersebut paling sedikit adalah….
Jawaban :
Permasalahan di atas dapat dinyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut.
diket: $x \equiv 2$ (mod $5$)
$ x \equiv 4 $(mod $6$)
Perhatikan bahwa ${5,6}$ adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi untuk $M=5×6=30$, diperoleh
$M_{1}=\frac {30}{5} = 6$
$M_{2}= \frac {30}{6} = 5$
Dengan demikian, diperoleh
$y_{1} \equiv 6^{-1} $(mod $5$)
$\equiv 1 $(mod $5$)
$y_{2} \equiv 5^{-1} $(mod $6$)
$ \equiv −1 $(mod $6$)
$ \equiv 5 $(mod $6$)
Berdasarkan Teorema Sisa Cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x \equiv (2⋅6⋅1+4⋅5⋅5) $(mod $30$)
$ \equiv 112 $(mod $30$)
$ \equiv 22 $(mod $30$)
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x \equiv 22 $(mod $30$).
Ini berarti banyak sapi paling sedikit adalah $22$ ekor.
$11$. Misalkan A adalah himpunan solusi dari sistem kongruensi
$x \equiv 1 $(mod $2$)
$2x \equiv 2 $(mod $5$)
$10x \equiv 5$ (mod $15$ )
Jika $a$ adalah bilangan bulat positif terkecil dari $A$ dan $b$ adalah bilangan bulat positif terbesar dari $A$ dengan $b < 1000$, maka nilai a+b adalah……
Jawaban:
Diketahui
$x \equiv 1 $(mod $2$) persamaan pertama
$2x \equiv 2 $(mod $5$) persamaan kedua
$10x \equiv 5 $(mod $15$) persamaan ketiga
Kongruensi $(2)$ dapat disederhanakan menjadi $x \equiv 1 $(mod $5$)
sedangkan kongruensi $(3)$ dapat disederhanakan menjadi
$\frac {10}{5}x \equiv $ $\frac {5}{5}$ (mod $\frac {15}{5})$
$2x \equiv 1 $(mod $3$)
$x \equiv 2^{−1} $(mod $3$)
$x \equiv 2 $(mod $3$)
Jadi, sistem kongruensi tersebut kita tulis ulang sebagai :
$
\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}2) \\ x & \equiv 1
(\text{mod}5) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}3)\end{cases}
$
Karena FPB $(2,5)=1$ , maka kongruensi $(1)$ dan $(2)$ dapat disatukan sehingga diperoleh $x \equiv 1 $(mod $10$)
$x \equiv 2$ (mod $3$)
Perhatikan bahwa ${10,3}$ adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Selanjutnya tinggal menggunakan Teorema Sisa Cina.
Untuk $M=10×3=30$, diperoleh :
$M_{1}= \frac {30}{10}=3$
$ M_{2}= \frac {30}{3}=10$
Dengan demikian, diperoleh:
$y_{1} \equiv 3^{−1} $(mod $10$)
$\equiv −3 $(mod $10$)
$ \equiv 7 $(mod $10$)
$y_{2} \equiv 10^{−1} $(mod $3$)
$ \equiv 1 $(mod $3$)
Berdasarkan Teorema Sisa Cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x \equiv (1 \times 3 \times 7+2 \times 10 \times 1)$(mod $30$)
$\equiv (21+20)$ (mod $30$)
$\equiv 11 $(mod $30$)
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x \equiv 11 $(mod $30$), atau dapat ditulis $x=30k+11$,untuk setiap $k \epsilon Z$. Nilai $a$ tercapai saat $k=0$ sehingga $a=30(0)+11=11$. Nilai $b$ tercapaisaat $k=0$ sehingga $a=30(32)+11=971.$
Dengan demikian, nilai $a+b = 11+971 = 982$.
Dari beberapa contoh soal diatas bisa kita lihat untuk menyelesaikan soal menggunakan teorema sisa china , kita harus mencari FPB dari nilai yang akan kita cari.
$12$. Carilah solusi dari sistem kongruensi linear berikut.
Pak Riko memiliki sejumlah durian yang baru saja dipetik dari halaman belakang rumahnya. Jika ia memasukkan $5$ buah durian masing-masing ke dalam sejumlah karung secukupnya, maka akan ada $2$ buah durian yang masih tersisa.
Jika ia memasukkan $6$ buah durian masing-masing ke dalam sejumlah karung secukupnya, maka masih ada sisa $4$ buah durian. Tentukan berapa banyak durian yang dimiliki paling sedikit oleh Pak Riko?
Pembahasan:
Informasi pada soal dapat dituliskan secara sistematis seperti berikut.
Memasukkan $5$ durian dan bersisa $2$ durian ditulis : $x \equiv 2 $(mod $5$)
Memasukkan $6$ durian dan bersisa $4$ durian ditulis : $x \equiv 4 $(mod $6$)
Perhatikan bahwa $k = 1, 2$ dan $a_{1} = 2, a_{2} = 4, b_{1} = 5, b_{2} = 6$
Selanjutnya ditentukan FPB $(5,6)$ yaitu $1$ sehingga sistem kongruensi linier tersebut mempunyai solusi
Menentukan $b = 5 \times 6 = 30$ dan diperoleh
$B_{1} = \frac {30}{5}= 6$
$B_{2} = \frac {30}{6} = 5$
Dengan demikian diperoleh
$6x_{1} \equiv 1 $(mod $5$)
$5x_{2} \equiv 4 $(mod $6$)
Menentukan solusi untuk $6x_{1} \equiv 1 $(mod $5$)
$6x_{1} \equiv 1 $(mod $5$) ekuivalen dengan $6x_{1} – 1 = 5k$
Untuk nilai $k = 1$ maka diperoleh nilai $x_{1} = 1$
Menentukan solusi untuk $5x_{2} \equiv 4 $(mod $6$)
$5x_{2} \equiv 1 $(mod $6$) ekuivalen dengan $5x_{2} – 1 = 6k$
Untuk nilai $k = 4$ maka $x_{4} = 5$
Berdasarkan teorema sisa cina diperoleh solusi
$x \equiv ((2 \times 6 \times 1) + (4 \times 5 \times 5)) $(mod $30$)
$x \equiv (12 + 100) $(mod $30$)
$x \equiv 112 $(mod $30$)
$x \equiv 22 $(mod $30$)
$13$. Selesaikan sistem kongruensi linier berikut menggunakan teorema sisa cina!
$x \equiv 3 $(mod $4$)
$x \equiv 2 $(mod $3$)
$x \equiv 4 $(mod $5$)
Pembahasan:
$1$. Dari sistem kongruensi linier tersebut diperoleh $k = 1, 2, 3$ dan $a_{1} = 3, a_{2} = 2, a_{3} = 4, b_{1} = 4, b_{2} = 3, b_{3} = 5,$
$2$. Memeriksa apakah sistem mempunyai solusi
FPB$(4,3)$ = FPB$(4,5)$ = FPB$(3,5) = 1$ , maka sistem kongruensi ini mempunyai solusi
$3$. Menentukan $b = 4$ $\times$ $3$ $\times$ $5 = 60$ dan diperoleh
$B_{1} = \frac {60}{4} = 15$
$B_{2} = \frac {60}{3} = 20$
$B_{3} = \frac {60}{5} = 12$
$4$. Dengan demikian diperoleh
$15x_{1} \equiv 1 $(mod $4$)
$20x_{2} \equiv 1 $(mod $3$)
$12x_{3} \equiv 1 $(mod $5$)
$5$. Menentukan solusi untuk $15x_{1} \equiv 1 $(mod $4$)
$15x_{1} \equiv 1 $(mod $4$) ekuivalen dengan $15x_{1} – 1 = 4k$
Untuk nilai $k = 11$ maka $x_{1} = 3$
$6$. Menentukan solusi untuk $20x_{2} \equiv 1$ (mod $3$)
$20x_{2} \equiv 1 $(mod $3$) ekuivalen dengan $20x_{2} – 1 = 3k$
Untuk nilai $k = 13$ maka $x_{2} = 2$
$7$. Menentukan solusi untuk $12x_{2} \equiv 1$ (mod $5$)
$12x_{3} \equiv 1 $(mod $5$) ekuivalen dengan $12x_{3} – 1 = 5k$
Untuk nilai $k = 7$ maka $x_{3} = 3$
$8$. Berdasarkan teorema sisa cina diperoleh solusi
$x \equiv ((3 \times 15 \times 3) + (2 \times 20 \times 2) + (4 \times 12 \times 3)) $(mod $60$)
$x \equiv (135 + 80 + 144)$ (mod $60$)
$x \equiv 359$ (mod $60$)
$x \equiv 59$ (mod $60$)
$9$. Solusi dari sistem kongruensi linier pada soal adalah $x \equiv 59$ (mod $60$)
$14$.Gunakan teorema sisa china untuk menemukan nilai $x$
$x \equiv 1 $(mod $3$)
$x \equiv 1 $(mod $4$)
$x \equiv 1 $(mod $5$)
$x \equiv 1 $(mod $7$)
a.$420$ c. $301$
b.$721$ d. $121$
Pembahasan :
$A_{1} = 1$ $M_{1} = 3$
$A_{2} = 1$ $M_{2} = 4$
$A_{3} = 1$ $M_{3} = 5$
$A_{4} = 0$ $M_{4} = 7$
$m_{1}=140$ sehingga $140x \equiv $1(mod $3$)atau $y_{1}\equiv 2 $ (mod $3$)
$m_{2}=105$ sehingga $105x \equiv $1(mod $3$)atau $y_{2}\equiv 1 $ (mod $4$)
$m_{3}=84$ sehingga $84x \equiv $1(mod $5$)atau $y_{3}\equiv 4 $ (mod $5$)
$m_{4}=60$ sehingga $60x \equiv 1$ (mod $7$)atau $y_{4}\equiv 2 $(mod $7$)
$x=1.40.2+1.105.1+1.84.4+0.60.2$
$=280+105+336+0 $
$= 721 $ mod $420$
$= 321 $ mod $420$
$x= 301$
jai nilai $x$ adalah $301$ Jawaban $C$
$15$. Banyaknya bilangan asli $ B<450 adalah...="" asli="" bilangan="" br="" frac="" juga="" menyebabkan="" yang="">
a.$44$
b.$43$
c. $34$
d. $21$
Pembahasan :
Agar $\frac {B}{10}$ bilangan asli, $B$ harus merupakan kelipatan dari $10$ yaitu ${10,20,30,40,…,40}$.
Untuk setiap $B$ yang kita pilih tersebut $\frac{B}{10}$ pasti bilangan asli. Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $B<450 asli="" banyak="" bilangan="" br="" dari="" frac="" juga="" kelipatan="" kurang="" menyebabkan="" sama="" yaitu="" yang="">
$\frac {440}{10}=44$ Jawaban A
$16$.Jumlah dari bilangan kelipatan $6$ yang kurang dari $20$ adalah...
a.$3$
b.$18$
c. $24$
d. $36$
Pembahasan :
Kelipatan suatu bilangan adalah semua bilangan yang dapat di bagi bilangan $6$ namun kurang dari $20$ yakni $6,12,18$. Sehingga jumlah dari bilangan kelipatan $6$ yang
kurang dari $20$ adalah $6+12+18=36$
Jawaban $D$
$17$. Banyaknya bilangan asli $n<200 adalah..="" asli="" bilangana="" br="" frac="" juga="" menyebabkan="" n="" yang="">
a. $12$
b. $7$
c. $6$
d. $8$
Pembahasan :
Agar $\frac {n}{25}$ bilangan asli, $n$ harus merupakan kelipatan dari $25$ yaitu ${25,50,75,100,…,175}$ untuk tiap $n$ yang kita pilih tersebut $\frac {n}{25}$ pasti bilangan asli. Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $n < 200$ yang menyebabkan $\frac {n}{25}$ juga bilangan asli sama dengan banyak bilangan kelipatan $25$ yang kurang dari $200$ yaitu $\frac{175}{25}=7$
Jawaban $B$
$18$. Jumlah dari bilangan kelipatan $12$ yang kurang dari $100$ adalah ....
a. $432$
b. $324$
c. $243$
d. $193$
Pembahasan :
Kelipatan suatu bilangan adalah semua bilanganyang dapat dibagi bilangan $12$
Namun kurang dari $100$ yakni $12,24,36,48,60,72,84,96$.
Sehingga jumlah dari bilangan kelipatan $12$ yang kurang dari $100$ adalah
$12 + 24 + 36 + 48 + 60 + 72 + 84 + 96 = 432$
Jawaban A
$19$.Bilangan empat angka yang jika dibagi $7$ bersisa $2$ bersisa $9$ dibagi $3$ dan bersisa $11$ bersisa $4$. Berapakah selisih bilangan empat angka terbesar dan terkecil yang memungkinkan ?
a. $9354$
b. $8316$
c. $345$
d. $9009$
Pembahasan :
$x \equiv 2 $(mod $7$)
$x \equiv 3 $(mod $9$)
$x \equiv 4 $(mod $11$)
$A_{1} = 2$ $M_{1} = 7$
$A_{2} = 3$ $M_{1} = 9$
$A_{3} = 4$ $M_{3} = 11$
$M = 7 \times 9 \times 11 = 693$
$M_{1} = 9 \times 11 = 99$
$M_{2} = 7 \times 11 = 77$
$M_{3} = 7 \times 9 = 63$
Sehingga $99x = 1$(mod $7$)
$77x = 1$(mod $9$)
$63x = 1$(mod $11$)
Atau $y_{1} = 1 $(mod $7$)
$Y_{2} = 2 $ (mod $9$)
$Y_{3} = 7 $(mod $11$)
$x = 2 \times 99 \times 1 + 3 \times 77 \times 2 + 4 \times 63 \times 7$
$= 198 + 462 + 1764$
$= 660 + 1764$
$= 2424 $(mod $693$)
$x = 345 $(mod $693$)
$x = 345 + 693K$
$20$. Banyak bilangan asli $p < 50$ yang menyebabkan $\frac{p}{4}$ juga bilangan asli adalah...
a.$16$
b.$12$
c. $48$
d. $24$
Pembahasan :
Agar $\frac{p}{4}$ bilangan asli, $p$ harus merupakan kelipatan dari $4$ yaitu ${4,8,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48}$
Untuk setiap $p$ yang dipilih tersebut, $p$ pasti bilangan asli
Ini menunjukkan bahwa banyak bilangan asli $p < 50$ yang menyebabkan $\frac{p}{4}$ juga bilangan asli sama dengan banyak bilangan kelipatan $4$
Yang kurang dari $50$ yaitu $\frac {48}{4}=24$
Jawaban D
Kelompok 1
Anisa Dwi Agustin (2110251011)
Shanty Bunga Adinda (2110251015)
Yovana Yolanda Maharani (2110251002)
