Kata Pengantar
Puji syukur kami panjatkan kepada Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat serta hidayah-Nya kepada kami sehingga bisa menyelasaikan tugas Teori Bilangan ini.
Tidak lupa juga kami ucapkan terimakasih kepada Bapak ROHMAD WAHID RHOMDANI, S.PD, M.Si selaku dosen pengampu mata kuliah Teori Bilangan pada Fakuktas Pedidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Jember serta teman-teman yang telah membantu.
Sebagai penyusun kami selaku anggota kelompok menyadari masih terdapat kekurangan dalam menyusun soal ini. Oleh karena itu kami dengan rendah hati menerima kritik dan saran dari pembaca.
kami berharap semoga soal yang kami buat bisa memberikan manfaat dan juga menambah wawasan bagi pembaca.
1. Carilah faktor prima terbesar dari $7^4+9.9^4$
a. $157$
b. $158$
c. $120$
d. $103$
e. $481$
pembahasan:
(ambil a=$7$ dan b=$9$)
$7^4+9.9^4=(7^2+3.9^2+3.7.9)(7^2+3.9^-3.7.9$)
=($49+243+189)(49+243+189$)
=$481.103$
perhatikan bahwa $481$ bukan bilangan prima, sedangkan $103$ adalah bilangan prima. Jadi jelas bahwa $103$ merupakan faktor prima terbesar dari $7^4+9.9^4$
jadi, jawabannya (D)
2. carilah faktor bukan prima dari $3^9+4.4^4$
a. $40$
b. $35$
c. $25$
d. $33$
e. $37$
pembahasan:
(ambil a=$3$ dan b=$4$)
$3^9+4.4^4=(3^3+2.4^2+2.3.4)(3^3+2.4^2-2.3.4$)
=($27+32+24)(27+32-24$)
=$83.35$
Dari bilangan-bilangan diatas, terdapat $83$ yang merupakan bilangan prima, dan $35$ adalah bukan bilangan prima. Jadi jelas bahwa faktor bukan prima dari $3^9+4.4^4$ adalah $35$.
Jadi, jawabannya (B)
3. Seseorang petani memiliki sejumlah pohon apel. Jika ia memasukkan $7$ bibit pohon apel masing-masing ke dalam sejumlah keranjang secukupnya, maka ada $3$ bibit pohon yang tidak masuk keranjang. Jika ia memasukkan $5$ bibit pohon masing-masing ke dalam keranjanf secukupnya, maka ada $2$ bibit yang tidak masuk kandang. Banyaknya bibit pohon yang dimiliki petani tersebut paling sedikit adalah
a. $1$
b. $28$
c. $22$
d. $29$
e. $35$
pembahasan:
Sistem kongruensi:
x=$3$(mod $7$)
x=$2$(mod $5$)
Perhatikan bahwa ${7,5}$ adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi untuk m=$7x5=35$, diperoleh
m$1=\frac{35}{7}=5$
m$2=\frac{35}{5}=7$
Dengan demikian, diperoleh:
y$1=5^{-1}$(mod $7)=1$ mod $7$
y$2=7^{-1}$(mod $5)=-1$ mod $5=4$(mod $5$)
Berdasarkan Teorema sisa cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv$(3.9.1+2.7.4) (mod $35$)
$x\equiv$(15+50)
$x\equiv$71 mod $35$
$x\equiv$1 mod $5$
Jadi solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x\equiv$1 (mod $35$)}. Ini berarti banyak bibit pohon paling sedikit adalah $1$ bibit.
jadi, jawabannya (A).
4. Seorang nenek memiliki sejumlah buah salak, jika ia memasukkan $5$ buah masing-masing kedalam sejumlah keranjang secukupnya, maka ada $2$ buah yang tidak masuk keranjang, jika ia memasukkan $7$ buah masing-masing kedalam keranjang secukupnya, maka ada $2$ bibit yang tidak masuk keranjang. Banyaknya buah yang dimiliki nenek tersebut paling sedikit adalah
a. $35$
b. $5$
c. $7$
d. $2$
e. $4$
pembahasannya:
Sistem kongruensi:
x=$2$(mod $5$)
x=$2$(mod $7$)
m=$5*7=35$diperoleh
m$1=\frac{35}{5}=7$
m$2=\frac{35}{7}=5$
Perhatikan bahwa ${5,7}$ adalah bilangan-bilangan yang salaing relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Dengan demikian, diperoleh:
y$1=7^{-1}$ (mod $5$)
y$1=1$ (mod $5$)
y$2=5^{-1}$ (mod $7$)
y$2=-1$ (mod $7$)
y$2=6$ mod $7$
Berdasarkan teorema sisa cina
$x\equiv$(2.7.1+2.5.6) mod $35$
$x\equiv$(14+60) mod $35$
$x\equiv$4 mod $35$
Jadi solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x\equiv${4 mod $35$}. Ini berarti banyak buah salak paling sedikit adalah $4$ buah (E).
5. Buktikan untuk setiap bilangan asli n>$1$,$n^4+9^n$ adalah bilangan komposit ganjil.
misalkan n=$3$k+$14$
misalkan n=$3$k+$1$
$=n^4+9^n=n^4+9^(3k+1)$
$=n^4+9^(3^k)^4$
$=(n^2+3.(3^k)^2+3n^2.3^k)(n^2+3.(3^k)^2-3n^2.2^k)$
$=(n^2+3.9^k+3n^2.3^k)(n^2+3.9^k-3n^2.2^k)$
Perhatikan bahwa
$(n^2+3.9^k+3n^2.3^k)$. Jelasa bernilai lebih dari $1$.
Jadi, bentuk $n^4+9^n$ selalu dapat dituliskan dalam bentuk perkalian dua bilangan yang bukan $1$ sehingga terbukti bahwa $n^4+9^n$ adalah bilangan komposit.
6. carilah faktor prima terbesar dari $3^4+4.4^4$
a. $65$
b. $60$
c. $20$
d. $64$
e. $17$
Pembahasan: e
(ambil a=3 dan b=4)
$(3^4+4.4^4)=(3^2+2.4^2+2.4.3)(3^2+2.4^2-2.4.3)$
=$(9+32+24)()9+32-24)$
=$65.17$
Perhatikan bahwa $65$ bukan bilangan prima dan $17$ adalah bilangam prima. jadi jelas bahwa 17 merupakan faktor prima terbesar dari $3^4 + 4.4^4$
7. Carilah faktor prima terbesar dari $6^4+4.4^4$
a. tidak terdefinisi
b. $0$
c. $1$
d. $20$
e. $116$
pembahasan:
(ambil $a=6$ dan $b=4$)
$6^4+4.4^4=(6^2+2.4^2+2.6.4)(6^2+2.4^2-2.6.4)$
$=(36+32+48)(36+32-48)$
$=116.20$
Dari bilangan diatas tidak ada yang masuk kedalam bilangan prima.
jadi, jawabannya (E).
8. Carilah faktor prima terkecil dari $9^4+4.4^4$ adalah
a. $41$
b. $105$
c. $81$
d. $32$
e. $72$
pembahasan:
(ambil $a=9$ dan $b=4$)
$9^4+4.4^4=(9^2+2.4^2+2.4.9)(9^2+2.4^2+2.4.9)$
$=(81+32+72)(81+32-72)$
$=185.41$
Dari bilangan diatas jelas bahwa $185$ bukan bilangan prima, sednagan $41$ bilangan prima. Maka faktor prima terkecil dari $9^4+4.4^4$ adalah $41$ (A).
9. carilah faktor bukan prima dari $3^9+4.4^4$
a. $40$
b. $35$
c. $25$
d. $33$
e. $37$
pembahasan:
(ambil a=$3$ dan b=$4$)
$3^9+4.4^4=(3^3+2.4^2+2.3.4)(3^3+2.4^2-2.3.4)$
$=27+32+24)(27+32-24)$
$=83.35$
Dari bilangan-bilangan diatas, terdapat $83$ yang merupakan bilangan prima, dan $35$ adalah bukan bilangan prima. Jadi jelas bahwa faktor bukan prima dari $3^9+4.4^4$ adalah $35$.
Jadi, jawabannya (B)
10. Seorang peternak memiliki sejumlah sapi. Jika ia memasukkan $5$ ekor sapi masing-masing kedalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada $3$ ekor sapi yang tidak masuk kandang. Jika ia memasukkan $4$ ekor sapi masing-masing kedalam sejumlah kandang secukupnya, maka ada $2$ ekor sapi yang tidak masuk kandang. Banyaknya sapi yang dimiliki peternak tersebut paling sedikit adalah
pembahasan:
$\begin{cases} x & \equiv 3
(\text{mod}-5) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}-4) \end{cases}$
perhatikan bahwa ${5,4}$ adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk $M=5.4=20$, diperoleh
m$1=\frac{20}{5}=4$
m$2= \frac{20}{4}=5$
Dengan demikian, diperoleh
y$1\equiv$4^-1 (mod $5$)
y$1\equiv$4 (mod $5$)
y$2\equiv$5^-1 (mod $4$)
y$2\equiv$-1 (mod $4$)
y$2\equiv$3 (mod $4$)
Berdasarkan Teorema Sisa Cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv${3.4.4+2.5.3} (mod $20$)
$x\equiv${48+30} (mod $20$)
$x\equiv${78} (mod $20$)
$x\equiv${18} (mod $20$)
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x\equiv${18} (mod $20$)
11. Bilangan berikut yang bila dibagi $7$,$11$, dan $13$ berturut-turut memberi sisa $1$,$2$,$3$ adalah
a. $665$
b. $666$
c. $667$
d. $668$
e. $669$
Nyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut
$\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}-7) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}-11) \\ x & \equiv 3
(\text{mod}-13 \end{cases}$
Perhatikan bahwa {$7$,$11$,$13$} adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk $M=7*11*13=1001$, diperoleh
$m1=\frac{1001}{7}=143$
$m1=\frac{1001}{11}=91$
$m1=\frac{1001}{13}=77$
Dengan demikian diperoleh
$y1\equiv$143^-1 (mod $7$)
$y1\equiv$3 (mod $7$)
$y2\equiv$91^-1 (mod $11$)
$y2\equiv$3 (mod $11$)
$y3\equiv$77^-1 (mod $13$)
$y3\equiv$3 (mod $13$)
Berdasarkan Teorema Sisa Cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv${1.143.3+2.91.3+3.77.3} (mod $1001$)
$x\equiv${429+546+693} (mod $1001$)
$x\equiv${1668} (mod $1001$)
$x\equiv${667} (mod $1001$)
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
$x\equiv${667} (mod $1001$)
Ini berarti semua bilangan bulat x yang memenuhi kongruensi adalah jawabannyapada pilihan (C).
12. Bilangan berikut yang bila dibagi $17$,$23$, dan $29$ berturut-turut memberi sisa $1$,$2$,$3$ adalah
a. $6271$
b. $6272$
c. $6273$
d. $6274$
e. $6275$
Nyatakan dalam sistem kongruensi linear berikut
$\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}-17) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}-23) \\ x & \equiv 3
(\text{mod}-29 \end{cases}$
Perhatikan bahwa {$17$,$23$,$29$} adalah bilangan-bilangan yang saling relatif prima sehingga sistem tersebut memiliki solusi.
Untuk $M=17*23*29=11339$, diperoleh
m$1=\frac{11339}{17}=667$
m$1=\frac{11339}{23}=493$
m$1=\frac{11339}{29}=391$
Dengan demikian diperoleh
$y1\equiv$667^-1 (mod $17$)
$y1\equiv$4 (mod $417$)
$y2\equiv$497^-1 (mod $23$)
$y2\equiv$10 (mod $23$)
$y3\equiv$391^-1 (mod $29$)
$y3\equiv$14 (mod $29$)
Berdasarkan Teorema Sisa Cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv${1.667.4+2.497.10+3.391.14} (mod $11339$)
$x\equiv${2668+9860+16422} (mod $11339$)
$x\equiv${28950} (mod $11339$)
$x\equiv${6272} (mod $11339$)
Jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah
$x\equiv${6272} (mod $11339$)
Ini berarti semua bilangan bulat x yang memenuhi kongruensi adalah jawabannyapada pilihan (B).
13. Carilah faktor bukan prima dari $1^2+9+9^4$
a. $9$
b. $1$
c. $217$
d. $271$
e. $243$
Pembahasan= c
(ambil a=$1$ dan b=$9$)
$1^2+9.9^4=(1^2+3.9^2+3.9.1)(1^2+3.9^2-3.9.1$)
=($1+243+27)(1+243-27$)
=$271.217$
Dari kedua bilangan diatas yang tidak termasuk kedalam bilangan prima adalah $217$ maka yang termasuk bilangan prima adalah $271$. jadi faktor yang bukan prima adalah $217$
14. carilah faktor prima terkecil dari $6^2+8+8^4$
a. $6$
b. $484$
c. $100$
d. $256$
e. $tidak terdefimisi$
Pembahasan= e
(ambil $a=6$ dan $b=8$)
$6^2+8.8^4=(6^2+4.8^2+4.8.6)(6^2+4.8^2-4.8.6)$
$=(36+256+192)(36+256-192)$
$=484.100$
Jadi dari kedua bilangan diatas merupakan bilangan bukan prima,maka untuk faktor prima terkecil dari $6^2+8+8^4$ tidak terdefinisi
15. Carilah faktor prima terbesar dari $5^4+2.2^4$
a. $5$
b. $53$
c. $13$
d. $25$
e. $20$
Pembahasan= b
(ambil $a=5$ dan $b=2$)
$5^2+2.2^4=(5^2+2.2^2+2.5.2)(5^2+2.2^2+2.5.2)$
$=(25+8+20)(25+8-20)$
$=53.13$
Perhatikan bahwa $53$ dan $13$ keduanya merupakan bilangan prima. jelas bahwa $53$ merupakan faktor prima terbesar dari $5^4+2.2^4$
16. Bilangan berikut yang bila dibagi $3,6$ dan $5$ berturut- turut memberi sisa $1,2$ dan $3$ adalah
a. $72$
b. $90$
c. $252$ (mod $90$)
d. $72$ (mod $90$)
e. $18$
Pembahasan= d
$\begin{cases} x & \equiv 1
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 2
(\text{mod}-6) \\ x & \equiv 3
(\text{mod}-5) \end{cases}$
untuk $M=3.6.5=90$ diperoleh
M$1=\frac{90}{3}=30$
M$2=\frac{90}{6}=15$
M$3=\frac{90}{5}=18$
dengan demikian diperoleh
$y1\equiv$30^{-1} (mod $3$)
$\equiv$0
$y2\equiv$15^{-1} (mod $6$)
$\equiv$3 (mod $6$)
$y3\equiv$18^{-1} (mod $5$)
$\equiv3$ (mod $5$)
Berdasarkan Teorema sisa cina, sekarang didapatkan solusi
$x\equiv$(1.30.0+2.15.3+3.18.3) (mod $90$)
$=\equiv$(0+90+162) (mod $90$)
$=\equiv252$ (mod $90$)
$=\equiv72$ (mod $90$)
jadi, solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x\equiv$72 (mod $90$)
17. Misalkan A adalah himpunan solusi dari sistem kongruensi
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 3-
(\text{mod}-9) \end{cases}$
Jika a adalah bilangan bulat positif terkecil dari A dan B adalah bilangan bulat positif terbesar dari A dengan b<$1000$, maka nilai a+b adalah
a. $1$
b. $1$ (mod $6$)
c. $9$
d. $981$
e. $990$
Pembahasan=e
Diketahui
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 3-
(\text{mod}-9) \end{cases}$
kongruensi $(2)$ dapat disederhanakan menjadi
$x\equiv$1 (mod $3$)
Sedangkan kongruensi $3$ dapat disederhanakan menjadi
$\frac{6}{3} x\equiv \frac{3}{3}$ (mod $\frac{9}{3}$)
$2x\equiv$1 (mod $3$)
$x\equiv$2^-1 (mod $3$)
$x\equiv$2 (mod $3$)
Jadi, sistem kongruensi tersebut kita tulis ulang sebagai
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 1-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \end{cases}$
Karena FPB $(2,3)=1$, maka kongruensi $(1)$ dan $(2)$ dapat disatukan sehingga diperoleh
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-6) \\ x \equiv & 1-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 2- \end{cases}$
untuk $M=6.3=18$, diperoleh
M$1=\frac{18}{6}=3$
M$2=\frac{18}{3}=6$
Dengan demikian,diperoleh
y$1\equiv$3^-1 (mod $6$)
$\equiv$-3 (mod $6$)
$\equiv$3 (mod $3$)
y$2\equiv$6^-1 (mod $3$)
$\equiv$0
Berdasarkan Teorema sisa cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv$(1.3.3+2.6.0) (mod $418$)
$\equiv$(9+0) (mod $18$)
$\equiv$9 (mod $18$)
Jadi solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x=\equiv$9 (mod $5$), atau dapat ditulis x=$18k+9$, untuk setiap k elemen Z.
Nilai a tercapai saat k=0 sehingga a=$18(0)+9=9$
Nilai b tercapai saat k=0 sehingga a=$15(5)+9=981$
Dengan demikian nilai $a+b=9+981=990$ (E)
18. Carilah solusi dari sistem kongruensi linear berikut.
$\begin{cases} x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 4-
(\text{mod}-4) \\ x & \equiv 8-
(\text{mod}-5) \end{cases}$
a. $0$
b. $5$
c. $9$
d. $981$
e. $990$
Pembahasan= a
Untuk M$=3.4.5=60$, diperoleh
M$1=\frac{60}{3}=20$
M$2=\frac{60}{4}=15$
M$3=\frac{60}{5}=12$
dengan demikian diperoleh
y$1\equiv$20^-1 (mod $4$)
$\equiv$2 (mod $3$)
y$2\equiv$15^-1 (mod $4$)
$\equiv$3 (mod $4$)
y$3\equiv$12^-1 (mod $5$)
$\equiv$3 (mod $5$)
Berdasarkan Teorema Sisa cina, sekarang kita didapat solusi
$x\equiv$(2.20.2+3.15.4+3.12.8) (mod $60$)
$\equiv$(80+180+280) (mod $60$)
$\equiv$(20+0+40) (mod $60$)
$\equiv$0
Jadi solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x\equiv$0 (A)
19. Misalkan A adalah himpunan solusi dari sistem kongruensi
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 3-
(\text{mod}-9) \end{cases}$
Jika a adalah bilangan bulat positif terkecil dari A dan B adalah bilangan bulat positif terbesar dari A dengan b<$1000$, maka nilai a+b adalah
a. $1$
b. $1$ (mod $6$)
c. $9$
d. $981$
e. $990$
Pembahasan=e
Diketahui
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 3-
(\text{mod}-9) \end{cases}$
kongruensi $(2)$ dapat disederhanakan menjadi
$x\equiv$1 (mod $3$)
Sedangkan kongruensi $3$ dapat disederhanakan menjadi
$\frac{6}{3} x\equiv \frac{3}{3}$ (mod $\frac{9}{3}$)
$2x\equiv$1 (mod $3$)
$x\equiv$2^-1 (mod $3$)
$x\equiv$2 (mod $3$)
Jadi, sistem kongruensi tersebut kita tulis ulang sebagai
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-2) \\ x & \equiv 1-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 2-
(\text{mod}-3) \end{cases}$
Karena FPB $(2,3)=1$, maka kongruensi $(1)$ dan $(2)$ dapat disatukan sehingga diperoleh
$\begin{cases} x & \equiv 1-
(\text{mod}-6) \\ x \equiv & 1-
(\text{mod}-3) \\ x & \equiv 2- \end{cases}$
untuk $M=6.3=18$, diperoleh
M$1=\frac{18}{6}=3$
M$2=\frac{18}{3}=6$
Dengan demikian,diperoleh
y$1\equiv$3^-1 (mod $6$)
$\equiv$-3 (mod $6$)
$\equiv$3 (mod $3$)
y$2\equiv$6^-1 (mod $3$)
$\equiv$0
Berdasarkan Teorema sisa cina, sekarang kita dapatkan solusi
$x\equiv$(1.3.3+2.6.0) (mod $418$)
$\equiv$(9+0) (mod $18$)
$\equiv$9 (mod $18$)
Jadi solusi dari sistem kongruensi linear tersebut adalah $x=\equiv$9 (mod $5$), atau dapat ditulis x=$18k+9$, untuk setiap k elemen Z.
Nilai a tercapai saat k=0 sehingga a=$18(0)+9=9$
Nilai b tercapai saat k=0 sehingga a=$15(5)+9=981$
Dengan demikian nilai $a+b=9+981=990$ (E)
20. carilah faktor prima terkecil dari $6^2+8+8^4$
a. $6$
b. $484$
c. $100$
d. $256$
e. tidak terdefinisi
Pembahasan= e
(ambil a=$6$ dan b=$8$)
$6^2+8.8^4=(6^2+4.8^2+4.8.6)(6^2+4.8^2-4.8.6$)
=($36+256+192)(36+256-192$)
=$484.100$
Jadi dari kedua bilangan diatas merupakan bilangan bukan prima,maka untuk faktor prima terkecil dari $6^2+8+8^4$ tidak terdefinisi (E)
Nama Anggota :
Lusiana Dewi Rahayu (2110251001)
Nur Rizqina Ulya (2110251018)
Mellyana Adistya Anggraini (2110251020)
KUMPULAN SOAL TEORI SHOPIE GERMAIN DAN MODULO SISA CINA
Selesai