Selamat datang di Gamacuma pada blog ini kami akan membahas soal diophantin dan palindrom. semoga artikel ini dapat bermanfaat bagi pembaca dan bisa menambah wawasan.
1. Banyaknya pasangan bilangan asli $(x,y)$ yang memenuhi persamaan $√x-√15=√y$ adalah….
A.$0$
B.$1$
C.Tak hingga
D.$6$
E.$3$
Pembahasan
Diketahui $√x-√15$=√y
Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
$(√x-√15)2 =(√y)2$
$x-2√15x+15=y$
Agar diperoleh bilangan asli $y$, maka haruslah $x =15n^2$ untuk suatu bilangan bulat $n$ $≥2$ ($n=1$ menyebabkan nilai $y$ negatif )
Substitusi $x$= $15n^2$, kita peroleh
$y=15n^2-2√(15(15n)^2)+15$
$=15n^2-30n+15$
$=15(n^2-2n+1)$
$=15(n-1)^2$.
Karena bilangan bulat $n≥2$ ada sebanyak tak hingga, maka juga aka nada tak hingga pasangan bilangan asli $(x,y)$ yang memenuhi persamaan tersebut
Jawaban: (E)
2. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ yang memenuhi $a^b$ = $16$
A. $2$
B. $3$
C. $4$
D. $5$
E. $1$
Pembahasan
Perhatikan bahwa $16 = 2^4$ (bentuk faktorisasi prima) dan hanya $2$ sebagai factor primanya, maka $a$ pasti merupakan bentuk pangkat dari $2$.
Misalkan $a = 2^n$, maka $a^b$ =$2^n$ $b = 2^nb$ sehingga kita peroleh $nb = 4$
Ini menunjukkan bahwa $n$ adalah factor dari $4$, yaitu ${1, 2, 4}$.
Kita dapat tuliskan $16 = 24 = 42 = 161$.
Jadi, akan ada $3$ pasangan bilangan bulat positif $(a,b)$ yang memenuhi.
Jawaban: (B)
3. Banyak pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi $1 +\frac6x +\frac7y = 0$ adalah...
A. $2$
B. $4$
C. $5$
D. $7$
E. $8$
Pembahasan
Perhatikan bahwa dengan mengalikan kedua ruas persamaan di atas dengan $xy$, kita peroleh
$xy(1+\frac6x+\frac7y)= xy(0)$
$xy+6y+7x = 0$
$(x+6)(y+7)-14=0$
$(x+6)(y +7)=14$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $(x+6)$ dan $(y + 7)$ merupakan factor dari $14$. Karena faktor dari $14$ ada sebanyak delapan, yaitu $1, -1, 2, -2, 7, -7, 12$, dan $-12$, maka aka nada $8$ pasangan bilangan bulat $(x,y)$ yang memenuhi persamaan itu.
Jawaban: (E)
4.Diketahui $a–1=\frac{20}{b}$ dengan $a$ dan $b$ berupa bilangan bulat, maka banyak nilai $a$ yang mungkin adalah ….
A. $12$
B. $13$
C. $15$
D. $16$
E. $18$
Pembahasan
Diketahui $a–1=\frac{20}{b}$ .agar $a$ bulat, maka $a–1$ juga harus bulat, berakibat $\frac{20}{b}$ juga harus bulat bulat sehingga $b$ harus merupakan faktor dari $20$, yaitu ${1,-1,2,-2,4,-4,5,-5,10,-10,20,-20}$. Jadi, ada $12$ nilai $b$ yang mungkin. Dengan kata lain, nilai $a$ yang mungkin juga ada $12$.
Jawaban: (A)
5. Untuk $x$ dan $y$ anggota bilangan bulat, solusi dari $3x-3y-xy-12=0$ ada sebanyak …. Pasang.
A. $10$
B. $11$
C. $12$
D. $13$
E. $15$
Pembahasan
Diketahui $3x-3y-xy-12=0$. Perhatikan bahwa bentuk pada ruas kiri dapat kita faktorkan dengan memperhatikan nilai konstanta.
$[(x+3)(-y+3)-6] – 12 = 0$
$(x+3)(-y+3) = 18$
$(x+3) =\frac{18}{(-y+3)}$
$x=\frac{18}{(-y+3)}–2$
Nilai $x$ akan bulat Ketika bentuk $(-y+3)$ merupakan factor bulat dari $18$, yaitu ${1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9, 18, -18}$. Ini artinya, aka nada $12$ nilai y yang memenuhi, begitu juga dengan pasangannya, yaitu $x$. Jadi, ada $12$ pasang nilai $(x,y)$ anggota bilanga bulat yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban: (C)
6. Untuk $x$ dan $y$ anggota bilangan bulat, solusi dari $5x-2y-xy-17=0$ ada sebanyak …. Pasang
A. $6$
B. $7$
C. $8$
D. $9$
E. $10$
Pembahasan
Diketahui $5x-5y-xy-17=0$. Perhatikan bahwa bentuk pada ruas kiri dapa kita faktorkan dengan memperhatikan nilai kosntanta.
$[( x + 5) (-y + 5) – 10] – 17 = 0$
$(x + 5) (-y + 5) = 27$
$X + 5 = \frac{27}{(-y+5)} - 2$
$X =\frac{27}{(-y+5)} - 2$
Nilai $x$ akan bulat Ketika bentuk $(-y+5)$ merupakan factor bulat dari $27$, yaitu ${1, -1, 3, -3, 9, -9, 27, -27}$. Ini artinya, akan ada $8$ nilai $y$ yang memenuhi, begutu juga dengan pasangannya, yaitu $x$. jadi, ada $8$ pasang nilai $(x,y)$ anggota bilangan bulat yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban: (C)
7. Banyaknya pasangan bilangan asli $(x,y)$ yang memenuhi persamaan $√x-√25=√y$ adalah….
A. $1$
B. $2$
C. $3$
D. Tak hingga
E. $0$
Pembahasan
Diketahui $√x-√25=√y$.
Kuadratkan kedua ruas, kita peroleh
$(√x- √25)2 = (√y)2$
$x-2√25x+25 = y$
Agar diperoleh bilangan asli $y$, maka haruslah $x = 25n^2$ untuk suatu bilangan bulat $n≥2$ (n = 1 menyebabkan nilai y negatif).
Substitusi $x = 25n^2$, kita diperoleh
$Y= 25n^2 - 2√(25(25n^2 )) + 25$
$= 25n^2 – 50n + 25$
$= 25(n^2 – 2n + 1)$
$= 25(n – 1)2$
Karena bilangan bulat $n≥2$ ada sebanyak tak hingga, maka juga akan ada tak hingga pasangan bilangan $(x,y)$ yang memenuhi persamaan tersebut.
Jawaban: (D)
8. Banyaknya bilangan palindrom $5$ angka adalah...
A. $50$
B. $105$
C. $100$
D. $200$
E. $305$
Pembahasan:
misalkan bilangan palindrom $5$ angka terbentuk $ABCBA$. Banyak dikit untuk menempati $A$ adalah $4$, yaitu $1$ sampai $4$. Banyak dikit untuk menempati $B$, $C$ masing-masing adalah $5$, yaitu dari $0$ sampai $4$. secara keseluruhan, banyak bilangan palindrom $5$ angka adalah $4 $x$ 5 $x$ 5=
100$
Jawaban : (C)
9. Berapa banyak bilangan palindrom $3$ angka positif $PQR$ yang memenuhi $P≤Q≤R$ ?
A. $7$
B. $6$
C. $3$
D. $2$
E. $9$
Pembahasan:
PQR merupakan bilangan palindrom, maka harus $P = R$. Karena $P ≤ Q ≤ R$, maka bilangan palindrom yang dimaksud ada $9$, yaitu $111, 222,..., 999$
Jawaban : (E)
10. Jumlah $10$ bilangan palindrom pertama yang tersusun dari $4$ angka adalah...
A. $10330$
B. $10440$
C. $10550$
D. $10660$
Pembahasan:
$10$ bilangan palindrom yang dimaksud adalah :
$1010$ $1020$ $1030$ $1040$ $1050$
$1060$ $1070$ $1080$ $1090$ $1100$
Jumlah $10$ bilangan palindrom tersebut bila kita hitung hasilnya adalah...
Jawaban : (C)
11. Berapakah banyak bilangan palindrom delapan angka yang merupakan bilangan genap ?
A. $4.000$
B. $3.400$
C. $2.100$
D. $5.000$
E. $3.000$
Pembahasan:
Misalkan bilangan palindrom delapan angka dinotasikan dengan ABCDDCBA. Karena genap, A maka hanya boleh diisi oleh digit $2$, $4$, $6$, dan $8$.
Angka $0$ tidak dierbolehkan karena A juga posisinya jutaan ribu. B, C, dan D dapat diisi oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$. Dengan demikian,
banyak bilangan genap adalah $4 $x$ 10 $x$ 10 $x$ 10 = 4.000$
Jawaban : (A)
12. jika $x$ + $10402$ merupakan bilangan palindrom, maka tentukan bilangan asli terkecil $x$ ...
A. $99$
B. $88$
C. $77$
D. $66$
E. $81$
Pembahasan:
Bilangan palindrom berikutnya di atas $10402$ adalah $10501$.
Dengan demikian, nilai $x$ terkecil adalah $10501$ - $10402$ = $99$
Jawaban : (A)
13. selidikilah persamaan $21x + 6y= 75$ apakah mempunyai jawab dihimpunan bilangan bulat...
A. Tidak memenuhi persamaan
B. Memenuhi persamaan
Pembahasan:
FPB $(21,6)=3$
$3$ membagi $21$ dan $6$
$3$ membagi $75$
persamaan $21x + 6y= 75$ mempunyai solusi bilangan bulat $(x,y)$
Jawaban : (B)
14. Manakah yang terbesar, banyaknya bilangan palindrom $6$ angka atau banyaknya bilangan palindrom $7$ angka?
A. Bilangan palindrom $6$ angka
B. Bilangan palindrom $7$ angka
pembahasan:
misalkan bilangan palindrom $6$ angka berbentuk $ABCCBA$.
Digit $a$ menempati posisi ratusan ribuan sehingga tidak boleh bernilai $0$.
artinya, tersisa $9$ digit yang boleh menjadi nilai $a$.
Digit $b$ bisa ditemapti oleh semua digit yang ada ($10$ digit).
Digit $c$ juga demikian ($10$ digit).
secara keseluruhan, ada $9.10.10$ bilangan palindrom $6$ angka.
Misalkan bilangan palindrom $7$ angka berbentuk $ABCDCBA$.
Digit d juga bisa ditempati oleh semua digit yang ada ($10$ digit).
Dengan cara yang sama, banyaknya bilangan palindrom $7$ angka tersebut adalah
$9.10.10.10 = 9.000$
Jadi, disimpulkan bahwa bilangan palindrom yang terbesar antara bilangan palindrom $6$ angka dan bilangan palindrom $7$ adalah lebih besar bilangan palindrom $7$ angka.
Jawaban : (B)
15. selidikilah persamaan $21x + 6y= 75$ apakah mempunyai jawab dihimpunan bilangan bulat...
A. Tidak memenuhi persamaan
B. Memenuhi persamaan
Pembahasan:
$FPB$ $(21,6)$=$3$
$3$ membagi $21$ dan $6$
$3$ membagi $75$
persamaan $21x + 6y= 75$ mempunyai solusi bilangan bulat $(x,y)$
Jawaban: (B)
16. Berapakah banyak bilangan palindrom empat angka yang merupakan bilangan genap...
A. $50$
B. $80$
C. $40$
D. $15$
E. $30$
Pembahasan:
Misalkan bilangan palindrom empat angka dinotasikan $XYYX$. Karena genap, maka $X$ hanya boleh diisi oleh digit $2$, $4$, $6$, dan $8$. Digit $0$ tidak diperbolehkan karena $A$ juga menempati posisi ratusan ribu. $Y$ keduanya dapat diisi oleh $10$ angka dari $0$ sampai $9$. Dengan demikian, banyak bilangan palindrom enam angka yang merupakan bilangan genap adalah $4$ $x$ $10= 40$
Jawaban: (C)
17. terdapat $2$ jenis buah, masing-masing berisi $3$ buah apel dan $6$ buah pir. apakah ada kombinasi jumlah buah-buahan tersebut sehingga banyak buah yang dimilikinnya sama dengan $50$ buah? jika ada pada kelipatan berapa?
A. ada kelipatan $2$
B. ada kelipatan $3$
C. ada kelipatan $5$
D. ada kelipatan $2$ dan $3$
E. tidak ada
pembahasan
misalkan $x,y$ berutur-turut menyatakan banyak buah yang isinya $3$ buah apel dan $6$ buah pir, maka kita peroleh persamaan linier diophantin $3x + 6y = 50$.
misalkan bahwa $3x + 6y = 3(x+2y)$ sehingga total buah-buahan akan selalu berkelipatan $3$. karena $50$ bukan kelipatan $3$ maka tidak ada kombinasi kelipatan yang diperoleh.
18. Banyaknya pasangan bilangan bulat $(p,q)$ yang memenuhi $(1 + \frac {2}{x} + \frac{3}{y})$ = $0$ adalah...
A. $3$
B. $4$
C. $6$
D. $8$
E. $9$
Pembahasan:
bahwa denga mengalikan kedua ruas persamaan diatas dengan pq, kita peroleh
$pq$ $(1+\frac {2}{p}+\frac {3}{q})$=$pq (0)$
$pq + 2p + 3q = 0$
$(p+2)(q+3)-6=0$
$(p+2)(q+3)=6$
Persamaan terakhir menunjukkan bahwa $(p + 2)$ dan $(q + 3)$ merupakan faktor dari
$6$. Karena faktor dari $6$ ada sebanyak delapan, yaitu $±1, ±2, ±3$, dan $±6$, maka akan ada $8$ pasangan bilangan bulat $(p,q)$ yang memenuhi persamaan itu.
Jawaban : (D)
19. Banyaknya persamaan bilangan asli $(a,b)$ yang memenuhi $a+2b = 50$ adalah...
A. $50$
B. $49$
C. $25$
D. $24$
E. $20$
Pembahasan
persamaan di atas menggunakan menunjukkan bahwa selama nilai b bulat maka a juga akan bulat.
Nilai $b$ terkecil yang mungkin dipilih adalah $b = 1$(bilangan asli).
Sedangkan nilai $b$ terbesar adalah $24$.
Masing-masing nilai menghasilkan bilangan asli $a$. ini artinya akan ada $24$ pasang $(a,b)$ yang terbentuk.
Jawaban : (D).
20. Jika $a-1 = \frac {20}{b}$ dengan $a$ dan $b$ berapa bilangan bulat, maka banyak nilai $a$ yang mungkin adalah...
A. $1$
B. $2$
C. $5$
D. $8$
E. $20$
Pembahasan
diketahui $a-1 = \frac{20}{b}$. Agar $a$ bulat maka $a-1$ juga harus bulat berakibat $\frac{20}{b}$ juga harus bulat.
Sehingga $b$ harus merupakan faktor dari $20$, yaitu ${±1,±2,±5,±20}$.
Jadi ada $8$ nila $b$ yang mungkin.
Jawaban : (D)
Disusun oleh :
- Arsuti Vizha (2110251016)
- Siti Ummaidah (2110251017)
- Fifi Aleyda Widiyanto (2110251021)
KUMPULAN SOAL DAN PEMBAHASAN TEOREMA DIOPHANTIN DAN PALINDROM
Selesai