1. Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac35$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan $5$ kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan penalti tersebut adalah ....
A. $\frac{180}{625}$
B. $\frac{612}{625}$
C. $\frac{216}{625}$
D. $\frac{228}{625}$
E. $\frac{230}{625}$
Pembahasan:
Pada kejadian di atas kondisi "sukses" adalah keadaan dimana penjaga gawang mampu menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac35$ maka peluang "gagal" adalah $q=1-p=1-\frac35=\frac25$. Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan $(x=3)$ dari $5$ kali tendangan $(n=5)$ adalah:
$P(x=3,n=5)=C(5,3)\times(\frac35)^3\times(\frac25)^{5-3}$
$=\frac{5!}{2!.3!}\times(\frac35)^3\times(\frac25)^2$
$=10\times(\frac{27}{125})\times(\frac{4}{25})$
$=\frac{216}{625}$
Jawaban: (C)
2. Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah ....
A. $\frac{5}{246}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{25}{46}$
D. $\frac{25}{72}$
E. $\frac{135}{432}$
Pembahasan:
Kemungkinan jumlah mata dadu $7$:
${(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}$ ada $6$ kemungkinan banyak semua kemungkinan adalah $6×6=36$ dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu $7$) adalah $p=\frac{6}{36}=\frac16$ peluang gagal (jumlah mata dadu bukan $7$) adalah $q=1-p=1-\frac16=\frac56$ Peluang mendapatkan satu kali $(x=1)$ dadu jumah $7$ dari $3$ kali $(n=3)$ pelemparan adalah:
$P(x=1,n=3)=C(3,1)\times(\frac16)^1\times(\frac56)^{3-1}$
$=\frac{3!}{2!.1!}\times(\frac16)\times(\frac56)^2$
$=3\times(\frac16)\times(\frac{25}{36})$
$=\frac{25}{72}$
Jawaban: (D)
3. Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada $4$ orang bayi, peluang dari bayi tersebut $3$ orang belum diimunisasi rubela adalah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$
Pembahasan:
Peluang tidak diimunisasi adalah $p=0,2$
Peluang diimunisasi adalah $q=1-p=1-0,2=0,8$
Peluang $3$ dari $4$ bayi belum diiunisasi adalah :
$P(x=3,n=4)=C(4,3)\times(0,2)^3\times(0,8)^{4-3}$
$=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times(0,8)$
$=0,0256$
Jawaban: (B)
4. Sebuah koin dilempar $5$ kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat $3$ kali adalah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$
Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan adalah $p=\frac12$
Peluang mendapatkan angka pada setiap pelemparan adalah $q=1-p=1-\frac12=\frac12$
Peluang tepat $3$ kali dapat gambar dari $5$ kali pelemparan adalah:
$P(x=3,n=5)=C(5,3)\times(\frac12)^3\times(\frac12)^2$
$=\frac{5!}{2!.3!}\times(\frac18)\times(\frac14)$
$=10\times\frac18\times\frac14$
$=\frac{10}{32}$
Jawaban: (B)
5. Terdapat $5$ objek, yaitu meja, kursi, almari, sapu dan kemoceng. Apabila dari $5$ objek ini diabil $3$ objek, maka banyaknya cara pengambilan $3$ objek tersebut adalah...
A. $5$ cara
B. $10$ cara
C. $15$ cara
D. $20$ cara
E. $25$ cara
Pembahasan :
Pembahasan banyaknya cara pengambilan $3$ objek adalah
$(_{3}^{5})= \frac{5!}{2!.3!}$
$=\frac{1.2.3.4.5}{(2.1)(1.2.3)}$
$=\frac{120}{12}$
$=10$ cara
Jawaban: (B)
6. Dalam suatu ruangan terdapat $5$ meja bundar dan $2$ meja persegi. Apabila kita mengambil $5$ meja dari ruangan tersebut, maka banyaknya cara pengambilan ada...
A. $7$ cara
B. $9$ cara
C. $12$ cara
D. $18$ cara
E. $21$ cara
Pembahasan:
Peluang banyaknya cara pengambilan meja adalah
$(_{5}^{7})=\frac{7!}{2!.51}$
$=\frac{7.6.5!}{2!.5!}$
$=21$ cara
Jawaban: (C)
7. Tentukan nilai dari $(_{18}^{30})$...
A. $405$
B. $420$
C. $435$
D. $450$
E. $500$
Pembahasan:
$(_{18}^{30})=(_{2}^{30})$
$=\frac{30.29}{1.2}$
$=\frac{870}{2}$
$=435$
Jawaaban: (C)
8. Tentukan nilai dari $(_{7}^{10})$...
A. $50$
B. $105$
C. $120$
D. $130$
E. $145$
Pembahasan:
$(_{7}^{10})=(_{3}^{10})$
$=\frac{10.9.8}{1.2.3}$
$=\frac{720}{6}$
$=120$
Jawaban: (C)
9. Jumlah koefisien dari $(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$ dari...
A. $20$
B. $26$
C. $31$
D. $37$
E. $40$
Pembahasan:
Subtitusi $x=y=1$ pada masing-masing biominal $(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya
S=$(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$
$=(2(1)-3(1)^5 + (4(1)-2(1)^5$
$=(2-3)^5 + (4-2)^5$
$=(-1)^5 + (2)^5$
$=-1 + 32$
$=31$
Jawaban: (C)
10. Koefisien $x^3$ dari penjabaran adalah $(x+1)^5$ adalah...
A. $2$
B. $5$
C. $8$
D. $10$
E. $15$
Pembahasan:
$(_{3}^{5})=\frac{5.4}{1.2}$
$=\frac{20}{2}$
$=10$
Jawaban: (D)
11. Koefisien dari $x^4y^6$ dalam penjabaran $(x+y)^10$ adalah...
A. $210$
B. $250$
C. $280$
D. $300$
E. $350$
Pembahasan:
$C_{6}^{10} =\frac{10!}{4!.6!}$
$=\frac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}$
$=210$
Jawaban: (A)
12.Misalkan nilai $A=(x+1)^3+2(x+1)^2+4(x+1)+1$. Sederhanakan nilai $A$...
A. $(x-2)^3$
B. $(x-1)^3$
C. $(x+1)^2$
D. $(x+2)^3$
E. $(x+3)^3$
Pembahasan:
Berdasarkan Teorema Biominal, diketahui bahwa $(a+b)^3$ dijabarkan menjadi $a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3$
Bentuk $A$ mirip dengan penjabaran tersebut jika kita ambil $a=x+1 dan b=1$, oleh karena itu dapat kita tulis
$A=(x+1)^3 + (x+1).1^2 + 2(x+1)^2.1 + 2(x=1).12 + (x+1).1^2 + 1^3$
$=((x+1) + 1)^3$
$=(x+2)^3$
Jadi bentuk sederhana dari $A$ adalah $(x+2)^3$
Jawaban: (D)
13. Koefisien $p^2q^4r^6$ dalam ekefansi $(p+q+r)^12$ adalah...
A. $12.550$
B. $13.330$
C. $13.860$
D. $14.510$
E. $15.660$
Pembahasa:
Diberikan trinominal $(p+q+r)^{12}$ pilih $p$ dari $2$ faktor diantara $12$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_{2}^{12}$ cara.
Pilih $q$ dari $4$ faktor diantara $12-2=10$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_{4}^{10}$ cara.
Pilih $r$ dari $6$ faktor diantara $6$ faktor tersisa yang bisa dilakukan dalam $C_{6}^{6}$ cara.
Dengan demikian, koefisien $p^2q^4r^6$ sama dengan
$C_{2}^{12}.C_{4}^{10}.C_{6}^{6}$
$=\frac{12!}{10!.2!}.\frac{10!}{6!.4!}.\frac{6!}{0!.6!}$
$=\frac{12.11.10!}{10!.2!}.\frac{10.9.8.7.6!}{6!4.3.2.1}.1$
$=66.210.1$
$=13.860$
Jawaban: (C)
14. Nilai dari $C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$ adalah...
A. $2022$
B. $2^{2022}$
C. $3^{2022}$
D. $2^{1011}$
E. $1011$
Pembahasan:
Berdasarkan Teorema Binomial
$(a+b)^n=C_{0}^{n}a^n+C_{1}^{n}a^{n-1}b+C_{2}^{n}a^{n-2}b^2+...+C_{n}^{n}b^n$
misalkan $a=b=1$, maka kita peroleh
$(1+1)^n=C_{0}^{n}1^n+C_{1}^{n}1^{n-1}1+C_{2}^{n}1^{n-2}1^2+...+C_{n}^{n}1^n$
$2^n=C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+...+C_{n}^{n}$
Sekarang untuk $n=2022$, diperoleh
$2^{2022}=C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$
Jadi nilai dari $C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$ adalah $2^{2022}$
Jawaban: (B)
15. Jika $P$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b)^7$ dan $R$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c)^3$, maka selisih $P$ dan $R$ adalah...
A. $-5$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $5$
Pembahasan:
Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a1+a2+a3+...+au)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu multinomial $(a+b)^7$ memiliki nilai $n=2$ dan $u=2$ sehingga
$P=C_{2-1}^{7+2-1}$
$=C_{1}^{8}$
$=\frac{8!}{7!.1!}$
$=\frac{8.7!}{7!.1}$
$=8$
Multinomial $(a+b+c)^3$ memiliki nilai $n=3$ dan $u=3$ sehingga
$R=C_{3-1}^{3+3-1}$
$=C_{2}^{5}$
$=\frac{5!}{3!.2!}$
$=\frac{5.4.3!}{3!.2!}$
$=10$ Dengan demikian $P-R=8-10=-2$
Jadi selisih nilai $P$ dan $R$ adalah $-2$
Jawaban: (B)
16. Jumlah koefisien dari $A=(4x+3y)^2+(2x+3y)^2$ adalah...
A. $74$
B. $80$
C. $91$
D. $100$
E. $69$
Pembahasan:
Subtitusi $x=y=1$ pada masing-masing binomial $A=(4x+3y)^2+(2x+3y)^2$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya
$A=((4x+3y)^2+(2x+3y)^2$
$=(4.1+3.1)^2+(2.1+3.1)^2$
$=(4+3)^2+(2+3)^2$
$=7^2+5^2$
$=49+25$
$=74$
Jawaban: (A)
17. Tentukan banyak suku-suku berbeda pada penjabaran $(2x+5y)^7$...
A. $2$
B. $5$
C. $7$
D. $8$
E. $12$
Pembahasan:
Diketahu multinomial $(2x+5y)^7$.
Dari sini, diketahui $n=7$ dan $r=2$ (banyak variabelnya)
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$S=(_{r-1}^{n+r-1})$
$=(_{2-1}^{7+2-1})$
$=(_{1}^{8})$
$=\frac{8!}{7!.1!}$
$=\frac{8.7!}{7!.1!}$
$=8$
Jawaban: (D)
18. Temukan koefisien $(a^2b^2c^2)$ dari penjabaran $(a+b+c)^6$...
A. $50$
B. $60$
C. $70$
D. $80$
E. $90$
Pembahasan:
Koefisien $(a^2b^2c^2)=(_{2,2,2}^{6}).1^2.1^2.1^2$
$=\frac{6!}{2!.2!.21}.1.1.1$
$=\frac{6.5.4.3.2!}{2!.2!.21}.1$
$=90$
Jawaban: (E)
19. Diketahui suku kedua dan ketiga dari penjabaran $(1+\frac15)^x$ nilainya sama. Nilai $x$ adalah...
A. $11$
B. $13$
C. $15$
D. $10$
E. $12$
Pembahasan:
Pada penjabaran $(1+\frac15)^x$ dengan $x>0$, diperoleh
Suku kedua $=(_{1}{x})(1)^{x-1}.(\frac15)^1$
$=x(1).(\frac15)$
$=\frac{x}{5}$
Dan
Suku ketiga $=(_{2}{x})(1)^{x-2}.(\frac15)^2$
$=\frac{x!}{(x-2)!.2!}(1).(\frac{1}{25})$
$=\frac{x(x-1)}{50}$
Karena suku kedua dan ketiga sama, maka kita dapatkan
$\frac{x}{5}=\frac{x(x-1)}{50}$
$1=\frac{x-1}{10}$
$x-1=10$
$x=10+1$
$x=11$
Jawaban: (A)
20. Suku ke $5$ dari $(x+2)^5$ adalah...
A. $100x$
B. $90x$
C. $80x$
D. $70x$
E. $60x$
Pembahasan:
$(a+b)^n=$$\sum_{k=0}^{n}(_{k}^{n})a^{n-k}b^k$ untuk mencari suku ke $5$ artinya $k=4$, maka
$=(_{4}^{5})x^{5-4}(2)^4$
$=\frac{5!}{4!.1!}(x)(16)$
$=\frac{5.4!}{4!.1}16x$
$=5.16x$
$=80x$
Jawaban: (C)
Di susun oleh:
$1$. Lidya Oktavia Eka Permatasari $(2110251004)$
$2$. Cahya Yuliana Putri $(2110251005)$
