Selamat datang di GAMACUMA, kali ini kami akan memaparkan kumpulan soal beserta pembahasan Teorema Binomial. Semoga artikel yang kami bawakan dapat bermanfaat bagi pembaca. CHEK IT OUT!
1. Seorang penjaga gawang profesional mampu menahan tendangan penalti dengan peluang $\frac35$. Dalam sebuah kesempatan dilakukan $5$ kali tendangan. Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan penalti tersebut adalah ....
A. $\frac{180}{625}$
B. $\frac{612}{625}$
C. $\frac{216}{625}$
D. $\frac{228}{625}$
E. $\frac{230}{625}$
Pembahasan:
Pada kejadian di atas kondisi "sukses" adalah keadaan dimana penjaga gawang mampu menahan tendangan, peluang sukses $p=\frac35$ maka peluang "gagal" adalah $q=1-p=1-\frac35=\frac25$.
Peluang penjaga gawang mampu menahan $3$ kali tendangan $(x=3)$ dari $5$ kali tendangan $(n=5)$ adalah:
$P(x=3,n=5)=C(5,3)\times(\frac35)^3\times(\frac25)^{5-3}$
$=\frac{5!}{2!.3!}\times(\frac35)^3\times(\frac25)^2$
$=10\times(\frac{27}{125})\times(\frac{4}{25})$
$=\frac{216}{625}$
Jawaban: (C)
2. Peluang mendapatkan satu kali jumlah angka $7$ dalam tiga kali pelemparan dua buah dadu adalah ....
A. $\frac{5}{246}$
B. $\frac{5}{36}$
C. $\frac{25}{46}$
D. $\frac{25}{72}$
E. $\frac{135}{432}$
Pembahasan:
Kemungkinan jumlah mata dadu $7$:
${(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)}$ ada $6$ kemungkinan
banyak semua kemungkinan adalah $6×6=36$
dengan demikian peluang sukses (jumlah mata dadu $7$) adalah $p=\frac{6}{36}=\frac16$
peluang gagal (jumlah mata dadu bukan $7$) adalah $q=1-p=1-\frac16=\frac56$
Peluang mendapatkan satu kali $(x=1)$ dadu jumah $7$ dari $3$ kali $(n=3)$ pelemparan adalah:
$P(x=1,n=3)=C(3,1)\times(\frac16)^1\times(\frac56)^{3-1}$
$=\frac{3!}{2!.1!}\times(\frac16)\times(\frac56)^2$
$=3\times(\frac16)\times(\frac{25}{36})$
$=\frac{25}{72}$
Jawaban: (D)
3. Probabilitas seorang bayi tidak diimunisasi rubela adalah $0,2$. Pada suatu hari di puskesmas Cempaka ada $4$ orang bayi, peluang dari bayi tersebut $3$ orang belum diimunisasi rubela adalah ....
A. $0,0128$
B. $0,0256$
C. $0,0512$
D. $0,1240$
E. $0,2480$
Pembahasan:
Peluang tidak diimunisasi adalah $p=0,2$
Peluang diimunisasi adalah $q=1-p=1-0,2=0,8$
Peluang $3$ dari $4$ bayi belum diiunisasi adalah :
$P(x=3,n=4)=C(4,3)\times(0,2)^3\times(0,8)^{4-3}$
$=\frac{4!}{1!.3!}\times(0,008)\times(0,8)$
$=0,0256$
Jawaban: (B)
4. Sebuah koin dilempar $5$ kali. Peluang mendapatkan sisi gambar tepat $3$ kali adalah ....
A. $\frac{6}{54}$
B. $\frac{10}{32}$
C. $\frac{8}{36}$
D. $\frac{5}{18}$
E. $\frac{3}{18}$
Pembahasan:
Peluang mendapat gambar pada setiap pelemparan adalah $p=\frac12$
Peluang mendapatkan angka pada setiap pelemparan adalah $q=1-p=1-\frac12=\frac12$
Peluang tepat $3$ kali dapat gambar dari $5$ kali pelemparan adalah:
$P(x=3,n=5)=C(5,3)\times(\frac12)^3\times(\frac12)^2$
$=\frac{5!}{2!.3!}\times(\frac18)\times(\frac14)$
$=10\times\frac18\times\frac14$
$=\frac{10}{32}$
Jawaban: (B)
5. Terdapat $5$ objek, yaitu meja, kursi, almari, sapu dan kemoceng. Apabila dari $5$ objek ini diabil $3$ objek, maka banyaknya cara pengambilan $3$ objek tersebut adalah...
A. $5$ cara
B. $10$ cara
C. $15$ cara
D. $20$ cara
E. $25$ cara
Pembahasan :
Pembahasan banyaknya cara pengambilan $3$ objek adalah
$(_{3}^{5})= \frac{5!}{2!.3!}$
$=\frac{1.2.3.4.5}{(2.1)(1.2.3)}$
$=\frac{120}{12}$
$=10$ cara
Jawaban: (B)
6. Dalam suatu ruangan terdapat $5$ meja bundar dan $2$ meja persegi. Apabila kita mengambil $5$ meja dari ruangan tersebut, maka banyaknya cara pengambilan ada...
A. $7$ cara
B. $9$ cara
C. $12$ cara
D. $18$ cara
E. $21$ cara
Pembahasan:
Peluang banyaknya cara pengambilan meja adalah
$(_{5}^{7})=\frac{7!}{2!.51}$
$=\frac{7.6.5!}{2!.5!}$
$=21$ cara
Jawaban: (C)
7. Tentukan nilai dari $(_{18}^{30})$...
A. $405$
B. $420$
C. $435$
D. $450$
E. $500$
Pembahasan:
$(_{18}^{30})=(_{2}^{30})$
$=\frac{30.29}{1.2}$
$=\frac{870}{2}$
$=435$
Jawaaban: (C)
8. Tentukan nilai dari $(_{7}^{10})$...
A. $50$
B. $105$
C. $120$
D. $130$
E. $145$
Pembahasan:
$(_{7}^{10})=(_{3}^{10})$
$=\frac{10.9.8}{1.2.3}$
$=\frac{720}{6}$
$=120$
Jawaban: (C)
9. Jumlah koefisien dari $(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$ dari...
A. $20$
B. $26$
C. $31$
D. $37$
E. $40$
Pembahasan:
Subtitusi $x=y=1$ pada masing-masing biominal $(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya
S=$(2x-3y)^5 + (4x-26y)^5$
$=(2(1)-3(1)^5 + (4(1)-2(1)^5$
$=(2-3)^5 + (4-2)^5$
$=(-1)^5 + (2)^5$
$=-1 + 32$
$=31$
Jawaban: (C)
10. Koefisien $x^3$ dari penjabaran adalah $(x+1)^5$ adalah...
A. $2$
B. $5$
C. $8$
D. $10$
E. $15$
Pembahasan:
$(_{3}^{5})=\frac{5.4}{1.2}$
$=\frac{20}{2}$
$=10$
Jawaban: (D)
11. Koefisien dari $x^4y^6$ dalam penjabaran $(x+y)^10$ adalah...
A. $210$
B. $250$
C. $280$
D. $300$
E. $350$
Pembahasan:
$C_{6}^{10} =\frac{10!}{4!.6!}$
$=\frac{10.9.8.7.6!}{4.3.2.1.6!}$
$=210$
Jawaban: (A)
12.Misalkan nilai $A=(x+1)^3+2(x+1)^2+4(x+1)+1$. Sederhanakan nilai $A$...
A. $(x-2)^3$
B. $(x-1)^3$
C. $(x+1)^2$
D. $(x+2)^3$
E. $(x+3)^3$
Pembahasan:
Berdasarkan Teorema Biominal, diketahui bahwa $(a+b)^3$ dijabarkan menjadi $a^3+a^2b+2a^2b+2ab^2+ab^2+b^3$
Bentuk $A$ mirip dengan penjabaran tersebut jika kita ambil $a=x+1 dan b=1$, oleh karena itu dapat kita tulis
$A=(x+1)^3 + (x+1).1^2 + 2(x+1)^2.1 + 2(x=1).12 + (x+1).1^2 + 1^3$
$=((x+1) + 1)^3$
$=(x+2)^3$
Jadi bentuk sederhana dari $A$ adalah $(x+2)^3$
Jawaban: (D)
13. Koefisien $p^2q^4r^6$ dalam ekefansi $(p+q+r)^12$ adalah...
A. $12.550$
B. $13.330$
C. $13.860$
D. $14.510$
E. $15.660$
Pembahasa:
Diberikan trinominal $(p+q+r)^{12}$ pilih $p$ dari $2$ faktor diantara $12$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_{2}^{12}$ cara.
Pilih $q$ dari $4$ faktor diantara $12-2=10$ faktor yang bisa dilakukan dalam $C_{4}^{10}$ cara.
Pilih $r$ dari $6$ faktor diantara $6$ faktor tersisa yang bisa dilakukan dalam $C_{6}^{6}$ cara.
Dengan demikian, koefisien $p^2q^4r^6$ sama dengan
$C_{2}^{12}.C_{4}^{10}.C_{6}^{6}$
$=\frac{12!}{10!.2!}.\frac{10!}{6!.4!}.\frac{6!}{0!.6!}$
$=\frac{12.11.10!}{10!.2!}.\frac{10.9.8.7.6!}{6!4.3.2.1}.1$
$=66.210.1$
$=13.860$
Jawaban: (C)
14. Nilai dari $C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$ adalah...
A. $2022$
B. $2^{2022}$
C. $3^{2022}$
D. $2^{1011}$
E. $1011$
Pembahasan:
Berdasarkan Teorema Binomial
$(a+b)^n=C_{0}^{n}a^n+C_{1}^{n}a^{n-1}b+C_{2}^{n}a^{n-2}b^2+...+C_{n}^{n}b^n$
misalkan $a=b=1$, maka kita peroleh
$(1+1)^n=C_{0}^{n}1^n+C_{1}^{n}1^{n-1}1+C_{2}^{n}1^{n-2}1^2+...+C_{n}^{n}1^n$
$2^n=C_{0}^{n}+C_{1}^{n}+C_{2}^{n}+...+C_{n}^{n}$
Sekarang untuk $n=2022$, diperoleh
$2^{2022}=C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$
Jadi nilai dari $C_{0}^{2022}+C_{1}^{2022}+C_{2}^{2022}+...+C_{2022}^{2022}$ adalah $2^{2022}$
Jawaban: (B)
15. Jika $P$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b)^7$ dan $R$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c)^3$, maka selisih $P$ dan $R$ adalah...
A. $-5$
B. $-2$
C. $0$
D. $2$
E. $5$
Pembahasan:
Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a1+a2+a3+...+au)^n$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu multinomial $(a+b)^7$ memiliki nilai $n=2$ dan $u=2$ sehingga
$P=C_{2-1}^{7+2-1}$
$=C_{1}^{8}$
$=\frac{8!}{7!.1!}$
$=\frac{8.7!}{7!.1}$
$=8$
Multinomial $(a+b+c)^3$ memiliki nilai $n=3$ dan $u=3$ sehingga
$R=C_{3-1}^{3+3-1}$
$=C_{2}^{5}$
$=\frac{5!}{3!.2!}$
$=\frac{5.4.3!}{3!.2!}$
$=10$
Dengan demikian $P-R=8-10=-2$
Jadi selisih nilai $P$ dan $R$ adalah $-2$
Jawaban: (B)
16. Jumlah koefisien dari $A=(4x+3y)^2+(2x+3y)^2$ adalah...
A. $74$
B. $80$
C. $91$
D. $100$
E. $69$
Pembahasan:
Subtitusi $x=y=1$ pada masing-masing binomial $A=(4x+3y)^2+(2x+3y)^2$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya
$A=((4x+3y)^2+(2x+3y)^2$
$=(4.1+3.1)^2+(2.1+3.1)^2$
$=(4+3)^2+(2+3)^2$
$=7^2+5^2$
$=49+25$
$=74$
Jawaban: (A)
17. Tentukan banyak suku-suku berbeda pada penjabaran $(2x+5y)^7$...
A. $2$
B. $5$
C. $7$
D. $8$
E. $12$
Pembahasan:
Diketahu multinomial $(2x+5y)^7$.
Dari sini, diketahui $n=7$ dan $r=2$ (banyak variabelnya)
Banyak suku-suku berbeda dari penjabaran binomial tersebut adalah
$S=(_{r-1}^{n+r-1})$
$=(_{2-1}^{7+2-1})$
$=(_{1}^{8})$
$=\frac{8!}{7!.1!}$
$=\frac{8.7!}{7!.1!}$
$=8$
Jawaban: (D)
18. Temukan koefisien $(a^2b^2c^2)$ dari penjabaran $(a+b+c)^6$...
A. $50$
B. $60$
C. $70$
D. $80$
E. $90$
Pembahasan:
Koefisien $(a^2b^2c^2)=(_{2,2,2}^{6}).1^2.1^2.1^2$
$=\frac{6!}{2!.2!.21}.1.1.1$
$=\frac{6.5.4.3.2!}{2!.2!.21}.1$
$=90$
Jawaban: (E)
19. Diketahui suku kedua dan ketiga dari penjabaran $(1+\frac15)^x$ nilainya sama. Nilai $x$ adalah...
A. $11$
B. $13$
C. $15$
D. $10$
E. $12$
Pembahasan:
Pada penjabaran $(1+\frac15)^x$ dengan $x>0$, diperoleh
Suku kedua $=(_{1}{x})(1)^{x-1}.(\frac15)^1$
$=x(1).(\frac15)$
$=\frac{x}{5}$
Dan
Suku ketiga $=(_{2}{x})(1)^{x-2}.(\frac15)^2$
$=\frac{x!}{(x-2)!.2!}(1).(\frac{1}{25})$
$=\frac{x(x-1)}{50}$
Karena suku kedua dan ketiga sama, maka kita dapatkan
$\frac{x}{5}=\frac{x(x-1)}{50}$
$1=\frac{x-1}{10}$
$x-1=10$
$x=10+1$
$x=11$
Jawaban: (A)
20. Suku ke $5$ dari $(x+2)^5$ adalah...
A. $100x$
B. $90x$
C. $80x$
D. $70x$
E. $60x$
Pembahasan:
$(a+b)^n=$$\sum_{k=0}^{n}(_{k}^{n})a^{n-k}b^k$ untuk mencari suku ke $5$ artinya $k=4$, maka
$=(_{4}^{5})x^{5-4}(2)^4$
$=\frac{5!}{4!.1!}(x)(16)$
$=\frac{5.4!}{4!.1}16x$
$=5.16x$
$=80x$
Jawaban: (C)
Di susun oleh:
$1$. Lidya Oktavia Eka Permatasari $(2110251004)$
$2$. Cahya Yuliana Putri $(2110251005)$
KUMPULAN SOAL BERSERTA PEMBAHASAN DARI TEOREMA BINOMIAL
Selesai