Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus atau Cosinus

1. Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus atau Cosinus
a. Perkalian Cosinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut
\(\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\)
\(cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
\(\cos (A + B) + \cos (A – B) = 2 \cos A \cos B\)
Rumus:
\(2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A – B)\)
Pelajarilah contoh soal berikut untuk lebih memahami rumus perkalian cosinus dan cosinus.
Contoh soal
Nyatakan \(2 \cos 75^\circ \cos 15^\circ\) ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya.
Penyelesaian
\(2 \cos 75^\circ \cos 15^\circ = \cos (75 + 15)^\circ + \cos (75 – 15)^\circ\)
= \(\cos 90^\circ + \cos 60^\circ\)
= \(0 + \frac{1}{2}\)
= \(\frac{1}{2}\)
b. Perkalian Sinus dan Sinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut:
\(\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\)
\(\cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
\(\cos (A + B) – \cos (A –B) = –2 \sin A \sin B\) atau
\(2 \sin A \sin B = \cos (A – B) – \cos (A + B)\)
Rumus:
\(2 \sin A \sin B = \cos (A – B) – \cos (A + B)\)
Agar lebih memahami materi ini, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Nyatakan \(2 \sin 67 \frac{1}{2}^\circ\) ke dalam bentuk jumlah atau selisih, kemudian tentukan hasilnya.
Penyelesaian
\(2 \sin 67 \frac{1}{2}^\circ \sin 22 \frac{1}{2}^\circ\) = \(\cos (67\frac{1}{2})^\circ - \cos (67 \frac{1}{2}+ 22 \frac{1}{2}\circ\)
=\(\cos 45^\circ - \cos 90^\circ\)
=\(\frac{1}{2}\sqrt{2}-0\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
c. Perkalian Sinus dan Cosinus
Dari rumus jumlah dan selisih dua sudut, dapat diperoleh rumus sebagai berikut.
\(\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
\(\sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\)
\(\sin (A + B) + \sin (A – B) = 2 \sin A \cos B\) atau
\(2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A – B)\)
Dengan cara yang sama didapat rumus:
\(2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A – B)\)
\(2 \cos A \sin B = \sin (A + B) – \sin (A – B)\)
Untuk lebih memahami rumus perkalian sinus dan cosinus, palajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Nyatakan soal-soal di bawah ini ke dalam bentuk jumlah atau selisih sinus, kemudian tentukan hasilnya.
1. \(\sin 105^\circ \cos 15^\circ\)
2. \(\sin 127 \frac{1}{2}^\circ \sin 97 \frac{1}{2}^\circ\)
Penyelesaian
1. \(\sin 105^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \left\{\sin (105 + 15)^\circ + \sin (105 – 15)^\circ\right\}\)
= \(\frac{1}{2}(\sin 120^\circ + \sin 90^\circ\)
= \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sqrt{3}+1)\)
= \(\frac{1}{4}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\)
2. \(\sin 127\frac{1}{2}^\circ \sin 97 \frac{1}{2}^\circ\) = \(\frac{1}{2}(2 \sin 127 \frac{1}{2}^\circ \sin 97 \frac{1}{2}^\circ\)
= \(\frac{1}{2} \left\{\cos (127\frac{1}{2}^\circ - 97\frac{1}{2}^\circ)- \cos (127\frac{1}{2}^\circ+97\frac{1}{2}^\circ\right\}\)
= \(\frac{1}{2}(\cos 30^\circ - \cos 225^\circ)\)
= \(\frac{1}{2}(\cos 30^\circ + \cos 45^\circ)\)
= \(\frac{1}{2}(\frac{1}{2}\sqrt{3}+\frac{1}{2}\sqrt{2})\)
= \(\frac{1}{4}(\sqrt{3}+\sqrt{2})\)

Perkalian Sinus dan Cosinus dalam Jumlah atau Selisih Sinus atau Cosinus 2020-01-16T11:35:00+07:00 Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Admin