2. Penggunaan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
dalam Pemecahan Masalah
Untuk menentukan sudut-sudut selain \(30^\circ\), \(45^\circ\), \(60^\circ\) dan sebagainya (sudut istimewa) dapat digunakan tabel logaritma maupun kalkulator. Akan tetapi dapat juga digunakan rumus jumlah dan selisih dua sudut istimewa.
a. Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam
cosinus yaitu sebagai berikut.
\(2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A – B)\)
Misalkan:
\(A + B = \alpha\)
\(A - B = \beta\)
\(2A = \alpha + \beta\)
\(A = \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\)
\(A + B = \alpha\)
\(A - B = \beta\)
\(2B = \alpha - \beta\)
\(B = \frac{1}{2}(\alpha - \beta)\)
Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan.
\(2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A – B)\)
\(2 \cos \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \cos \frac{1}{2}(\alpha - \beta = \cos \alpha + \cos \beta\)
atau
\(\cos \alpha + \cos \beta = 2 \cos \frac{1}{2}(\alpha + \beta+ \cos \frac{1}{2}(\alpha - \beta)\)
Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Sederhanakan: \(\cos 100^\circ + \cos 20^\circ\).
Penyelesaian
\(\cos 100^\circ + \cos 20^\circ = 2 cos \frac{1}{2} (100+20)^\circ \cos \frac{1}{2}(100-20)^\circ\)
= \(2 \cos 60^\circ \cos 40^\circ\)
= \(2 \frac{1}{2} \cos 40^\circ\)
= \(\cos 40^\circ\)
b. Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus \(2 \sin A \sin B = \cos (A – B) – \cos (A + B)\), dengan memisalkan
\(A + B = \\alpha\) dan \(A – B = \beta\), terdapat rumus:
\(\cos \alpha – \cos \beta = –2 \sin \frac{1}{2} (\alpha + \beta) \sin \frac{1}{2} (\alpha - \beta)\)
Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Sederhanakan \(\cos 35^\circ - cos 25^\circ\)
Penyelesaian
\(\cos 35^\circ - \cos 25^\circ = -2 \sin \frac{1}{2}(35+25)^\circ sin \frac{1}{2}(35-25)^\circ\)
= \(-2 \sin 30^\circ \sin 5^\circ\)
= \(-2 \frac{1}{2} \sin 5^\circ\)
= \(- \sin 5^\circ\)
c. Rumus Penjumlahan dan Pengurusan Sinus
Dari rumus \(2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A – B)\), dengan memisalkan \(A + B = \alpha\) dan \(A – B = \beta\), maka didapat rumus:
\(\sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \cos \frac{1}{2}(\alpha - \beta)\) dan
\(\sin \alpha - \sin \beta = 2 \cos \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \sin \frac{1}{2}(\alpha - \beta)\)
Agar lebih memahami tentang penjumlahan dan pengurangan sinus, pelajarilah penggunaannya dalam contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Sederhanakan \(\sin 315^\circ - \sin 15^\circ\)
Penyelesaian
\(\sin 315^\circ - \sin 15^\circ\) = \(2 \cdot \cos \frac{1}{2}(315+15)^\circ \cdot \sin \frac{1}{2}(315-15)^\circ\)
= \(2 \cdot \cos 165^\circ \cdot sin 150^\circ\)
= \(2 \cdot \cos 165 \cdot \frac{1}{2}\)
= \(\cos 165^\circ\)
2. Sederhanakan \(\sin 45^\circ + \sin 75^\circ\)
Penyelesaian
\(\sin 45^\circ + \sin 75^\circ\) = \(2 \cdot \sin \frac{1}{2}(45+75)^\circ \cdot \cos \frac{1}{2}(45-75)^\circ\)
= \(2 \cdot \sin 60^\circ \cdot \cos (-15)^\circ\)
= \(2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{3} \cdot 15^\circ\)
= \(\sqrt{3} \cos 15^\circ\)
d. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Tangen
\(\tan \alpha + \tan \beta\) = \(\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} + \frac{\sin \beta}{\cos \beta}\) = \(\frac{\sin \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}\)
= \(\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}\)
= \(\frac{\sin (\alpha + \beta)}{\cos \alpha \cos \beta}\)
= \(\frac{2 \sin (\alpha + \beta)}{2 \cos \alpha \cos \beta}\) = \(\frac{2 \sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)}\)
Dengan cara yang sama didapat rumus:
\(\tan \alpha + \tan \beta\) = \(\frac{2 \sin (\alpha + \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)}\)
\(\tan \alpha - \tan \beta\) = \(\frac{2 \sin (\alpha - \beta)}{\cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta)}\)
Perhatikan penggunaan rumus penjumlahan pada contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Tentukan \(\tan 52,5^\circ - \tan 7,5^\circ\)
Penyelesaian
\(\tan 52,5^\circ - \tan 7,5^\circ\) = \(\frac{2 \sin (52,5^\circ - 7,5^\circ)}{\cos (52,5^\circ + 7,5^\circ) + \cos (52,5^\circ - 7,5^\circ)}\)
= \(\frac{2 \sin 45}{\cos 60^\circ + \cos 45^\circ}\) = \(\frac{2 \cdot \frac{1}{2} \sqrt{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{2}}{(\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}} \cdot \frac{\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2}}{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2})}{\frac{1}{4}-\frac{1}{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{2}(\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\sqrt{2})}{-\frac{1}{4}}\)
= \(-2 \sqrt{2} + 4\) = \(4 -2\sqrt{2}\)
2. 1. Tentukan \(\tan 165^\circ + \tan 75^\circ\)
Penyelesaian
\(\tan 165^\circ + \tan 75^\circ\) = \(\frac{2 \sin (165 + 75)^\circ}{\cos (165 + 75)^\circ) + \cos (165 - 75)^\circ}\)
= \(\frac{2 \sin 450^\circ}{cos 240^\circ + \cos 90^\circ}\)
= \(\frac{2 \cdot -\frac{1}{2}\sqrt{3}}{-\frac{1}{2}}\) = \(2\sqrt{3}\)
Penggunaan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Selesai