4. Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
a. Menggunakan Rumus Sinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus \(\sin (A + B)\), untuk \( A = B\) maka diperoleh:
\(\sin 2A\) = \(\sin (A + B)\)
= \(\sin A \cos A + \cos A \sin A\)
= \(2 \sin A \cos A\)
Rumus:
\(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui \(\sin A = -\frac{5}{13}\), dimana \(A\) di kuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah \(\sin 2A\).
Penyelesaian
\(r^2 = x^2 + y^2 \Rightarrow x^2 = r^2 - y^2\)
= \(13^2 - (-5)^2\)
= \(168-25\)
\(x^2\) = 144
\(x = 12\), karena di kuadran III
\(\cos A = \frac{-x}{r}\)
\(\cos A = -\frac{12}{13}\)
\(\sin 2A = 2\sin A \cos A = 2(-\frac{5}{13}) (-\frac{12}{13}) = \frac{120}{169}\)
b. Rumus Cosinus Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus \(\cos (A + B)\) untuk \(A = B\) maka diperoleh:
\(\cos 2A = \cos (A + A\)
= \(\cos A \cos A - \sin A \sin A\)
= \(\cos^2 A - \sin^2 A\) .................... (1)
atau
\(\cos 2A = \cos^2 A - \sin^2 A\)
= \(\cos^2 A - (1 - \cos^2 A)\)
= \(\cos^2 A - 1 + cos^2 A\)
= \(2 \cos^2 A -1\) .................... (2)
atau
\(\cos 2A = cos^2 A - \sin^2 A\)
= \(1 - \sin^2 A) - \sin^2 A\)
= \( 1 -2 \sin^2 A\) .................... (3)
Dari persamaan (1), (2) dan (3) didapat rumus sebagai berikut:
\(\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A\)
\(\cos 2A = 2 \cos^2 A – 1\)
\(\cos 2A = 1 – 2 \sin^2 A\)
Pelajarilah contoh soal berikut untuk memahami rumus cosinus sudut ganda.
Contoh soal
Diketahui \(\cos A = -\frac{24}{25}\) , di mana A dikuadran III. Dengan menggunakan rumus sudut ganda, hitunglah nilai \(\cos 2A\).
Penyelesaian
\(\cos 2A = 2 \cos^2 A – 1\)
= \(2(-\frac{24}{25})^2 - 1\)
= \(2 \cdot \frac{276}{625} -1\) = \(\frac{1152}{625} - 1\) = \(\frac{527}{625}\)
c. Rumus Tangen Sudut Ganda
Dengan menggunakan rumus \(\tan (A + B)\), untuk \(A = B\) diperoleh:
\(\tan 2A = \tan (A + A)\)
= \(\frac{\tan A + \tan A}{1 - \tan A \cdot tan A}\) = \(\frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)
Rumus:
\(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal.
jika \(\alpha\) sudut lancip dan \(\cos \alpha = \frac{4}{5}\), hitunglah \(\tan 2\alpha\).
Penyelesaian
\(BC^2 = AC^2 - AB^2\)
= \(5^2 - 4^2\)
= \(25 -16 = 9\)
\(BC = \sqrt{9} = 3\)
\(\tan \alpha = \frac{BC}{AB} = \frac{3}{4}\)
\(\tan 2\alpha\) = \(\frac{2 \tan\alpha}{1- \tan^2 \alpha}\) = \(\frac{2 \cdot \frac{3}{4}}{1 - (\frac{3}{4})^2}\) = \(\frac{\frac{3}{2}}{1 - \frac{9}{16}}\)
= \(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{16}{16}-\frac{9}{16}}\) = \(\frac{\frac{3}{2}}{\frac{7}{16}}\) = \(\frac{3}{2} x \frac{16}{7}\) = \(\frac{24}{7}\)
d. Rumus Sudut Ganda untuk \(\sin \frac{1}{2} A\), \(\cos \frac{1}{2} A\), dan \(\tan \frac{1}{2} A\)
Berdasarkan rumus \(\cos 2A = 1 – 2 \sin^2 A\) dan \(\cos 2A = 2 \cos^2 A – 1\), maka dapat digunakan menentukan rumus sudut ganda untuk \(\sin \frac{1}{2} A\), \(\cos \frac{1}{2} A\), dan \(\tan \frac{1}{2} A\).
Misal \(2A = \alpha \Rightarrow A =\frac{1}{2}\alpha\), sehingga:
\(\cos 2A = 1 - 2\sin^2 A\)
\(cos \alpha = 1 - 2 \sin^2 \frac{1}{2}\alpha\)
\(2 \sin^2 \frac{1}{2}\alpha = 1 - \cos \alpha\)
\(\sin^2 \frac{1}{2}\alpha = \frac{1 - \cos \alpha}{2}\)
\(\sin \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}\)
Begitu pula untuk \(\cos \frac{1}{2}\alpha\)
\(\cos 2A = 2 \cos^2 A -1\)
\(\cos \alpha = 2 \cos^2 \frac{1}{2}\alpha -1\)
\(2 \cos^2 \frac{1}{2}\alpha = \cos \alpha + 1\)
\(\cos^2 \frac{1}{2}\alpha = \frac{\cos \alpha + 1}{2}\)
\(\cos \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{\cos \alpha + 1}{2}}\)
Dengan cara yang sama didapat:
\(\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}\) jika \(\cos \alpha \neq -1\) atau \(\tan \frac{1}{2} \alpha = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\) jika \(\sin \alpha \neq 0\).
Rumus:
\(\sin \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{1- \cos \alpha}{2}}\)
\(\cos \frac{1}{2}\alpha = \sqrt{\frac{\cos \alpha + 1}{2}}\)
\(\tan \frac{1}{2}\alpha = \frac{\sin \alpha}{1 + \cos \alpha}\) jika \(\cos \alpha \neq -1\)
\(\tan \frac{1}{2} \alpha = \frac{1 - \cos \alpha}{\sin \alpha}\) jika \(\sin \alpha \neq 0\).
Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
Hitunglah nilai dari:
1. \(\sin 15^\circ\)
2. \(\cos 67,5^\circ\)
3. \(\tan 22,5^\circ\)
Penyelesaian
1. \(\sin 15^\circ = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2}} = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}} = \sqrt{\frac{2- \sqrt{3}}{4}}\)
= \(\frac{1}{2}\sqrt{2-\sqrt{3}}\)
2. \(\cos 67,5\circ = \sqrt{\frac{cos 135^\circ + 1}{2}}\)
= \(\sqrt{\frac{-\cos 45^\circ + 1}{2}}\) = \(\sqrt{\frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}+1}{2}}\)
= \(\sqrt{\frac{-\sqrt{2}+2}{4}}\) = \(\frac{1}{2}\sqrt{2- \sqrt{2}}\)
3. \(\tan 22,5^\circ = \frac{\sin 45^\circ}{1 + \cos 45^\circ} = \frac{\frac{1}{2}\sqrt{2}}{1+ \frac{1}{2}\sqrt{2}} = \frac{\frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{2}{2 + \sqrt{2}}\)
= \(\frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}} .cdot \frac{2 - \sqrt{2}}{2 - \sqrt{2}}\)
= \(\frac{2\sqrt{2}-2}{4-2} = \frac{2(\sqrt{2}-1)}{2} = \sqrt{2}-1\)
\(\textbf{Penurunan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus}\)
Penggunaan Rumus Sinus, Cosinus, dan Tangen Sudut Ganda
Selesai