Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

3. Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Kamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri dengan menggunakan sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut.
Contoh soal
1. Diketahui \(tan A = \frac{12}{5}\) dan \(\sin B = \frac{4}{5}\), \(A\) dan \(B\) sudut lancip. Buktikan nilai \(\cos (A + B) = -\frac{33}{65}\)
Bukti
Jika \(\tan \alpha = \frac{12}{5}\), maka \(\sin A = \frac{12}{13}\) dan \(\cos A = \frac{5}{13}\). Jika \(\sin B = \frac{4}{5}\), maka \(\cos B = \frac{3}{5}\)
Penyelesaian ruas kiri:
\(\cos (A + B)\) = \(\cos A \cdot \cos B - \sin A \sin B\)
= \(\frac{5}{13} \cdot \frac{3}{5} - \frac{12}{13} \cdot \frac{4}{5}\)
= \(\frac{15}{65} - \frac{48}{65}\)
= \(-\frac{33}{65}\) (terbukti)
2. Jika \(2 \cos (x + \frac{\pi}{2}) = \cos (x - \frac{\pi}{2}\), maka buktikan \(\sin x = 0\)
Bukti
\(2 \cos (x + \frac{\pi}{2}) = \cos (x - \frac{\pi}{2}\)
\(2 \left\{\cos x \cos \frac{\pi}{2} - \sin x \sin \frac{\pi}{2}\right\}\) = \(\cos x \cos \frac{\pi}{2} + \sin x \sin \frac{\pi}{2}\)
\(2 \cos x \cos \frac{\pi}{2} - 2 \sin x \sin \frac{\pi}{2}\) = \(\cos x \cos \frac{\pi}{2} + \sin x \sin \frac{\pi}{2}\)
\(2 \cos x \cdot 0 - 2 \sin x \cdot 1\) = \(\cos x \cdot 0 + \sin x \cdot 1\)
\(0 -2 \sin x\) = \(0 + \sin x\)
\(-2 \sin x - \sin x\) = 0
\(-3 \sin x\) = 0
\(\sin x\) = 0 (terbukti)
4. Membuktikan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih dari Sinus dan Cosinus Dua Sudut
Kamu dapat membuktikan persamaan suatu trigonometri memakai jumlah dan selisih dari sinus dan cosinus dua sudut. Perhatikan contoh soal berikut inni.
Contoh soal
1. Buktikan \(\cos 75^\circ - \cos 15^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
Bukti
\(\cos 75^\circ - \cos 15^\circ\) = \(-2 \sin \frac{1}{2} (75^\circ+ 15^\circ) \sin \frac{1}{2}(75^\circ-15^\circ)\)
= \(-2 \sin \frac{1}{2} 90^\circ \sin \frac{1}{2} 60^\circ\)
= \(-2 \sin 45^\circ \cdot \sin 30^\circ\)
= \(-2 \frac{1}{2}\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2}\)
= \(-\frac{1}{2}\sqrt{2}\) (terbukti)
2. Buktikan \(\sin (\frac{\pi}{6} + A) + \sin (\frac{\pi}{6} - A) = \cos A\)
Bukti
Penyelesaian ruas kiri:
\(\sin (\frac{\pi}{6} + A) + \sin (\frac{\pi}{6} - A) = \cos A\) = \(2 \sin \frac{1}{2} \left\{(\frac{\pi}{6} + A) + (\frac{\pi}{6} - A)\right\} \cos \frac{1}{2} \left\{(\frac{\pi}{6} + A) + (\frac{\pi}{6} - A)\right\}\)
= \(2 \sin \frac{1}{2}(2 \frac{\pi}{6}) \cdot \cos \frac{1}{2}(2A)\)
= \(2 \sin (\frac{\pi}{6}) \cdot \cos A\)
= \(2 \cdot \frac{1}{2} \cos A\)
= \(\cos A\)
(terbukti ruas kiri = ruas kanan)

Membuktikan Rumus Trigonometri dari Sinus dan Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut 2020-01-16T11:37:00+07:00 Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Admin