1. Rumus Cosinus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Sebelum membahas rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut, perlu kamu ingat kembali pelajaran di kelas X. Dalam segitiga ABC dan siku-siku di sudut B berlaku:
\(\sin\alpha\) = \(\frac{sisi \:di \:depan \:sudut \:A}{sisi \:miring}\)=\(\frac{BC}{AC}\)
\(\cos\alpha\) = \(\frac{sisi \:di \:dekat \:sudut \:A}{sisi \:miring}\)=\(\frac{AB}{AC}\)
\(\tan\alpha\) = \(\frac{sisi \:di \:depan \:sudut \:A}{sisi \:di \:dekat \:sudut \:A}\)=\(\frac{BC}{AB}\)
Selanjutnya, perhatikanlah gambar di samping. Dari lingkaran yang berpusat di \(O(0,0)\) dan berjari-jari 1 satuan misalnya,
\(\angle AOB\)=\(\angle A\)
\(\angle BOC\)=\(\angle B\)
maka
\(\angle AOC\)=\(\angle A + \angle B\)
Dengan mengingat kembali tentang koordinat Cartesius, maka:
a. Koordinat titik \(A(1,0)\)
b. Koordinat titik \(B(\cos A, \sin A)\)
c. Koordinat titk C \(\left\{\cos (a+B), \sin (A=B)\right\}\)
d. Koordinat titik D \(\left\{\cos (-B), \sin (-B)\right\}\) atau \((\cos B, -\sin B)\)
\(AC=BD\) maka \(AC^2=DB^2\)
\(\left\{\cos (A + B) – 1\right\}^2 + \left\{\sin (A + B) – 0\right\}^2\) = \(\left\{\cos B – \cos A\right\}^2 + \left\{–\sin B – sin A\right\}^2\)
\(\cos^2 (A + B) – 2 \cos (A + B) + 1 + \sin^2 (A + B)\) = \(\cos^2 B – 2 \cos B \cos A + \cos^2 A + \sin^2 B + 2 \sin B \sin A + \sin^2 A\)
\(2 – 2 \cos (A + B)\) = \(2 – 2 \cos A \cos B + 2 \sin A \sin B\)
\(2 \cos (A + B)\) = \(2 (\cos A \cos B – \sin A \sin B)\)
\(\cos (A + B)\) = \(\cos A \cos B – \sin A \sin B\)
Rumus cosinys jumlah dua sudut:
\(\cos (A + B)\) = \(\cos A \cos B - \sin A \sin B\)\
Dengan cara yang sama, maka:
\(\cos (A – B)\) = \(\cos (A + (–B)\)
\(\cos (A – B)\) = \(\cos A \cos (–B) – \sin A \sin (–B)\)
\(\cos (A – B)\) = \(\cos A \cos B + \sin A \sin B\)
Rumus cosinus selisih dua sudut:
\(\cos (A - B)\) = \(\cos A \cos B + \sin A \sin B\)
Untuk memahami penggunaan rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut, pelajarilah contoh soal berikut.
Contoh soal
Diketahui \(\cos A = \frac{5}{13}\) dan \(\sin B = \frac{24}{25}\), sudut \(A\) dan \(B\) lancip. Hitunglah \(\cos (A + B)\) dan \(\cos (A - B)\).
Penyelesaian
\(\cos A = \frac{5}{13}\), maka \(\sin A = \frac{12}{13}\)
\(\sin B = \frac{24}{25}\), maka \(\cos B = \frac{7}{25}\)
\(\cos (A + B) = \cos A \cdot \cos B - \sin A \cdot \sin B\)
= \(\frac{5}{13} \cdot \frac{7}{25} - \frac{12}{13} \frac{24}{25}\)
= \(\frac{35}{325} - \frac{288}{325}\) = \(\frac{323}{325}\)
Penggunaan Rumus Trigonometri Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Selesai