C. Menggunakan Rumus Jumlah dan Selisih Sinus dan Cosinus
1. Merancang dan Membuktikan Identitas Trigonometri
Identitas adalah suatu persamaan yang selalu benar untuk konstanta yang manapun juga. Cara membuktikan identitas trigonometri dapat menggunakan:
a. rumus sinus dan cosinus jumlah dan selisih dua sudut,
b. rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus,
c. rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut dalam pemecahan masalah.
Contoh soal
1. Buktikan: \(\frac{1 - \cos 2A}{1 - \cos^2 A} = 2\)
Bukti
Penyelesaian ruas kiri:
\(\frac{1 - \cos 2A}{1 - \cos^2 A}\) = \(\frac{1-(1-2 \sin^2 A}{\sin^2 A}\)
= \(\frac{1-1+ 2\sin^2 A}{\sin^2 A}\)
= \(\frac{2 sin^2 A}{\sin^2 A}\)
= \(2\)
Terbukti ruas kiri = ruas kanan
2. Buktikan: \(\frac{\cos 3A - \cos 5A}{\sin 3A + \sin 5A} = \tan A\)
Bukti
Penyelesaian ruas kiri:
\(\frac{\cos 3A - \cos 5A}{\sin 3A + \sin 5A}\) = \(\frac{-2 \sin \frac{1}{2} \cdot (3A + 5A) \sin (\frac{1}{2} \cdot (3A - 5A))}{2 \sin (\frac{1}{2} \cdot (3A + 5A) \sin (\frac{1}{2} \cdot (3A - 5A))}\)
= \(\frac{-2 sin 4A \cdot \sin (-A)}{2 \sin 4A \cdot cos (-A)}\)
= \(\frac{-\sin 4A \cdot (-\sin A)}{\sin 4A \cdot cos (A)}\)
= \(\frac{\sin 4A \cdot \sin A}{\sin 4A \cdot \cos A}\)
= \(\frac{\sin A}{\cos B} = \tan A\)
Terbukti ruas kiri = ruas kanan
2. Menyelesaikan Masalah yang Melibatkan Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut
Perhatikan contoh soal berikut ini.
Contoh soal
Diketahui \(\sin A = - \frac{3}{5}\) dan \(A\) terletak dikuadran IV. Tentukan nilai:
1. \(\sin 2A\)
2. \(\cos 2A\)
3. \(\tan 2A\)
Penyelesaian:
Karena di kuadran IV, maka
\(\sin A = - \frac{3}{5}\)
\(\cos A = \frac{4}{5}\)
\(\tan A = - \frac{3}{4}\)
1. \(\sin 2A\) = \(2 \sin A \cos A\)
= \(2 (-frac{3}{4})(\frac{4}{5})\)
= \(-\frac{24}{25}\)
2. \(\cos 2A\) = \(1 -2 \sin^2 A\)
= \(1 -2 (-\frac{3}{5})^2\)
= \(1 -2 \frac{9}{25}\)
= \(1 - \frac{18}{25} = \frac{7}{25}\)
3. \(\tan 2A\) = \(\frac{\sin 2A}{\cos 2A}\) = \(\frac{-\frac{24}{25}}{\frac{7}{25}}\)
= \(-\frac{24}{25} \cdot \frac{25}{7}\) = \(-\frac{24}{7}\)
Rangkuman
1. Rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut:
a. \(\cos (A + B) = \cos A \cos B – \sin A \sin B\)
b. \(\cos (A – B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B\)
c. \(\sin (A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B\)
d. \(\sin (A – B) = \sin A \cos B – \cos A \sin B\)
e. \(\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}\)
f. \(\tan (A - B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 + \tan A \tan B}\)
2. Rumus-rumus trigonometri untuk sudut ganda.
a. \(\sin 2A = 2 \sin A \cos A\)
b. \(\cos 2A = \cos^2 A – \sin^2 A = 2 \cos^2 A – 1 = 1 – 2 \sin^2 A\)
c. \(\tan 2A = \frac{2 \tan A}{1 - \tan^2 A}\)
d. \(\sin \frac{1}{2}A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2}}\)
e. \(\cos \frac{1}{2}A = \sqrt{\frac{\cos A + 1}{2}}\)
f. \(\tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin A}{1 + \cos A}\)
g. \(\tan \frac{1}{2}A = \frac{1 - \cos A}{\sin A}\)
3. Rumus-rumus perkalian sinus dan cosinus dalam jumlah atau selisih sinus atau cosinus.
a. \(2 \cos A \cos B = \cos (A + B) + \cos (A – B)\)
b. \(2 \sin A \sin B = \cos (A – B) – \cos (A + B)\)
c. \(2 \sin A \cos B = \sin (A + B) + \sin (A – B)\)
d. \(2 \cos A \sin B = \sin (A + B) – \sin (A – B)\)
4. Rumus-rumus penjumlahan dan pengurangan untuk sinus, cosinus dan tangen
a. \(\cos A + \cos B = 2 \cos \frac{1}{2} (A + B) \cos \frac{1}{2} (A - B)\)
b. \(\cos A - \cos B = -2 \sin \frac{1}{2} (A + B) \sin \frac{1}{2} (A - B)\)
c. \(\sin A + \sin B = 2 \sin \frac{1}{2} (A + B) \cos (A - B)\)
d. \(\sin A - \sin B = 2 \cos \frac{1}{2} (A + B) \sin (A - B)\)
e. \(\tan A + \tan B = \frac{2 \sin (A + B)}{\cos (A + B) + \cos (A -B)}\)
f. \(\tan A - \tan B = \frac{2 \sin (A - B)}{\cos (A + B) + \cos (A -B)}\)
