Haii adik-adik...
Selamat datang di halaman contoh soal dan pembahasan "Gometri Analitik. Di halaman ini akan membahas tentang contoh soal dan pembahasan lengkap mengenai Geometri Anaitik. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat penjelasan, contoh soal dan pembahasan dibawah ini !
Koordinat Titik Letak pada Garis Penghubung Dua Titik yang Diketahui
bila m dan n beda
\(\frac{AC}{AD}\)= \(\frac{BC}{PD}\)=\(\frac{AC}{AD}\)
Untuk\(\frac{AC}{AD}\)= \(\frac{AB}{AP}\)
\(\frac{A_1B_1}{A_1P_1}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{OB_1 – OA_1}{OP_1 – OA_1}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{x_B – x_A}{x_P – x_A} = \frac{m + n}{m}\)
\(m(x_B - x_A) = (m + n) (x_P – x_A)\)
\(mx_B – mx_A = (m + n) x_P - (m + n) x_A \)
\(mx_B – mx_A + (m + n) x_A = (m + n) x_P \)
\(mx_B – mx_A + mx_A + nx_A = (m + n) x_P \)
\(\frac{mx_B + nx_A}{m + n} = x_P \)
Untuk \(\frac{A_1G}{A_1H}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{A_3B_3}{A_3P_3}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{OB_3 – OA_3}{OP_3 – OA_3}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{y_B – y_A}{y_P – y_A} = \frac{m + n}{m}\)
\(m(y_B - y_A) = (m + n) (y_P – y_A) \)
\(my_B – my_A = (m + n) y_P - (m + n) y_A \)
\(my_B – my_A + (m + n) y_A = (m + n) y_P \)
\(my_B – my_A + my_A + ny_A = (m + n) y_P\)
\(\frac{my_B + ny_A}{m + n} = y_P\)
Untuk \(\frac{BC}{PD}\)= \(\frac{AB}{AP}\)
\(\frac{BB _1 - CB_1}{PP_1 - DP_1}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{BB_1 – AA_1}{PP_1 – AA_1}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{z_B – z_A}{z_P – z_A} = \frac{m + n}{m}\)
\(m(z_B - z_A) = (m + n) (z_P – z_A) \)
\(mz_B – mz_A = (m + n) z_P - (m + n) z_A \)
\(mz_B – mz_A + (m + n) z_A = (m + n) z_P \)
\(mz_B – mz_A + mz_A + nz_A = (m + n) z_P \)
\(\frac{mz_B + nz_A}{m + n} = z_P \)
Jadi, koordinat titik P adalah :
P=\(\frac{mx_B + nx_A}{m + n} = x_P,\frac{my_B + ny_A}{m + n} = y_P,\frac{mz_B + nz_A}{m + n} = z_P\)
bila m dan n sama
Jika titik P terletak pada pertengahan (AB) ̅, maka PA : PB = m : m karena m = n
Jadi,
\(x_P=\frac{x_B+x_A}{2},y_p=\frac{y_B+y_A}{2},z_P=\frac{z_B+z_A}{2}\)
\(x_P = {\frac{x_B + x_A}{2}} , y_P = {\frac{y_B + y_A}{2}} , z_P = {\frac{z_B + z_A}{2}}\)
Maka, koordinat titik P adalah :
\(P=\frac{x_B + x_A}{2} ,\frac{y_B + y_A}{2} , \frac{z_B + z_A}{2}\)
(Susanah: 2010)
Jarak Antara 2 Titik Pada Bidang
Misalkan Amir berada pada perpotongan Gang Kedua dan Jalan Ketiga dan kakaknya, Budi, berada pada perpotongan Gang Ketujuh dan Jalan Kedelapan. Jika Budi ingin berjalan menyusuri gang dan jalan untuk menuju tempat adiknya, Amir, maka rute terpendek yang harus ditempuhnya adalah 10 blok. Mencari jarak horizontal ataupun vertikal pada gambar berikut ini merupakan hal yang mudah, kita cukup menghitung blok-bloknya.
Andaikan Budi dapat terbang lurus ke tempat Amir berada, maka kita akan membutuhkan Teorema Pythagoras untuk menghitung jaraknya. Berapakah jarak terpendek dari Amir ke Budi, apabila masing-masing blok panjangnya sekitar 50 m?.
Grid dari gambar jalan dan gang di atas mirip dengan bidang koordinat. Koordinat grid di atas terbentuk dari dua himpunan garis-garis yang sejajar, anggota satu himpunan saling tegak lurus dengan anggota himpunan yang lain. Sehingga, semua ruas garis pada bidang (ruas garis yang bukan vertikal maupun horizontal) merupakan sisi miring dari suatu segitiga siku-siku. Sehingga kita dapat menggunakan Teorema Pythagoras untuk mencari jarak antara dua titik pada bidang koordinat.
Contoh soal:
Salinlah gambar di bawah ini pada kertas gambar. Jadikan ruas garis PQ berikut menjadi sisi miring dari suatu segitiga siku-siku dengan menggunakan bantuan garis-garis grid. Kemudian hitunglah jarak antara titik P dan titik Q.
Agar lebih mudah dalam menjawab soal tersebut, lakukan langkah-langkah berikut ini:
Langkah 1. Gambarlah pada bidang koordinat suatu segitiga yang memiliki sisi miring PQ. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar berikut.
Langkah 2. Carilah panjang ruas garis PR dan QR. Dari gambar di atas, dapat dilihat bahwa panjang PR adalah 5 dan panjang QR adalah 3.
Langkah 3. Dengan menggunakan Teorema Pythagoras, hitunglah panjang PQ.
\(PQ^2 = PR^2 + QR^2\), sehingga
\(PQ^2 = 5^2 + 3^2 = 34\)
diperoleh PQ = \(\sqrt{34}\)
Pada contoh soal di atas kita dapat menentukan jarak antara dua titik dengan menghubungkannya dengan segitiga siku-siku pada bidang gambar, kemudian mengaplikasikan Teorema Pythagoras. Bagaimana jika kedua titiknya memiliki jarak yang jauh sehingga tidak dapat termuat pada bidang gambar? Sebagai contoh, jarak antara titik-titik (22, 2) dan (15, 88). Jelas, bahwa koordinatnya terlalu besar untuk diplot pada kertas gambar biasa. Sehingga dibutuhkan suatu rumus yang dapat digunakan untuk menghitung jarak antara dua titik jika diketahui koordinatnya. Bagaimana cara menemukan rumus tersebut?
Untuk menentukan jarak antara titik-titik A dan B pada gambar di bawah, kita dapat dengan mudah menghitung persegi pada sisi AC dan persegi pada sisi BC, kemudian menggunakan Teorema Pythagoras untuk menentukan panjang AB.
Akan tetapi apabila jaraknya terlalu besar untuk dihitung dengan menggunakan grafik, masih ada cara lain yang lebih mudah untuk menemukan jarak tersebut. Kita dapat menentukan panjang bagian vertikal BC dengan mencari selisih koordinat-y dari titik-titik A dan B. Karena panjang tidak pernah negatif, kurangkan koordinat yang lebih besar dengan yang lebih kecil. BC = 5 – 1 = 4. Kita juga dapat menentukan panjang horizontal AC dengan menentukan selisih dari koordinat-x titik-titik A dan B. AC = 8 – 1 = 7. Sekarang kita dapat menentukan panjang dari ruas garis AB:
\(AB^2 = {5 – 1}^2 + {8 – 1}^2\)
\(AB = \sqrt{4^2 + 7^2}\)
=\(\sqrt{65}\)
Cara di atas dapat digeneralisasi untuk menentukan jarak antara dua titik, jika diketahui koordinat-koordinatnya sebagai berikut:
“Jika koordinat dari titik-titik A dan B secara berturut-turut adalah \(x_1,y_1\) dan \(x_2,y_2\) maka \(AB^2 = {x_1 – x_2}^2 + {y_1 – y_2}^2\) dan
\(AB = \sqrt{x_1 – x_2}^2 + {y_1 – y_2}^2\) (Rumus Jarak)”
Sumber : (Yosep : 2012)
Koordinat Polar
Rumus untuk menentukan Koordinat Kutub P(r, θ) jika diketahui koordinat kartesiusnya P(x, y)
\(r^2 = x^2 + y^2\)
Berasal dari teori Phytagoras (Gambar Lingkaran)
\(\tan\) \( θ = \frac{y}{x}\)
Berasal dari rumus Trigonometri
Rumus untuk menentukan Koordinat Kartesius P(x, y)jika diketahui Koordinat Kutubnya P(r, θ)
x = r.Cos θ
y = r.Sin θ
Penjabaran dari rumus Trigonometri
Contoh 1 :
Jika diketahui koordinat kartesius titik P(5, -5) maka koordinat kutubnya adalah . . .
Penyelesaian :
\(x = 5\) dan \(y = -5\) (Dicari titiknya dan berada di Kuadran IV (270º – 360º))
\(r^2 = x^2 + y^2\)
\(r^2 = 5^2 + {-5}^2\)
\(r^2 = 25 + 25\)
\(r^2 = 50\)
\(r = \sqrt {50}\)
\(r = \sqrt{25}\sqrt{2}\)
\(r = 5 \sqrt{2}\)
r = 5√2
\(\tan\) \( θ = \frac {y}{x}\)
\(\tan\) \( θ = \frac {-5}{5} \) = \(-1\)
Tan yang bernilai 1 adalah sudut 45º.
45º di Kuadran IV sama dengan sudut 360º – 45º = 315º
Sehingga koordinat kutub yang dimaksud adalah P( 5√2, 315º)
Contoh 2 :
Jika diketahui koordinat kutub titik P( 5√2, 315º) maka koordinat kartesiusnya adalah . . .
\(r = 5\sqrt{2}\) dan θ = 315º
\(x=r*Cos θ\)
\(x =5\sqrt{2}* \cos 315º\)
\(x = 5\sqrt{2}*\frac{1}{2}\sqrt{2}= 5\)
\(y = r*Sin θ\)
\(y = 5\sqrt{2} \sin 315º\)
\(y = 5\sqrt{2}*\frac{-1}{2}\sqrt{2}= -5\)
Sehingga koordinat kartesius yang dimaksud adalah P( 5, -5)
Sumber : (Widiyanti, 2016)
DAFTAR PUSTAKA
Susanah.2010.”Geometri Analitika”.Surabaya:Unesa University Press.
Yosep.2012.”Jarak Antara Dua Titik pada Bidang Koordinat” https://yos3prens.wordpress.com/. Diakses pada tanggal 16 Oktober 2017 pukul 16:02.
Widiyanti, A. (2016, September 14). Google Corporation. Retrieved from Google Web Site: https://kacamatateha.wordpress.com/2016/09/14/koordinat-kutub-dan-koordinat-kartesius/
\(\frac{OB_1 – OA_1}{OP_1 – OA_1}\) = \(\frac{m + n}{m}\)
\(\frac{x_b – x_a}{x_p – x_a} = \frac{m + n}{m}\)
\(m(x_b - x_a) = (m + n) (x_p – x_a) \)
\(mx_b – mx_a = (m + n) x_p - (m + n) x_a \)
\(mx_b – mx_a + (m + n) x_a = (m + n) x_p \)
\(mx_b – mx_a + mx_a + nx_a = (m + n) x_p \)
\(\frac{mx_b + nx_a}{m + n} = x_p \)
Geometri Analitik
Selesai