Assalamualaikum wr. wb
Akhirnya, kembali lagi dengan kita di OXIEV ,jangan bosan untuk mampir di blog kita, karena disini adalah gudang dan tempat kalian untuk memecahkan masalah atau kesuliatan kalian di matematika. Nah untuk kali ini kami
akan memberikan dan pembahasan
"FAKTORISASI ALJABAR". Di halaman ini kita akan membahas tentang contoh soal dan pembahasannya lengkap. Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan dibawah ini!
Pernahkah kalian berbelanja di super- market? Sebelum berbelanja, kalian pastimemperkirakan barang apa saja yang akandibeli dan berapa jumlah uang yang harusdibayar. Kalian dapat memperkirakan jumlah uang yang harus dibayar jika kalian mengetahui harga dan banyaknya barang yang akan dibeli. Untuk menghitungnya, kalian tentu memerlukan cara perkalian atau menggunakan cara faktorisasi.
Pengertian Koefisien, Konstanta, Variabel, dan Suku
Di kelas kalian telah mempelajari mengenai bentuk-bentuk aljabar. Coba kalian ingat kembali materi tersebut, agar kalian dapat memahami bab ini dengan baik. Selain itu, kalian juga harus menguasai materi tentang KPK dari dua bilangan atau lebih dan sifat-sifat operasi hitung pada bilangan bulat. Perhatikan uraian berikut.
\( 5x + 2y + 3z , 4xy^{2}, 5x^{2}-1, dan (x - 1) (x + 3)\) disebut bentuk-bentuk aljabar. Sebelum mempelajari faktorisasi suku aljabar, marilah kita ingat kembali istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.
Bonat Cut Mimi membeli alat-alat tulis di koperasi sekolah. Mereka membeli \( 5 \) buku tulis,\( 2\) pensil, dan \(3\) bolpoin. Jika buku tulis dinyatakan dengan \(x\), pensil dengan \(y\), dan bolpoin dengan \(z\), maka Bonar dan Cut Mimi membeli
Selanjutnya bentuk-bentuk
Variabel
Variabel adalah lambang pengganti suatu bilanga yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c..z
Konstanta
Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.
Koefisien
Konstanta adalah pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku dari bentuk aljabar.
Suku
Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh jumlah atau selisih.
a. suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh;
b. suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. Contoh; \( a^{2} + 2, 2y, 3x - 5x...\)
c. Suku tiga adalah bentukyang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih. Contoh;\( 3x^{2} +4x - 5, 2x + 2y - xy..\)
Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dua suku disebut suku banyak atau polinom.
Operasi Hitung Bentuk Aljabar
Penjumlahan dan Pengurangan
Perhatikan uraian berikut ini. Ujang memiliki \(15\) kelreng merah dan \(9\) kelereng putih. Jika kelereng merah dinyatakan dengan \(x\) dan kelreng putih dinyatakn dengan \(y\) maka banyaknya kelereng Ujang adalah \(15x + 9y\), jika selanjutnya Ujang diberi kakaknya \(7\) kelereng merah dan \(3\) kelereng putih maka anyaknya kelereng Ujang sekarang adalah \( 22x + 12y\). Hasil ini diperolah dari\(15\).
Amatilah bentuk aljabar \( 3x^{2}\) - \(2x + 3y + x2 + 5x + 10\) .Suku-suku\( 3x^{2}\) dan \(x^{2}\) disebut suku-suku sejenis, demikian juga suku-suku \(-2x\) dan \(5x\) . Adapun suku-suku \(-2x\) dan \(3y\) merupakan suku-suku tidak sejenis.
Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.
Pemahaman mengenai suku-suku sejenis dan suku-suku tidak sejenis sangat bermanfaat dalam menyelesaikan operasi penjumlahan dan pengurangan dari bentuk aljabar. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan memanfaatkan sifat komutatif, asosiatif, dan distributif dengan memerhatikan suku-suku yang sejenis. Sifat-sifat tersebut berlaku pada penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.
Perkalian}
a. Perkalian suatu bilangan dengan bentuk aljabar
Coba kalian ingat kembali sifat disrtributif pada bilangan bulat jika \(a, b, dan c\) bilangan bulat maka berlaku \(a(b + b)\) = \(ab + ac\). Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar.
Perkalian suku dua \(ax + b\) dengan skalar atau bilangan \(k\) dinyatakan sebagai berikut;
\(k(ax + b)\) = \(kax + kb\)
b. Perkalian bentuk aljabar dengan bentuk aljabar
Telah kalian pelajari bahwa ntar bilangan skalar \(k\) dengan suku dua \(ax + b\) adalah \(k(ax + b) = kax + kb\). Dengan memanfaaatkan sifat distributif pula, perkalian antara bentuk aljabar suku dua \(ax + b\) dengan suku dua \(ax + d\) diperoleh sebagai berikut:
\((ax + b)(cx + d)\)
= \(ax(cx + d)\) + \(b(cx)\) + \(d\)
= \(axcx\) + \((ax+d)\) + \(b(cx)\) + \(bd\)
= \(acx^{2}\) + \((ad + bc)(x)\) + \(bd\)
Sifat distrbutif dapat pula digunakan pada perkalian suku dua dan suku tiga.
\((ax + b)(cx^{2} + dx + e)\)
= \(axcx^{2}\) + \(ax(dx)\) + \(ax(e) \)+ \(b(cx^{2})\)+ \(b(dx)\) + \(b(e)\)
= \(acx^{2}\) + \(adx^{2}\) + \(aex\) + \(bcx^{2}\) + \(bdx\) + b\(e\)
= \(acx^{2}\) + \((ad+bc)x^{2}\) + \((ae+bd)x\) + \(be\)
Selanjutnya, kita akan membahas mengenai hasil perkalian \((ax+b)(ax+b)\),\((ax+b)(ax-b)\),\((ax-b)(ax-b)\), dan
\((ax^{2}+bx+c)^{2}\). Pelajari uraian berikut ini.
a. \((ax+b)^{2}\)
= \((ax+b)(ax+b)\)
= \(ax(ax+b)\) + \(b(ax+b)\)
= \(ax(ax)\) + \(ax(b)\) + \(b(ax)\) + \(b^{2}\)
= \(a^{2}x^{2}\) + \(abx\) + \(abx\) + \(b^{2}\)
= \(a^{2}x^{2}\) + \(2abx\) + \(b^{2}\)
b. \((ax + b)(ax - b)\) = \(ax(ax - b)\) + \(b(ax - b)\)
= \(ax(ax)\) - \(ax(b)\) + \(b(ax)\) + \(b(-b)\)
= \(a^{2}x^{2}\) - \(abx \)- \(abx\) - \(b^{2}\)
= \(a^{2}x^{2}\) - \(b^{2}\)
c. \((ax - b)(ax - b)\)
= \(ax(ax - b)\) - \(b(ax - b)\)
= \(ax(ax)\) - \(ax(b)\) - \(b(ax)\) - \(b(-b)\)
= \(a^{2}x^{2}\) - \(abx\) - \(abx\) + \(b^{2}\)
= \(a^{2}x^{2}\) -\(2abx \)+ \(b^{2}\)
d. \((ax+b)(ax^{2} + bx + c)\)
= \((ax + b)(ax^{2} + bx + c)\)
= \(axax^{2}\) + \((bx + c)\) + \(bax^{2}\) + \(bx + c)\)
= \(ax(ax^{2})\) + \(ax(bx)\) + \(ax(c) \)+ \(b(ax^{2})\) + \(b(bx)\) + \(b(c)\)
= \(a^{2}x^{3}\) + \(abx^{2}\) + \(abx^{2}\) + \(b^{2}x\) + \(bc\)
= \(a^{2}x^{3}\) + \(2abx^{2}\) + \(b^{2}x \)+ \(bc\)
Berikut contoh soal dan cara pengerjaan hasil perkalian bentuk aljabar dari adalah:
Cara 1 dengan sifat distributif.
1. \((x + 2)(x + 3)\) = \(x (x + 3)\) + \(2(x + 3)\)
= \(x^{2}\) + \(3x \)+ \(2x\) + \(3\)
= \(x^{2}\) + \(5x\) + \(3\)
2. \((2x + 3)(x^{2} + 2x - 5)\) = \(2x.x^{2}\) + \((2x - 5)\) + \(3.x^{2}\) + \(2x\) - \(5\)
= \(4x^{3}\) + \(4x^{2}\) - \(10x\) + \(3x^{2}\) + \(6x\)- \(15\)
= \(4x^{3}\) + \(7(x^{2})\) - \(4x\) - \(15\)
Pembagian bentuk aljabar}
Kalian telah belajar penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.
Telah pelajari bahwa Suatu bilangan \(a\) dapat diubah menjadi \(a\) = \(p\) x \(q\) dengan \(a, p, q\) bilangan bulat maka \(p\) dan \(q \) disebut faktor-faktor dari \(a\). Hal tersebut berlaku pula pada bentuk aljabar.
Menyederhanakan Pecahan Aljabar
Pecahan dikatakan sederhana jika pembilang dan penyebut pecahan tersebut tidak lagi memiliki faktor persekutuan, kecuali 1. Dengan kata lain, jika pembilang dan penyebut suatu pecahan memiliki faktor yang sama kecuali 1 maka pecahan tersebut dapat disederhanakan. Hal ini juga berlaku pada pecahan bentuk aljabar. Menyederhanakan pecahan aljabar dapat dilakukan dengan memfaktorkan pembilang dan penyebutnya terlebih dahulu, kemudian dibagi dengan faktor sekutu dari pembilang dan penyebut tersebut.
Contoh;
1. Sederhanakan pecahan aljabar berikut \(\frac{3a^{2}-2ab^{2}}{4ab}\)....
Penyelesaian;
\(\frac{3a^{2}-2ab^{2}}{4ab}\)
=\(\frac{3a-2b}{4}\)
Menyederhanakan Pecahan Bersusun (Kompleks)}
Pecahan bersusun (kompleks) adalah suatu pecahan yang pembilang atau penyebutnya atau kedua-duanya masih memuat pecahan. Untuk menyederhanakan pecahan bersusun, dilakukan dengan cara mengalikan pembilang dan penyebutnya dengan KPK dari penyebut pecahan pada pembilang dan penyebut pecahan pada penyebut pecahan bersusun.
Sekian Pembahasan tentang faktorisasi Aljabar. semoga adik-adik selalu menyukai matematika ^_^
untuk pembahasan lain, silahkan kunjungi Part 2, 3, 4, dan 5 ya.!
Sekian untuk Penjelasan Soal dan Pembahasan. semoga sukses adik-adik ^_^
FAKTORISASI ALJABAR
Selesai