Media Pembelajaran Interaktif Matematika

Aljabar Linier & Matriks

Assalamualaikum wr. wb. Hallo adik-adik SMP/SMA! Pelajari seluruh materi aljabar linier dan matriks secara visual, lengkap dengan simulasi interaktif, tanpa rumus pembagian yang rumit!

Panduan Petunjuk Membaca Simbol Matematika

Klik kartu simbol di bawah ini untuk mempelajari cara membaca dan penjelasannya!

Klik salah satu simbol di atas!

Panduan cara membaca dan makna matematika akan ditampilkan di sini.

Pengertian Matriks, Baris & Kolom

Matriks adalah susunan bilangan berbentuk persegi atau persegi panjang dalam baris (horizontal $\rightarrow$) dan kolom (vertikal $\downarrow$).

Simulator Penyorot Baris & Kolom Matriks $2 \times 2$

$A = $

$a_{11} = 5$

$a_{12} = 3$

$a_{21} = 4$

$a_{22} = 7$

Klik tombol di atas untuk melihat letak Baris atau Kolom!

Kesamaan Dua Matriks ($A = B$)

Dua matriks dikatakan sama jika memiliki ordo yang sama dan seluruh entri yang bersesuaian adalah sama ($a_{ij} = b_{ij}$).

Uji Nilai $x$ agar Matriks $A = B$:

$A =$

6 2 1 4

$B =$

2 1 4

Matriks A = B karena nilai x = 6!

Galeri Jenis-Jenis Matriks Khusus

1. Matriks Persegi / Bujursangkar

Jumlah baris = jumlah kolom ($m = n$).

$A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}$

2. Matriks Identitas ($I_n$)

Diagonal utama bernilai 1, entri lain 0.

$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

3. Matriks Diagonal

Semua entri di luar diagonal utama = 0.

$D = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix}$

4. Matriks Segitiga Atas

Semua entri di bawah diagonal = 0.

$U = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$

5. Matriks Segitiga Bawah

Semua entri di atas diagonal = 0.

$L = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 5 & 3 \end{bmatrix}$

6. Matriks Simetris

Matriks yang sama dengan transpose-nya ($A = A^T$).

$S = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 4 & 5 \end{bmatrix}$

Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Dua matriks berordo sama dijumlahkan atau dikurangkan dengan menjumlahkan/mengurangkan entri-entri yang seletak.

$A = \begin{bmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$

$B = \begin{bmatrix} 5 & 1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 7 & 4 \\ 3 & 7 \end{bmatrix}$

*Sifat: $A + B = B + A$ (Komutatif), $A + (B + C) = (A + B) + C$ (Asosiatif).

Perkalian Skalar Matriks ($c \cdot A$)

Mengalikan setiap entri matriks $A$ dengan sebuah bilangan skalar bulat $c$.

Skalar $c = $ 3

$3 \cdot \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 4 \end{bmatrix}$ = $\begin{bmatrix} 6 & 3 \\ -3 & 12 \end{bmatrix}$

Perkalian Dua Matriks ($A \times B$)

Syarat: Jumlah kolom matriks pertama harus sama dengan baris matriks kedua ($A_{m \times r} \times B_{r \times n} = C_{m \times n}$). Dihitung dengan perkalian Baris $\times$ Kolom.

Visualisasi Perkalian $A_{2 \times 2} \times B_{2 \times 2}$:

$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$

$\times$

$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{bmatrix}$

$=$

$\begin{bmatrix} (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 0 + 2 \cdot 3) \\ (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 0 + 4 \cdot 3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{bmatrix}$

SIFAT PENTING: $AB \neq BA$ (Perkalian matriks TIDAK bersifat Komutatif!)

Transpose Matriks ($A^T$)

Memutar matriks dengan mengubah baris pertama menjadi kolom pertama, dan baris kedua menjadi kolom kedua.

$A = \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 2 & 8 \end{bmatrix}$

$\rightarrow$

$A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 5 & 8 \end{bmatrix}$

Determinan Matriks ($\det(A)$ atau $|A|$)

Determinan mengukur nilai skalar dari matriks bujursangkar.

Determinan Ordo $2 \times 2$:

Rumus: $\det(A) = ad - bc$

$A = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \implies \det(A) = (5 \cdot 4) - (2 \cdot 3) = 14$

Determinan Ordo $3 \times 3$ (Metode Kofaktor):

Matriks tanda kofaktor: $\begin{bmatrix} + & - & + \\ - & + & - \\ + & - & + \end{bmatrix}$

$\det(B) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + a_{13}C_{13}$

Invers Matriks Ordo $2 \times 2$ ($A^{-1}$)

Rumus Invers: $A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{bmatrix} d & -b \\ -c & a \end{bmatrix}$. Jika $\det(A) = 1$ atau $-1$, hasil invers berupa bilangan bulat utuh!

Simulator Invers Matriks (Determinan = 1):

$A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}$

$\implies$

$\det(A) = (3 \cdot 3) - (2 \cdot 4) = 1$

$\implies$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & -2 \\ -4 & 3 \end{bmatrix}$

Eliminasi Gauss-Jordan (Sistem Persamaan Linear)

Langkah demi langkah mengubah matriks teraugmentasi menjadi bentuk Eselon Baris Tereduksi!

Sistem Persamaan: (1) $x + 2y + 3z = 1$ | (2) $2x + 5y + 3z = 6$ | (3) $x + 0y + 8z = -6$

Langkah 1 dari 4

1. Matriks Teraugmentasi Awal

Menyusun koefisien persamaan ke dalam bentuk matriks $(A | b)$.

Vektor dalam Ruang $\mathbb{R}^n$ & Dot Product

Vektor $u = (u_1, u_2, ..., u_n)$ adalah sekuens $n$ bilangan real.

Hitung Perkalian Titik (Dot Product $u \cdot v$) & Panjang $\|u\|$:

$u = ($ , ) | $v = ($ , )

• Dot Product $u \cdot v = (3 \cdot 2) + (4 \cdot 1) = 10$

• Panjang (Norm) $\|u\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5$

6 Aplikasi Aljabar Linier di Dunia Nyata

1. Data Eksperimen

$n$ pengukuran disimpan dalam vektor $y = (y_1, y_2, ..., y_n) \in \mathbb{R}^n$.

2. Logistik Depot

Distribusi truk di 15 gudang diwakili 15-tuple $x = (x_1, ..., x_{15})$.

3. Rangkaian Listrik

Chip mengubah vektor input $\mathbb{R}^4$ menjadi vektor output $\mathbb{R}^3$.

4. Analisis Citra

Pixel warna disimpan dalam 5-tuple $v = (x, y, h, s, b)$ (koordinat + warna).

5. Model Ekonomi

Output 10 sektor ekonomi direpresentasikan oleh 10-tuple $s \in \mathbb{R}^{10}$.

6. Fisika Teori String

Memodelkan getaran partikel dalam dunia 11-dimensi $\mathbb{R}^{11}$.

Kuis Interaktif Mandiri

Uji pemahamanmu dan dapatkan hasilnya secara langsung!

1. Jika matriks A berordo $3 \times 2$, maka jumlah baris dan kolomnya adalah...

2. Apakah perkalian dua matriks $A \times B$ selalu sama dengan $B \times A$?

3. Matriks yang nilai determinannya sama dengan NOL disebut...

Aljabar Linear Matriks