Assalamualaikum wr. wb. Hallo adik – adik SMP, Kembali lagi bersama kami .
Kami disini akan memberikan beberapa“ Contoh Soal dan Pembahasan” materi ALJABAR dalam pelajaran
MATEMATIKA. Kali ini berbeda dengan pembahasan Part 1, Part 2, Part 3, Part 4,
Part 5 dan Part 6. Pada pembahasan ini, kami akan membahas tentang “Aljabar
Linier dan Matriks”. Seperti apa sih pembahasannya? Dari pada penasaran.
Yuk disimak Contoh Soal dan Pembahasan
berikut :
Di dalam kehidupan, sering dijumpai masalah-masalah yang membutuhkan perlakuan khusus. Hal tersebut dimaksudkan untuk keperluan penyajian dan pencarian metode penyelesaiannya.
Salah satu bentuk penyajiannya adalah dengan menyusun item-item dalam bentuk baris dan kolom, yang biasanya disebut dengan matriks. Penggunaan matriks telah banyak dijumpai dalam kehidupan sehari-hari, disadari ataupun tidak, penggunaan matriks tersebut telah banyak dimanfaatkan dalam menyelesaikan masalah-masalah yang berhubungan dengan kehidupan, misalnya pada aplikasi perbankan dan juga di dalam dunia olahraga yang digunakan sebagai penentuan klasemen suatu pertandingan.
Suatu matriks (matrix) adalah jajaran empat persegi panjang dari bilangan-bilangan. Bilangan-bilangan dalam jajaran tersebut disebut entri dari matriks.
Sehingga matriks merupakan suatu susunan yang berbentuk persegi panjang yang terdiri dari bilangan-bilangan. Baris sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang mendatar (arah horizontal) dalam matriks.
Kolom sebuah matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang tegak (arah vertikal) dalam matriks.
Suatu matriks dapat ditulis dalam bentuk ( ) atau [ ]. Matriks dilambangkan dengan huruf besar, misalnya A, B, dan seterusnya. Entri pada matriks dilambangkan dengan huruf kecil dan berindeks, misalnya amnyang merupakan entri pada baris ke- m dan kolom ke- n. Bentuk umum dari matriks adalah:
A= Dimana m menunjukkan baris dan n menunjukkan kolom. Ukuran matriks atau biasa disebut dengan ordo matriks menyatakan jumlah baris dan jumlah kolom yang terdapat di dalam matriks tersebut. Apabila suatu matriks memiliki jumlah baris sebanyak (m) dan jumlah kolom (n), maka disebut matriks berordo \(m \times n\). Dari definisi tentang matriks di atas, maka contoh dari matriks adalah sebagai berikut:
a. Matriks berordo \(2 \times 1 \div\) A= \([5 3]\)Entri matriks
A adalah: \(a_{11} = 5\) dan \(a_{21} = 3\).
b. Matriks berordo \(2 \times 2 \div B\)= Entri matriks B adalah: \(b_{11} = 1\), \(b_{12} = 4\), \(b_{21} = 4\), dan \(b_{22} = 3\).
c. Matriks berordo \(3 times 3 \div C\) = Entri matriks C adalah: \(c_{11} = 3\), \(c_{12} = 2\), \(c_{13} = 5\), \(c_{21} = 4\), \(c_{22} = 4\) , \(c_{23} = 4\),\(c_{31} = 6\), \(c_{32} = 8\), dan \(c_{33} = 7\).
Kesamaan Matriks
Dua matriks adalah sama (equal) jika keduanya memiliki ukuran yang sama dan entri-entri yang bersesuaian adalah sama. (Anton dan Rorres, 2004: 28)
Di dalam notasi matriks, apabila A = [aij] dan B = [bij] memiliki ukuran yang sama, maka A = B jika dan hanya jika (A)ij = (B)ij, atau aij = bij untuk semua i dan j.
Dua matriks di atas memiliki ukuran dan entri-entri yang bersesuaian sama, sehingga A = B
Apabila nilai x = 6, maka A = B, tetapi untuk semua nilai \(x\) yang lain, matriks A dan B adalah tidak sama karena tidak semua entri-entri yang bersesuaian adalah sama.
Perkalian Skalar Matriks
Jika A adalah matriks sebarang dan c adalah skalar sebarang, maka hasil kali-nya (product) cA adalah matriks yang diperoleh dari perkalian setiap entri pada matriks A pada bilangan c. Matriks cA disebut sebagai kelipatan skalar (scalar multiple) dari A. Di dalam notasi matriks, apabila A
=\([a_{ij}]\), maka \((c A)_{ij}\)
=\(c(A)_{ij}\)=\(ca_{ij}\)
2.1.4. Perkalian Matriks
Jika A adalah matriks \(m \times r\) dan B adalah matriks \(r \times n\) maka hasil kali (product) AB adalah matriks \(m \times n\) yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri pada baris i dan kolom j dari AB, pisahkanlah baris i darimatriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut dan kemudian jumlahkan hasil yang diperoleh.
Dengan kata lain, perkalian matriks dapat didefinisikan sebagai berikut:
Misalkan A = [amr] dan B = [bnr] merupakan matriks-matriks yang sedemikian rupa sehingga jumlah kolom dari A sama dengan jumlah baris dari B. Maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang mana entri ij diperoleh dengan mengalikan baris ke-i dari A dengan kolom ke-j dari B.
=
di mana :\(c_{ij}\)=\(a_{i1}b_{1j}\)+\(a_{i2}b_{2j}\)+....+\(a_{ir}b_{rj}\)=
Berdasarkan definisi dari perkalian matriks tersebut, maka dua matriks dapat dikalikan apabila jumlah kolom matriks pertama sama dengan jumlah baris dari matriks kedua. Sehingga dapat dituliskan sebagai berikut:
\(Amxr \times Brxn= Cmxn\)
Misal A, B, dan C adalah matriks yang dapat dikalikan, maka sifat-sifat dari perkalian matriks adalah:
1. Sifat distributif
a. A (B + C) = AB + AC
b. (A + B) C = AB + BC
2. Sifat asosiatif
A (BC) = (AB) C
3. \(AB \neq BA\)
Perkalian matriks tidak memenuhi sifat komutatif. Pada bilangan real berlaku ab = ba. Sedangkan pada matriks, AB tidak selalu sama dengan BA. Hal tersebut dapat disebabkan pada kasus sebagai berikut:
a. Hasil dari AB dapat didefinisikan, akan tetapi hasil dari BA tidak dapat didefinisikan. Sebagai contoh, apabila A adalah matriks yang memiliki ordo \(2 \times 3\), dan B adalah matriks yang memiliki ordo \(3 \times 4\).
b. Hasil dari AB dan BA dapat didefinisikan, akan tetapi masing-masing entri yang bersesuaian dari matriks tersebut adalah berbeda. Sebagai contoh:
Dari hasil tersebut, dapat disimpulkan bahwa \(AB \neq BA\).
4. Perkalian dengan identitas
IA = AI = A.
2.1.5. Transpos Matriks
Jika A adalah matriks \(m) \times n\), maka transpos dari A (transpose of A), dinyatakan dengan AT, didefinisikan sebagai matriks \(n) \times m\) yang didapatkan dengan mempertukarkan baris-baris dan kolom-kolom dari A; sehingga kolompertama dari AT adalah baris pertama dari A, kolom kedua dari AT adalah baris kedua dari A, dan seterusnya.
Dari definisi tersebut, dapat dikatakan bahwa matriks transpos adalah suatu matriks yang diperoleh dari perpindahan baris pada matriks A yang berubahmenjadi kolom pada matriks AT, sehingga dapat dituliskan sebagai:
\(A^{m}\times (n_)\)
\((a^{ij})\)\(\rightarrow\)\((AT)\)=\( (a^{ji}\))
Contoh: A=sehingga \(_T\)=
Transpos dari sebuah hasilkali adalah hasil kali dari transpos-transposnya, tetapi dalam urutan terbalik. (Lipschutz dan Lipson, 2004: 14). Yaitu sebagai berikut:
\((AB)^{T}\)=\(BA)^{T}\)
Apabila perkalian matriks A dan B memiliki sifat komutatif, maka
\((AB)^{T}\)=\((BA)^{T}\)
\(\leftrightarrow B^{T}A^{T}\)=\(A^{T} B^{T}\)
sehingga berlaku:
\((AB)^{T}\)=\(A^{T}B^{T}\)
\((BA)^{T}\)=\(B^{T}A^{T}\)
2.1.6. Matriks Bujursangkar
Matriks bujursangkar adalah matriks dengan jumlah baris dan kolom yang sama. Matriks bujursangkar atau dapat juga dinamakan matriks persegi yang memiliki ordo n, biasanya disebut matriks bujursangkar-n. Entri a11, a22, a33,..., ann berada pada diagonal utama dari matriks A. Matriks bujursangkar dibedakan menjadi matriks identitas, matriks diagonal, matriks segitiga, dan matriks simetrik.
Contoh:
1.matriks bujur sangkar berorde 2.
2.matriks bujur sangkar dengan orde 3.
2.1.7. Matriks Segitiga
Matriks bujursangkar yang semua entri di atas diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga bawah (lower triangular) dan matriks bujursangkar yang semua entri di bawah diagonal utamanya adalah nol disebut matriks segitiga atas (upper triangular). Suatu matriks, baik segitiga bawah atau segitiga atas disebut matriks segitiga (triangular). Berdasarkan definisi tersebut, transpos dari matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas. Demikian juga sebaliknya, transpos dari matriks segitiga atas adalah matriks segitiga bawah.
Contoh matriks segitiga atas :
1.matrik segitiga atas dengan orde 2.
2.matriks segitiga dengan orde 3.
3.matriks segitiga dengan orde 4.
Contoh matriks segitiga bawah:
1.matriks segitiga bawah dengan orde 2
2.matriks segitiga bawah dengan orde 3
3.matrikssegitiga bawah dengan orde 4
2.1.8. Matriks Diagonal
Suatu matriks bujursangkar yang semua entrinya yang tidak terletak pada diagonal utama adalah nol disebut matriks diagonal (diagonal matrix). Bentuk umum dari matriks diagonal A, dengan ordo n dapat ditulis sebagai:
A=
Contoh:
1.A= matriks A adalah matriks diagoonal berordo \(2 \times 2\).
2.B= matriks B adalah matriks diagonal berordo \(3 \times 3\).
3.C= matriks C adalah matriks diagonal berordo \(4\times 4\).
2.1.9. Matriks Identitas
Yang menjadi perhatian khusus adalah matriks bujursangkar dengan bilangan 1 pada diagonal utamanya dan 0 pada entri-entri lainnya, seperti :
Matriks dengan bentuk seperti ini disebut matriks identitas (identity matrix) dan dinyatakan dengan I. Jika ukurannya penting maka akan ditulis sebagai In untuk matriks identitas \(n \times n\).
Di dalam perkalian matriks, operasi dengan identitas mempunyai sifat
AI = IA = A
2.1.10. Matriks Singular dan Non Singular
Matriks singular adalah matriks bujur sangkar yang tidak mempunyai invers (berarti determinannya = 0). Sedangkan matriks non singular adalah matriks bujur sangkar yang mempunyai invers (berarti determinannya \(\neq 0\). Contoh dari matriks singular adalah:
1.A=A adalah matriks singular berordo 2 karena A-1=
2.B=B adalah matriks singular berordo
2.1.11.Determinan
Permutasi dari himpunan bilangan bulat atau integer {1, 2, ..., n} adalah susunan integer-integer ini menurut suatu aturan tanpa adanya penghilangan atau pengulangan. Sebagai contoh, pada himpunan bilangan bulat {1, 2, 3} memiliki 6 permutasi.
Antara lain (1, 2, 3), (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1), (3, 1, 2), dan (3, 2, 1). Inversi dapat terjadi di dalam suatu permutasi apabila bilangan bulat yang lebih besar mendahului yang lebih kecil. Misalnya di dalam permutasi (2, 4, 1, 3) maka
banyaknya inversi adalah 1 + 2 + 0 = 3. Suatu permutasi dikatakan genap (even) jika total banyaknya inversi adalah integer genap dan dikatakan ganjil (odd) jika total banyaknya inversi adalah integer ganjil.
Hasilkali elementer dari suatu matriks bujursangkar dengan orde n merupakan hasilkali dari n entri dari matriks tersebut, yang tidak satu pun berasaldari baris atau kolom yang sama. Apabila A merupakan matriks bujursangkardengan orde n, maka matriks A memiliki hasilkali elementer sebanyak n!. Bentuk dari hasilkali elementer tersebut adalah a1j1, a2j2, .....anjn dimana (j1,j2,...jn) adalah permutasi dari himpunan {1, 2, ..., n}. Sedangkan hasilkali elementer bertanda dari A adalah dari hasilkali elementer tersebut adalah a1j1, a2j2, .....anjn dikalikan dengan + 1 untuk permutasi genap dan - 1 untuk permutasi ganjil.
Misalkan A adalah suatu matriks bujursangkar. Fungsi determinan (determinant function) dinotasikan dengan det dan kita mendefinisikan det(A) sebagai jumlah dari semua hasilkali elementer bertanda dari A. Angka det(A) disebut determinan dari A (determinant of A).
Misalkan A = maka determinan dari A adalah a11a22-a12a21
Sedangkan untuk B = maka determinan dari B adalah (a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32)-(a12a21a33+a11a23a32+a13a22a31)
2.1.12.Invers Matriks ordo 2
Diberikan matriks bujursangkar A. Jika terdapat matriks bujursangkar A-1yang memenuhi hubungan
A-1.A=A.A-1=I
Maka A-1 disebut invers kebalikan dari A.Jika A adalah matriks bujursangkar, dan jika terdapat matriks B yang ukurannya sama sedemikian rupa sehingga AB = BA = I, maka A disebut dapat dibalik (invertible) dan B disebut sebagai invers (inverse) dari A.Jika matriks B tidak dapat didefinisikan, maka A dinyatakan sebagai matriks singular. Sebelum menentukan invers, maka harus dicari terlebih dahulu nilai determinan dari matriks tersebut. Misalkan A merupakan matriks yang mempunyai ordo 2. Determinan dari matriks A adalah selisih antara perkalian entri-entri pada diagonal utama dengan perkalian entri-entri pada diagonal sekunder. Determinan dari matriks A dinotasikan dengan det A atau |A|. Sedangkan nilai dari determinan suatu matriks adalah bilangan real.
Misalkan A=
Sehingga det A=\(|A|\)= =ad-bc
Dari definisi tentang invers matriks, maka selanjutnya dapat ditentukan rumus dari invers matriks yang berordo 2.Misalkan A= dan B=
Karena AB = I, maka B = A-1.
Berdasarkan kesamaan dua matriks, diperoleh:
ap + br= 1 ....(1) aq + bs = 0 ....(3)
cp + dr= 0 ....(2) cq + ds= 1 ....(4)
Dengan menyelesaikan sistem persamaan linear tersebut, maka diperoleh:
p = q = r = s =
dengan demikian
B=\(A^{-1}\)
Jadi, B = \(A^{-1}\) = dengan \(\neq 0\).
Karena det A, maka A-1 = .
Eliminasi Gaus- Jordan
Salah satu metode untuk memperoleh solusi penyelesaian sistem perssamaan linear adalah dengn melakukan operasi baris elementer yaitu dengan metode eliminasi Gaus - Jordan. Caranya yaitu :
1.Kalikanlah suatu persamaan (baris) dengan konstanta tak nol.
2.Tukarkanlah dua persamaan (baris).
3.Tambahkanlah kelipatan satu persamaan(baris) dengan persamaan(baris) lain.
Contoh:
Carilah nilai-nilai variabel X, Y, Z untuk sistem persamaan berikut :
X+2Y+3Z=1
2X+5Y+3Z=6
X+8Z=-6
Persamaan tersebu dapat ditulis dalam bentuk matriks sbb:
Matriks diperbesar (A:b) yaitu x=b1, y=b2, z =b3
Maka didapat X=2, Y=1 dan Z=-1
Persamaan linear
Persamaan linear dapat dinyatakan sebagai matriks.
Misalnya persamaan:
\(3 x _{1}\) +\(4x_{2}\)-\(2 x_{3}\) = 5
\(x_{1}\)- \(5x_{2}\) + \(2x_{3}\) = 7
\(2x_{1}\) + \(x_{2}\)- \(3x_{3}\) = 9
dapat dinyatakan dalam matriks teraugmentasi sebagai berikut
Penyelesaian persamaan linier dalam bentuk matriks dapat dilakukan melalui beberapa cara, yaitu dengan eliminasi Gauss atau dapat juga dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Namun, suatu sistem persamaan linier dapat diselesaikan dengan eliminasi Gauss untuk mengubah bentuk matriks teraugmentasi ke dalam bentuk eselon-baris tanpa menyederhanakannya. Cara ini disebut dengan substitusi balik.
Sebuah sisitem persamaan linier dapat dikatakan homogen apabila mempunyai bentuk :
\(a_{11}x_{1}\) + \(a_{12}x_{2}\) + ... + \(a_{1n}x_{n}\) = 0
\(a_{21}x_{1}\) + \(a_{22}x_{2}\) + ... + \(a_{2n}x_{n}\) = 0
\(a_{m1}x_{1}\) + \(a_{m2}x_{2}\) + ... + \(a_{mn}x_{n}\) = 0
Setiap sistem persamaan linier yang homogen bersifat adalah tetap apabila semua sistem mepunyai \(x_{1}\) = 0 , \(x_{2}\) = 0 , ... , \(x_{n}\) = 0 sebagai penyelesaian. Penyelesaian ini disebut solusi trivial. Apabila mempunyai penyelesaian yang lain maka disebut solusi nontrivial.
Penyelesaian Persamaan Linear dengan Matriks
Bentuk Eselon-baris
Matriks dapat dikatakan Eselon-baris apabila memenuhi persyaratan berikut :
1.) Di setiap baris, angka pertama selain 0 harus 1 (leading 1).
2.) Jika ada baris yang semua elemennya nol, maka harus dikelompokkan di baris akhir dari matriks.
3.) Jika ada baris yang leading 1 maka leading 1 di bawahnya, angka 1-nya harus berada lebih kanan dari leading 1 di atasnya.
4.) Jika kolom yang memiliki leading 1 angka selain 1 adalah nol maka matriks tersebut disebut Eselon-baris tereduksi
Contoh: syarat 1: baris pertama disebut dengan leading 1
syarat 2: baris ke-3 dan ke-4 memenuhi syarat 2
syarat 3: baris pertama dan ke-2 memenuhi syarat 3
syarat 4: matriks dibawah ini memenuhi syarat ke 4 dan disebut Eselon-baris tereduksi
Operasi Eliminasi Gauss-Jordan
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matriks. Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Contoh: Diketahui persamaan linear
x + 2y + 3z = 3
2x + 3y + 2z = 3
2x + y + 2z = 5
Tentukan Nilai x, y dan z
Jawab:
Bentuk persamaan tersebut ke dalam matriks:
Operasikan Matriks tersebut
Baris ke 2 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 2 kali baris ke 1
Baris ke 3 dikurangi 3 kali baris ke 2
Baris ke 3 dibagi 8 dan baris ke 2 dibagi -1
Baris ke 2 dikurangi 4 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 3 kali baris ke 3
Baris ke 1 dikurangi 2 kali baris ke 2 (Matriks menjadi Eselon-baris tereduksi)
Maka didapatkan nilai dari x = 2 , y = ? 1 ,dan z = 1
Operasi Dalam Matriks
Dua buah matriks dikatakan sama apabila matriks-matriks tersebut mempunyai ordo yang sama dan setiap elemen yang seletak sama.
Jika A dan B adalah matriks yang mempunyai ordo sama, maka penjumlahan dari A + B adalah matriks hasil dari penjumlahan elemen A dan B yang seletak. Begitu pula dengan hasil selisihnya. Matriks yang mempunyai ordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Jumlah dari k buah matriks A adalah suatu matriks yang berordo sama dengan A dan besar tiap elemennya adalah k kali elemen A yang seletak. Didefinisikan: Jika k sebarang skalar maka kA = A k adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k. Negatif dari A atau -A adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan semua elemennya dengan -1. Untuk setiap A berlaku A + (-A) = 0. Hukum yang berlaku dalam penjumlahan dan pengurangan matriks :
a.) A + B = B + A
b.) A + ( B + C ) = ( A + B ) + C
c.) k ( A + B ) = kA + kB = ( A + B ) k , k = skalar
Hasil kali matriks A yang ber-ordo \(m \times p\) dengan matriks B yang berordo \(p \times n\) dapat dituliskan sebagi matriks C = \([ c_{ij} ]\) berordo \(m \times n\) dimana \(c_{ij}\) = \(a_{i1}\) \(b_{1j}\) + \(a_{i2}\) \(b_{2j}\) + ... + \(a_{ip} b_{pj}\)
Teorema
" Transpos pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga atas, dan transpose pada matriks segitiga atas adalah segitiga bawah.
" Produk pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan produk pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
" Matriks segitiga bisa di-inverse jika hanya jika diagonalnya tidak ada yang nol.
" Inverse pada matriks segitiga bawah adalah matriks segitiga bawah, dan inverse pada matriks segitiga atas adalah matriks segitiga atas.
Teorema
" Jika A dan B adalah matriks simetris dengan ukuran yang sama, dan jika k adalah skalar maka
\(A_{T}\) adalah simetris A + B dan A - B adalah simetris kA adalah simetris \((AB)_{T}\) = \(B_{T}A_{T}\) = BA
Jika A adalah matriks simetris yang bisa di inverse, maka \(A_{-1}\) adalah matriks simetris.
Asumsikan bahwa A adalah matriks simetris dan bisa di inverse, bahwa A = AT maka :
\((A_{-1})_{T}\) = \((A_{T})_{-1}\) = \(A_{-1}\)
Yang mana membuktikan bahwa \(A_{-1}\) adalah simetris.
Produk \(AA_{T}\) dan \(A_{T}A\)
\((AA_{T})_{T}\) = \((A_{T})_{T}A_{T}\) = \(AA_{T}\) dan \((A_{T}A)_{T}\) = \(A_{T}(A)_{T}\) = \(A_{T}A\)
Determinan
Determinan adalah suatu fungsi tertentu yang menghubungkan suatu bilangan real dengan suatu matriks bujursangkar.
Sebagai contoh, kita ambil matriks \(A_{2\times 2}\)
A = tentukan determinan A
untuk mencari determinan matrik A maka,
detA = ad - bc
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor
Determinan dengan Minor dan kofaktor
A = tentukan determinan A
Pertama buat minor dari \(a_{11}\)
\(M_{11}\) = \(a_{22}a_{33}\) \(\times\) \(a_{23}a_{32}\)
Kemudian kofaktor dari \(a_{11}\) adalah
\(c_{11}\) = \(-1_{1+1}M_{11}\) = \((-1)_{1+1}a_{22}a_{33}\) \(\times\) \(a_{23}a_{32}\)
kofaktor dan minor hanya berbeda tanda \(C_{ij}\)=\(±M_{ij}\) untuk membedakan apakah kofaktor pada \(_{ij}\) adalah + atau - maka kita bisa melihat matrik dibawah ini
Begitu juga dengan minor dari \(a_{32}\)
\(M_{32}\) = \(a_{11}a_{23}\) \(\times\) \(a_{13}a_{21}\)
Maka kofaktor dari \(a_{32}\) adalah
\(c_{32}\) = \((-1)_{3+2}M_{32}\) = \((-1)_{3+2}\) \(\times\) \(a_{1}a_{23}\) \(\times\) \(a_{13}a_{21}\)
Secara keseluruhan, definisi determinan ordo 3x3 adalah
det(A) = \(a_{11}C_{11}\)+\(a_{12}C_{12}\)+\(a_{13}C_{13}\)
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks \(A_{3}\times _{3}\)
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = a11 - a12 + a13
= \(a_{11}(a_{22}a_{33}\) - \(a_{23}a_{32})\) - \(a_{12}a_{21}a_{33}\) - \(a_{23}a_{31})\) + \(a_{13}a_{21}a_{32}\) - \(a_{22}a_{31})\)
= \(a_{11}a_{22}a_{33}\) + \(a_{12}a_{23}a_{31}\) + \(a_{13}a_{21}a_{32}\) - \(a_{13}a_{22}a_{31}\) - \(a_{12}a_{21}a_{33}\) - \(a_{11}a_{23}a_{32}\)
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Baris Pertama
Misalkan ada sebuah matriks \(A_{3}\times 3\)
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = \(a_{11}\) - \(a_{12}\) + \(a_{13}\)
= \(a_{11}(a_{22}a_{33}\) - \(a_{23}a_{32}\) - \(a_{12}a_{21}a_{33}\) - \(a_{23}a_{31}\) + \(a_{13}a_{21}a_{32}\) - \(a_{22}a_{31}\)
= \(a_{11}a_{22}a_{33}\) + \(a_{12}a_{23}a_{31}\) + \(a_{13}a_{21}a_{32}\) - \(a_{13}a_{22}a_{31}\) - \(a_{12}a_{21}a_{33}\) - \(a_{11}a_{23}a_{32}\)
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor baris pertama
Jawab:
det(A) = = 1 - 2 + 3 = 1(-3) - 2(-8) + 3(-7) = -8
Determinan dengan Ekspansi Kofaktor Pada Kolom Pertama
Pada dasarnya ekspansi kolom hampir sama dengan ekspansi baris seperti di atas. Tetapi ada satu hal yang membedakan keduanya yaitu faktor pengali. Pada ekspansi baris, kita mengalikan minor dengan komponen baris pertama. Sedangkan dengan ekspansi pada kolom pertama, kita mengalikan minor dengan kompone kolom pertama.
Misalkan ada sebuah matriks \(A_{3\times 3}\)
A =
maka determinan dari matriks tersebut dengan ekspansi kofaktor adalah,
det(A) = \(a_{11}\) - \(a_{21}\) + \(a_{31}\)
= \(a_{11}a_{22}a_{33}\) - \(a_{23}a_{32}\) - \(a_{21}a_{21}a_{33}\) - \(a_{23}a_{31}\) + \(a_{31}a_{21}a_{32}\)- \(a_{22}a_{31}\)
= \(a_{11}a_{22}a_{33}\) + \(a_{21}a_{23}a_{31}\) + \(a_{31}a_{21}a_{32}\) - \(a_{22}a_{31}^{2}\) - \((a_{21}^{2}a_{33}\) - \(a_{11}a_{23}a_{32}\)
Contoh Soal:
A = tentukan determinan A dengan metode ekspansi kofaktor kolom pertama
Jawab:
det(A) = 1 - 4 + 3 = 1(-3) - 4(-8) + 3(-7) = 8
Adjoin Matriks 3 x 3
Bila ada sebuah matriks \(A_{3x3}\)
A = Kofaktor dari matriks A adalah
\(C_{11}\) = \(-12 C_{12}\) = \(6 C_{13}\) = -8
\(C_{21}\) = \(-4 C_{22}\) = \(2 C_{23}\) = -8
\(C_{31}\) = \(12 C_{32}\) = \(-10 C_{33}\) = 8
maka matriks yang terbentuk dari kofaktor tersebut adalah
untuk mencari adjoint sebuah matriks, kita cukup mengganti kolom menjadi baris dan baris menjadi kolom
Vektor dalam Ruang Euklide
Euklidian dalam n-Ruang. Vektor di dalam n-Ruang Definisi : Jika n adalah sebuah integer positif, sebuah n- grup topel adalah sekuens dari n bilangan real (a1.a2.....an). Set dari semua grup yang terdiri dari n- grup topel dinamakan n-ruangdan dituliskan sebagai Rn.
Jika n = 2 atau 3, sudah menjadi kebiasaan untuk menggunakan istilah grup pasangan dan grup dari tiga secara respektif, daripada 2-grup topel atau 3- grup topel. Keitka n = 1, setiap n - grup topel terdiri dari satu bilangan real, sehingga R1 bisa dilihat sebagai set dari bilangan real. Kita akan menuliskan R daripada R1 pada set ini.
Mungkin kita telah mmepelajari dalam bahan 3-ruang symbol dari (a1, a2, a3) mempunyai dua interpretasi geometris yang berbeda : ini bisa diinterpretasikan sebagai titik, yang dalam kasus ini a2, a2, a3 merupakan koordinat, atau ini bisa diinterpretasikan sebagai vector, dimana a1, a2, a3 merupakan komponen vector.
Selanjutnya kita bisa melihat bahwa n - grup topel (a1, a2, ...., an) bisa dilihat sebagai antara sebuah "poin umum" atau "vector umum"- perbedaan antara keduanya tidak penting secara matematis. Dan juga kita bisa menjelaskan 5- topel (-2, 4, 0 ,1 ,6) antara poin dalam R5 atau vector pada R5.
u1 = v1 u2 = v2 un = vn
Penjumlahan u + v didefinisikan oleh
u + v = (u1 + v2, u2 + v2, ...., un + vn)
Dan jika k adalah konstanta scalar, maka perkalian scalar ku didefinisikan
ku = (k u1, k u2,...,k un)
Operasi dari pertambahan dan perkalian scalar dalam definisi ini disebut operasi standar untuk Rn Vektor nol dalam Rn didenotasikan oleh 0 dan difenisikan ke vektor
0 = (0, 0,...., 0)
Jika u = (u1, u2, ...., un) dalam setiap vector dalam Rn, maka negative (atau invers aditif) dari u dituliskan oleh -u dan dijelaskan
-u = (-u1, -u2, ...., -un)
Perbedaan dari vector dalam Rn dijelaskan
v - u = v + (-u)
atau, dalam istilah komponen,
v - u = (v1-u1, v2-u2, ...., vn-un)
Sifat-sifat dari vektor dalam Rn
adalah vektor dalam Rn sedangkan k dan m adalah skalar, maka :
(a) u + v = v + u
(b) u + 0 = 0 + u = u
(c) u + (v + w) = (u + v) + w
(d) u + (-u) = 0 ; berarti, u - u = 0
(e) k (m u) = (k m) u
(f) k (u + v) = k u + k v
(g) (k + m) u \hspace*{0.2cm} = k u + m u
(h) 1u = u
Perkalian dot product didefinisikan sebagai
Contoh Penggunaan Vektor dalam Ruang Dimensi Tinggi
" Data Eksperimen - Ilmuwan melakukan experimen dan membuat n pengukuran numeris setiap eksperimen dilakukan. Hasil dari setiap experiment bisa disebut sebagai vector y = (y1,y2,...,yn) dalam Rn dalam setiap y1,y2,....,yn adalah nilai yang terukur.
" Penyimpanan dan Gudang - Sebuah perusahaan transportasi mempunyai 15 depot untuk menyimpan dan mereparasi truknya. Pada setiap poin dalam waktu distribusi dari truk dalam depot bisa disebut sebagai 15-topel x=
(x1,x2,...,x15) dalam setiap x1 adalah jumlah truk dalam depot pertama dan x2 adalah jumlah pada depot kedua., dan seterusnya.
" Rangkaian listrik - Chip prosesor didesain untuk menerima 4 tegangan input dan mengeluarkan 3 tegangan output. Tegangan input bisa ditulis sebagai vector dalam R4 dan tegangan output bisa ditulis sebagaiR3. Lalu, chip bisa dilihat sebgai alat yang mengubah setiap vektor input v = (v1,v2,v3,v4) dalam R4 ke vector keluaran w = (w1,w2,w3) dalamR3.
" Analisis citra - Satu hal dalam gambaran warna dibuat oleh layar komputer dibuat oleh layar komputer dengan menyiapkan setiap [pixel] (sebuah titik yang mempunyai alamat dalam layar) 3 angka yang menjelaskan hue, saturasi, dan kecerahan dari pixel. Lalu sebuah gambaran warna yang komplit bisa diliahat sebgai 5-topel dari bentuk v = (x,y,h,s,b) dalam x dan y adalah kordinat layar dari pixel dan h,s,b adalah hue, saturation, dan brightness.
" Ekonomi - Pendekatan kita dalam analisa ekonomi adalah untuk membagi ekonomidalam sector (manufaktur, pelayanan, utilitas, dan seterusnya ) dan untuk mengukur output dari setiap sector dengan nilai mata uang. Dalam ekonomi dengan 10 sektor output ekonomi dari semua ekonomi bisa direpresentasikan dngan 10-topel s = (s1,s2,s3,...,s10) dalam setiap angka s1,s2,...,s10 adalah output dari sektor individual.
" Sistem Mekanis - Anggaplah ada 6 partikel yang bergerak dalam garis kordinat yang sama sehingga pada waktu t koordinat mereka adalahx1,x2,...,x6 dan kecepatan mereka adalah v1,v2,...,v6. Informasi ini bisa direpresentasikan sebagai vector
V = (x1,x2,x3,x4,x5,x6,v1,v2,v3,v4,v5,v6,t) Dalam R13. Vektor ini disebut kondisi dari sistem partikel pada waktu t.
" Fisika - Pada teori benang komponen paling kecil dan tidak bisa dipecah dari Jagat raya bukanlah partikel tetapi loop yang berlaku seperti benang yang bergetar. Dimana jagat waktu Einstein adalah 4 dimensi, sedangkan benang ada dalam dunia 11-dimensi
Menemukan norm dan jarak
Menghitung Panjang vektor u dalam ruang Rn
jika u = (u1,u2,u3,...,un)
Maka Panjang vektor u dan Menghitung jarak antara vektor u dengan vektor v Bentuk Newton
interpolasi polinominal
p(x)=\(a_{n}x^{n}\)+\(a_{n}\)-\(1^{xn}\)-1+...+\(a_{1}x\)+\(a_{0}\) adalah bentuk standar. Tetapi ada juga yang menggunakan bentuk lain . Contohnya , kita mencari interpolasi titik dari
data \(x_{0}\),\(y_{0}\),\(x_{1}\),\(y_{1}\),\(x_{2}\),\(y_{2}\),\(x_{3}\),\(y_{3}\).
Jika kita tuliskan
P(x)=\(a_{3}x^{3}\)+\(a_{2}x^{2}\)+\(a_{1}x\)+\(a_{0}\)
bentuk equivalentnya :
\(p(x)\)=\(a_{3}\)\(x-x_{0}\)\(^{3}\)+p(x)=\(a_{2}\)\(x-x_{0}\)\(^{2}\)+p(x)=\(a_{1}\)\(x-x_{0}\)+\(a_{0}\)
dari kondisi interpolasi \(p(x_{0}\)=\(y_{o}\) maka didapatkan a0=yo , sehingga dapat kita tuliskan menjadi
p(x)=\(b_{3}\)\((x-x_{0})\)\((x-x_{1})\)\((x-x_{2})\)+\(b_{2}\)\((x-x_{0})\)\((x-x_{1})\)+\(b_{1}\)\(x-x_{0}\)+\(b_{0}\) inilah yang disebut newton form dari interpolasi , sehingga kita dapatkan :
\(p(x_{0}\)=\(b_{0}\)
\(p x_{1}\)=\(b_{1}h_{1}\)+\(b_{0}\)
\(px_{2}\)=\(b_{2}\)\(h_{1}\)+\(h_{2}\)\(h_{2}\)+\(b_{1}\)\(h_{1}\)+\(h_{2}\)+\(b_{0}\)
\(px_{3}\)=\(b_{3}\)\(h_{1}\)+\(h_{2}\)+\(h_{3}\)\(h_{2}\)+\(h_{3}\)\(h_{3}\)+\(b_{2}\)\(h_{1}\)+\(h_{2}\)+\(h_{3}\)\(h_{2}\)+\(h_{3}\)+\(b_{1}\)\(h_{1}\)+\(h_{2}\)+\(h_{3}\)+\(b_{0}\)
Operator Refleksi
Berdasarkan operator T:R2 \(\rightarrow\) R2 yang memetakan tiap vektor dalam gambaran simetris terhadap sumbu y, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
\(x_{1}\) = -x = -x + 0y
\(x_{2}\) = y = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Secara umum, operator pada R2 dan R3 yang memetakan tiap vektor pada gambaran simetrinya terhadap beberapa garis atau bidang datar dinamakan operator refleksi. Operator ini bersifat linier.
Operator Proyeksi
Berdasarkan operator T:R2 \(\rightarrow\) R2 yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi tegak lurus terhadap sumbu x, dimisalkan w=T(x), maka persamaan yang berhubungan dengan x dan w adalah:
\(x_{1}\) = x = x + 0y
\(x_(2)\) = 0 = 0x + y
atau dalam bentuk matrik :
Persamaan tersebut bersifat linier, maka T merupakan operator linier dan matrikx T adalah:
Secara umum, sebuah operator proyeksi pada R2 dan R3 merupakan operator yang memetakan tiap vektor dalam proyeksi ortogonal pada sebuah garis atau bidang melalui asalnya.
Sebuah operator yang merotasi tiap vektor dalam \(R^{2}\) melalui sudut lancip disebut operator rotasi pada \(R^{2}\). Untuk melihat bagaimana asalnya adalah dengan melihat operator rotasi yang memutar tiap vektor searah jarum jam melalui sudut lancip positif yang tetap. Unutk menemukan persamaan hubungan x dan w=T(x),
dimisalkan y adalah sudut dari sumbu x positif ke x dan r adalah jarak x dan w. Lalu, dari rumus trigonometri dasar x = r cos \(theta\) ; y = r cos \(theta\) dan \(w_{1}\) = r cos \(theta\) + \(Phi\) ; \(w_{2}\)= r sin \(theta\) + \(Phi\)
Menggunakan identitas trigonometri didapat:
\(w_{1}\) = r cos \(theta\) cos \(Phi\) - r sin \(theta\) sin \(Phi\)
\(w_{2}\) = r sin \(theta\) cos \(Phi\) + r cos \(theta\) sin \(Phi\)
kemudian disubtitusi sehingga:
\(w_{1}\) = x cos \(theta\) - y sin \(theta\)
\(w_{2}\) = x sin \(theta\) + y cos \(theta\)
Persamaan diatas merupakan persamaan linier, maka T merupakan operator linier sehingga bentuk matrik dari persamaan diatas adalah:
Interpolasi Polinomial
Dengan menganggap masalah pada interpolasi polinomial untuk deret n + 1 di titik \(x_{0}\),\(y_{0}\)...., \(x_{n}\),\(y_{n}\). Maka, kita diminta untuk menemukan kurva p(x) = \(a_{m}\)\(x^{m}\) + \(a_{m-1}\)\(x^{m - 1}\) + ... + \(a_{1}\)x + \(a_{0}\) dari sudut minimum yang melewati setiap dari titik data. Kurva ini harus memenuhi
karena xi diketahui, ini akan menuju pada sistem matrik di bawah ini
Ingat bahwa ini merupakan sistem persegi dimana n = m. Dengan menganggap n = m memberikan sistem di bawah ini untuk koefisien interpolasi polinomial p(x) = (1)
Matrix di atas diketahui sebagai Matrix Vandermonde; kolom j merupakan elemen pangkat j-1. Sistem linier pada (1) disebut menjadi Sistem Vandermonde.
Contoh soal:
Cari interpolasi polinomial pada data (-1,0),(0,0),(1,0),(2,6) menggunakan Sistem Vandermonde.
Jawab:
Bentuk Sistem Vandermonde(1):
Untuk data di atas, kita mempunyai
Untuk mendapatkan solusinya, digunakan Gaussian Elimination
Baris ke-2, ke-3, dan ke-4 dikurangi baris pertama
Baris ke-3 dibagi dengan 2, sedangkan baris ke-4 dibagi dengan 3
Baris ke-3 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-2
Baris ke-4 dibagi dengan 2
Baris ke-4 dikurangi baris ke-3
Didapatkan persamaan linier dari persamaan matrix di atas
Jadi, interpolasinya adalah
1.Diketahui x1 dan y1 memenuhi persamaan
2x – 3y = 7 dan 3x – 4y = 9
Nilai x1 + y1 = ….
A.– 4
B.– 2
C.– 1
D. 3
E. 4
Jawab A
Pembahasan :
2x – 3y = 7 | 3| 6x – 9y = 21
3x – 4y = 9 | 2| 6x – 8y = 18 -
y=-3
2x – 3y = 7
2x – 3.(-3) = 7
2x + 9 = 7
2x = - 2
x = - 1
Jadi x1 + y1 = ( - 1 ) + ( - 3 )= - 4
2. Harga 2 koper dan 5 tas adalah Rp. 600.000,00 sedangkan harga 3 koper dan 2 tas adalah Rp 570.000,00. Harga sebuah koper dan 2 tas adalah ….
A. Rp. 240.000,00
B. Rp. 270.000,00
C. Rp. 330.000,00
D. Rp. 390.000,00
E. Rp. 400.000,00
Jawab : B
Pembahasan :
Misal koper = K ; Tas = T
2 K + 5 T = 600.000 ...(1)
3K + 2T = 570.000 …(.2)
Dari (1) dan (2)
2 K+5 T = 600.000 x 3 - 6K + 15 T = 1800.000
3K +2T = 570.000 x 2 - 6K + 4 T = 1140.000
11T = 660.000
T = 60.000
2 K + 5 T = 600.000
2K = 600.000 – 5 T
2K = 600.000 – 5. 60.000
2K = 300.000
K = 150.000
Maka harga sebuah koper dan 2 tas adalah:
K + 2 T = 150.000 + (2 \(\times\) 60.000) = Rp. 270.000,-
1. Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
2x + 3y = 1
3x + y = 5
Penyelesaian:
A.cara eleminasi dan subtitusi
eleminasi X
2x + 3y = 1 |X 3 |6x + 9y= 3
3x + y = 5|X 2 |6x + 2y= 10
.
7y = -7
y = \(\frac{-7}{7}\)
y = -1
subtitusi y
kesalah satu persamaan (cari yang paling cepat/sederhana)
3x + y = 5
3x - 1 = 5
3x = 5 + 1
x = \(\frac{6}{3}\)
x = 2
Maka Hp-nya adalah (x,y) = (2,-1)
No 2 :
2x + 3y = 1
3x + y = 5
ubah kebentuk persamaan matriks
masukkan persamaan ke dalam rumus
maka HP-nya sama dengan cara A yakni (x,y)=(2,-1)
SOAL NO.3 (cara subtitusi)
Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan linear berikut:
3x + 2y = -2
x - 2y = 10 .
Penyelesaian :
Cara Subtitusi
x - 2y = 10 \(\leftrightarrow\) x = 2y + 10
3x + 2y = -2
Subsitusikan persamaan (1) ke (2)
3x + 2y = -2
3( 2y + 10 ) + 2y = -2
6y + 30 + 2y = - 2
8y \hspace*{2.0cm}= -32
y \hspace*{2.0cm} = - 4
Subsitusikan nilai y = -4 ke persamaan (1)
x = 2y + 10
x = 2(-4) + 10
x = -8 + 10
x = 2
maka HP dari persamaan diatas adalah (x,y) = ( 2, -4 ).
SOAL NO.4 (cara eleminasi)
Jika 2x + 5y = 11 dan 4x - 3y = -17,
tentukanlah nilai dari 2x - y = . . ..
Penyelesaian:
A.cara eleminasi
Eliminasi x
2x + 5y = 11 |X 2| 4x + 10y= 22
4x - 3y = -17 |X 1| 4x - 3y= -17 -
13y =39
y =\(\frac{39}{13}\)
y = 3
Eliminasi y
2x + 5y = 11 |X 3| 6x + 15y= 33
4x - 3y = -17 |X 5| 20x - 15y= -85 +
26x =-52
x =\(\frac{-52}{26}\)
x = -2
setelah nilai variabel ditemukan subtitusilah ke pers yang ditanya:
Nilai :
2x - y = ..
2(-2) - 3 = - 7
Contoh Soal Sistem Persamaan Linear Dua Variabel dan Pembahasannya
Contoh Soal 1
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut ini dengan metode substitusi:
x + y = 8
2x + 3y = 19
Jawab :
x + y = 8…. (1)
2x + 3y = 19 … (2)
x + y = 8
x \hspace*{1.2cm}= 8- y
Subtitusikan x = y - 8 ke dalam persamaan 2
2 (8- y) + 3y = 19
16 - 2y + 3y = 19
16 + y = 19
y\hspace*{2.0cm} = 3
Subtitusikan y = 3 ke dalam persamaan 1
x + 3 = 8
x = 5
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 5 dan y = 3
Contoh Soal 2
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode eliminasi:
2x - y = 7
x + 2y = 1
Jawab :
Eliminasi x
2x - y = 7 | x1 \(\rightarrow\) 2x - y = 7 ... (3)
x + 2y = 1 | x2 -\(\rightarrow\) 2x - 4y = 2 ... (4)
2x - y = 7
x + 2y = 7
-5y = 5
y = -1
Eliminasi y
2x - y = 7 | x2 \(\rightarrow\) 4x - 2y = 14 ... (5)
x + 2y = 1 | x1 \(\rightarrow\) x + 2y = 1 ... (6)
4x - 2y = 14
x - 2y = 1 - 5x =15
x \hspace*{2.5cm}= 3
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = 3 dan y = -1
Contoh Soal 3
Tentukan penyelesaian dari SPLDV berikut dengan metode campuran:
x + y = -5
x - 2y = 5
jawab :
Eliminasi x
x + y = -5
x - 2y = 5 -
3y = -9
y = -3
Substitusi y
x + (-3) = -5
x = -2
Jadi, penyelesaian dari SPLDV tersebut adalah x = -2 dan y = -3
Contoh Soal 4
Umur Melly 7 tahun lebih muda dari umur Ayu. Jumlah umur mereka adalah 43 tahun. Tentukanlah umur mereka masing-masing !
Jawab :
Misalkan umur melly = x dan umur ayu = y, maka
y - x = 7… (1)
y + x = 43… (2)
y = 7 + x
subtitusikan y = 7 + x kedalam persamaan 2
7 + x + x = 43
7 + 2x = 43
2x\hspace*{1.4cm} = 36
x = 18
y = 7 + 18 = 25
Jadi, umur melly adalah 18 tahun dan umur ayu 25 tahun.
Contoh Soal 5
sebuah taman memiliki ukuran panjang 8 meter lebih panjang dari lebarnya. Keliling taman tersebut adalah 44 m. tentukan luas taman !
Jawab :Luas taman = p \(\times\) l
P = panjang taman
L = lebar taman
Model matematika :
P \hspace*{2.5cm}= 8 + l
k \hspace*{2.5cm}= 2p + 2l
2 ( 8 + l) + 2l = 44
16 + 2l + 2l = 44
16 + 4l = 44
4l \hspace*{2.2cm}= 28
l \hspace*{2.3cm}= 7
P \hspace*{2.3cm}= 7 + 8 = 15
Luas = 7 \(times\) 15 = 105 m2
Jadi, luas taman tersebut adalah 105 m2
1. Nilai p, yang memenuhi persamaan 4x + 3y = 20 dan 2x - y = 3 adalah…
a.0
b. 1
c. 2
d. 3
Penyelesaian :
4p + 3q = 20….(1)
2p - q = 3 ….(2)
Pilih salah satu persamaan misalnya persamaan (2), kemudian nyatakan salah satu variabelnya
dalam bentuk variable yang lain.
2p - q = 3
-p = 3 - 2p
q = 2p + 3 …(3)
Substitusi persamaan(3) pada persamaan(1)
4p + 3q\hspace*{1.4cm} = 20
4p + 3(2p + 3) = 20
4p + 6p + 9 = 20
10p\hspace*{2.1cm} = 20
p \hspace*{2.5cm}= 2
2. Nilai x dan y berturut-turut yang memenuhi persaman x + 5y = 13 dan 2x - y = 4 adalah…
a. 2 dan 3
b. 3 dan 2
c. 4 dan 6
d. 1 dan 2
Penyelesaian:
x + 5y = 13 \(\times\) 2 2x + 10y = 26
2y - y \hspace*{0.2cm}= 4 \(\times\) 1 2x - y = 4
11y = 22
y = 2
Substitusi y = 2 pada salah satu persamaan
x + 5y \hspace*{0.2cm}= 13
x + 5(2) = 13
x + 10 \hspace*{0.2cm}= 13
x = 13 - 10
x = 3
3. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x + 2y = 4 dan 3x +
y = 6 adalah:
a. 2,0
b. 0,2
c. -2,0
d. 0,-2
Penyelesaian:
2x + 2y = 4 \(\times\) 1 2x + 2y = 4
3x + y \hspace*{0.2cm}= 6 \(\times\) 2 6x + 2y = 12
-4x = -8
x \hspace*{1.2cm}= 2
Substitusi x = 2 pada salah satu persamaan
2x + 2y = 4
2(2) + 2y = 4
4 + 2y = 4
2y \hspace*{1.2cm}= 0
y = 0
4. Harga 8 buah buku tulis dan 6 buah pensil Rp. 14.400,00 harga 6 buah buku tulis dan 5 buah
pensil Rp. 11.200,00. Jumlah harga 5 buah buku tulis dan 8 buah pensil adalah…
a. Rp. 13.600,00
b. Rp. 12.800,00
c. Rp. 12.400,00
d. Rp. 11.800,00
Penyelesaian :
Model matematikanya adalah :
Missal buku tulis = x
Pensil = y
8x + 6y = 14.400,00 \(\times\) 5
6x + 5x = 11.200,00 \(\times\) 6
40x + 30y = 72.000,00
36x + 30y = 67.200,00
4x \hspace*{1.4cm}= 4800
x = 1200
Substitusi x = 1200 pada salah satu persamaan
6x + 5y = 11.200
6(1200) + 5y = 11.200
7200 + 5y = 11.200
5y \hspace*{2.0cm}= 11.200 - 7200
5y \hspace*{2.0cm}= 4000
y \hspace*{2.3cm}= 800
5x + 8y = 5 1200 + 8(800)
6000 + 6400 = 12400
5. Penyelesaian dari sistem persamaan
3x + 5y = -9 dan 5x + 7y = -19 adalah x dan y.
Nilai 4x + 3y adalah…
a. -41
b. -36
c. -23
d. -12
Penyelesaian:
3x + 5y = -9 \(\times\) 5 15x + 25y = -45
5x + 7y = -19 \(\times\) 3 15x + 21y =-57
4y = 12
y = 3
3x + 5y = -9
3x + 5 3 = -9
3x + 15 = -9
3x = -24
x \hspace*{1.2cm}= -8
Nilai 4x + 3y adalah
=4 -8 + 3 3 = -32 + 9 = -23
6. Umur Sani 7 tahun lebih tua dari umur Ari.
Sedangkan jumlah umur mereka adalah 43 tahun.
Berapakah umur masing-masing …
a. Sani 24 tahun dan Ari 19 tahun
b. Sani 25 tahun dan Ari 18 tahun
c. Sani 26 tahun dan Ari 17 tahun
d. Sani 27 tahun dan Ari 16 tahun
Penyelesaian :
Misal:
Umur Sani = x tahun
Umur Ari = y tahun
x = 7 + y …(1)
x + y = 43 …(2)
Substitusi persamaan(1) pada persamaan (2)
x + y = 43
7 + y + y = 43
7 + 2y = 43
2y = 43 - 7
y = 18
Substitusi y = 18 pada persamaan (1)
x = 7 + y
x = 7 + 18
x = 25
7. Harga 2 kg salak dan 3 kg jeruk adalah RP.32.000,00, sedangkan harga 3 kg salak dan 2 kg jeruk
adalah RP.33.000,00. Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah…
a. Rp. 49.000,00
b. Rp. 41.000,00
c. Rp. 37.000,00
d. Rp. 30.000,00
Penyelesaian:
Misal :
Harga 1 kg salak dilambangkan s
Harga I kg jeruk dilambangkan j
Diperoleh :
2s + 3j = 32.000 × 3 6s + 9j = 96.000
3s + 2j = 33.000 \(\times\) 2 6s + 4j = 66.000
5j = 30.000
j = 6000
Bila harga 1 kg jeruk adalah Rp.6000,00 maka:
2s + 3 6000 = Rp.32000
2s + 18.000 = 32.000
2s = 14.000
s = 7000
Harga 1 kg salak dan 5 kg jeruk adalah
=Rp. 7000,00 + 5(Rp.6000,00)
=Rp.37.000
8. Berapakah nilai 6x - 2y jika x dan y
merupakan penyelesaian dari system persamaan
3x + 3y = 3 dan 2x - 4y = 14…
a. -16
b. -12
c. 16
d. 18
Penyelesaian :
3x + 3y = 3 \(\times\) 2 6x + 6y = 6
2x - 4y = -14 \(\times\) 3 6x - 12y = 42
18y = -36
y = -2h
3x + 3y = 3
3x + 3 - 2 = 3
3x - 6 = 3
3x = 9
x = 3
Nilai 6x - 2y adalah:
=6 3 + 2 - 2 = 18 - 4 = 14
9. Nilai x dan y yang memenuhi persamaan linier
2x + y = 6, dan 2x+4y = 9 adalah…
a. Y = -1 dan x = \(\frac{2}{5}\)
b. Y = 1 dan x = \(\frac{5}{2}\)
c. Y = -1 dan x = \(\frac{3}{5}\)
d. Y = 1 dan x = \(\frac{5}{3}\)
e. Y = \(\frac{5}{2}\)
dan x = 1
Penyelesaian :
2x + y = 6
2x + 4y = 9
-3y = -3
Y = 1, dengan mensibstitusikan y = 1 pada persamaan 2x + y= 6,
didapat x =\(\frac{5}{2}\)
Jadi diperolehlah nilai y=1 dan x=\(\frac{5}{2}\).
10. Andi membeli 1 pulpen dan 1 buku dengan harga Rp 2000,-
di toko yang sama Budi membeli 5 pulpen dan
2 buku dengan harga Rp 7000,- . berapaka harga 1 buah pilpen?
a. Rp 1000,-
b. Rp 1500,-
c. Rp 850,-
d. Rp 500,-
e. Rp 1200,-
Penyelesaian :
Missal x = pulpen dan y= buku
Maka diperoleh persamaan x + y = 2000, dan 5x +2y = 7000. Sehinggga:
X + y = 2000 \(\times\) 2 2x + 2y = 4000
5x + 2y = 7000 \(\times\) 1 5x + 2y
7000 -3x = -3000
X = 1000, jadi harga 1 pulpen adalahRp 1000,-
TUGAS ALJABAR LINEAR
Latihan 5.1
Tentukan apakah himpunan di bawah ini merupakan ruang vektor.
Bila bukan ruang vektor tuliskan aksioma-aksioma yang tidak terpenuhi !
1.Himpunan semua tripel bilangan real (x, y, z) dengan operasi
(x, y, z) + (x', y', z') = (x+x',y+y', z+z') dan
k(x, y, z) = (kx, y, z)
jawaban ;
himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi
aksioma kedelapan, yaitu;
(A8) (k+l)u = ku + lu
Ambil k=2, l=3, dan u=(3,4,5)
(k +l)u = (2+3)(3,4,5)
= 5(3,4,5)
= (15,4,5)
(ku + lu)= 2(3,4,5)+ 3(3,4,5)
= (6,4,5) +(9,4,5)
= (15,8,10)
Karena (k+l)u - ku + lu maka himpunan tersebut bukan ruang vektor.
6.Himpunan semua pasangan bilangan real berbentuk (x, y),
di mana x \(\geq\) 0, dengan operasi standar pada R2
Jawaban;
Himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi
aksioma kelima dan aksioma keenam, yaitu;
(A5) (u) + (-u) = (-u)+ (u) = \({\o}\)
Ambil u =(3, 4) dan v=(0,0)
Misal (-u) = v , maka
u + v = \({\o}\)
(3, 4) + (x, y) = (0,0)
(x, y) =(0 +(-3), 0+ (-4))
(x, y) =(-3,-4)
Dimana x = -3 tidak memenuhi \(x \geq 0\) jadi aksioma kelima tidak dipenuhi.
(A6) untuk sebarang skalar \(k dan u \in V\), berlaku \(ku \in V\)
Ambil k=-2, u=(3, 5)
Ku =(-2)(3, 5) = (-6,-10)
Karena -6 \(leq\) 0 maka ku bukan anggota V jadi aksioma keenam
tidak dipenuhi.Jadi himpunan tersebut bukan ruang vektor karena tidak memenuhi (A5) dan (A6).
Diketahui system Persamaan Liniear
\(a_{11}\) \(x_{1}\)+ \(a_{12}\) \(x_{2}\) + \(a_{13}\) \(x_{3}\) = \(b_{1}\)
\(a_{21}\) \(x_{1}\)+ \(a_{22}\) \(x_{2}\) + \(a_{23}\) \(x_{3}\) = \(b_{2}\)
\(a_{31}\) \(x_{1}\)+ \(a_{32}\) \(x_{2}\) + \(a_{33}\) \(x_{3}\) = \(b_{3}\)
dalam bentuk matriks Penyelesaian Dengan Aturan Cramer adalah sbb:
Maka \(x_{1}\) = \(x_{2}\) =\(x_{3}\)
Sistem Linear Dalam Bentuk Ax = \(\lambda\)
dalam sistem aljabar linear sering ditemukan
Ax = \(\lambda\) x ; dimana \(\lambda\) adalah skalar
sistem linear tersebut dapat juga ditulis dengan \(\lambda\) x-Ax=0,
atau dengan memasukkan matrix identitas menjadi
\(\lambda\)I - A) x = 0
contoh:
diketahui persamaan linear
\(x_{1}\) + \(3x_{2}\) = \(\lambda\) \(x_{1}\)
\(4x_{1}\) + \(2x_{2}\) = \(\lambda\) \(x_{2}\)
Soal No. 1
Diberikan dua persamaan linier 2x + y = 12 dan x - y = 3 .
Tentukan nilai x dan nilai y dengan menggunakan metode eliminasi!
Pembahasan
Untuk menentukan nilai x, maka y kita eliminasi terlebih dahulu:
2x + y = 12
x - y = 3
3x = 15
x = \(\frac{15}{3}\) = 5
Untuk menentukan nilai y, maka x yang kita eliminasi:
2x + y = 12 |× 1 | 2x + y = 12
x - y = 3 |× 2 | 2x - 2y = 6
3y = 6
y = \(\frac{6}{3}\) = 2
Himpunan Penyelesaian HP:{(5, 2)}
\newpage
Soal No. 2
Harga dua baju dan satu kaos Rp 170.000,00,
sedangkan harga satu baju dan tiga kaos Rp 185.000,00.
Harga tiga baju dan dua kaos adalah…..
A. Rp 275.000,00
B. Rp 285.000,00
C. Rp 305.000,00
D. Rp 320.000,00
Pembahasan
Baju = x
Kaos = y
Harga dua baju dan satu kaos Rp 170000
2x + y = 170000
Harga satu baju dan tiga kaos Rp 185000
x + 3y = 185000
Susun kedua persamaan:
2x + y = 170000 (× 3)
x + 3y = 185000 (× 1)
menjadi
6x + 3y = 510000
x + 3y = 185000
5x = 325000
x = \(\frac{325000}{5}\) = 65000
Substitusikan nilai x
x + 3y = 185000
65000 + 3y = 185000
3y = 185000 - 65000
3y = 120000
y = 120000/3 = 40000
Jadi harga satu baju adalah 65000
harga satu kaos adalah 400000
Untuk 3 baju dan 2 kaos
Harga = 3(65000) + 2(40000) = 195000 + 80000 = 275000 rupiah
Soal No. 5
Diketahui sistem persamaan
3x + 7y = 1
2x – 3y = 16
Nilai x y =....
A. 8
B. 6
C. –10
D. –12
Pembahasan
3x + 7y = 1 (× 2) 6x + 14y = 2
2x – 3y = 16 (× 3) 6x – 9y = 48
23y = - 46
y \(\frac{-46}{23}\) = - 2
3x + 7y = 1
3x - 14 = 1
3x = 1 + 14
3x = 15
x = \(\frac{15}{3}\)
x = 5
Sehingga xy = (-2)(5) = - 10
Soal No. 1
Diberikan dua buah persamaan yaitu persamaan linear
dua variable dan kuadrat sebagai berikut:
(i) y = 2x + 3
(ii) y = x2 - 4x + 8
Tentukan himpunan penyelesaian (Hp) dari kedua
persamaan tersebut di atas!
Pembahasan
Substitusikan y dari persamaan (i) ke y
pada persamaan (ii), atau sebaliknya dari (ii)
ke (i), lanjutkan dengan operasi aljabar.
x2 - 4x + 8 = 2x + 3
x2 - 4x + 8 - 2x - 3 = 0
x2 - 6x + 5 = 0
Berikutnya faktorkan:
x2 - 6x + 5 = 0
(x - 1)(x - 5) \hspace*{1.2cm}= 0
Dapatkan nilai x yang pertama:
x - 1 = 0
x = 1
Dapatkan nilai x yang kedua:
x - 5 = 0
x = 5
Berikutnya mencari nilai-nilai dari y dengan substitusi
nilai x ke persamaan (i):
Untuk x = 1 maka\
y = 2x + 3
y = 2(1) + 3
y = 2 + 3
y = 5
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (1, 5)
Untuk x = 5 maka
y = 2x + 3
y = 2(5) + 3
y = 10 + 3
y = 13
Dari sini didapatkan pasangan (x, y) yaitu (5, 13)
Sehingga himpunan penyelesaiannya Hp :{(1, 5), (5, 13)}
Jika lupa bagaimana cara memfaktorkan, bisa dibaca lagi.
Soal No. 2
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) y = 5x + 4
(ii) y = x2 + 13x - 16
Pembahasan
x2 + 13x - 16 = 5x + 4
x2 + 13x - 16 - 5x - 4 = 0
x2 + 8x - 20 = 0
(x + 10)(x - 2)\hspace*{1.2cm} = 0
Nilai x yang pertama
x + 10 = 0
x = - 10
Nilai x yang kedua
x - 2 = 0
x = 2
Nilai-nilai y, dari persamaan pertama:
Untuk x = - 10 didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(-10) + 4 = - 46
Untuk x = 2, didapat nilai y
y = 5x + 4
y = 5(2) + 4 = 14
Hp : {(- 10, - 46), (2, 14)}
Bagaimana jika SPLK bagian kuadratnya mengandung
bentuk implisit yang dapat difaktorkan Seperti contoh berikutnya.
Soal No. 3
Diberikan dua buah persamaan sebagai berikut:
(i) x - y = 5
(ii) x2 - 6yx + 9y2 - 9 = 0
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan-persamaan di atas!
Pembahasan
(i) x - y = 5
(ii) x2 - 6yx + 9y2 - 9 = 0
Terlebih dahulu faktorkan persamaan kuadratnya,
ada beberapa cara untuk memfaktorkan
bentuk "kuadrat dalam kuadrat" seperti bentuk di atas,
salah satunya sebagai berikut:
Ingat kembali bentuk ax2 + bc + c = 0 .
Jika diterapkan pada persamaan (ii) maka didapat
nilai a, b dan c sebagai berikut:
x2 - 6yx + 9y2 - 9 = 0
a = 1
b = - 6y
c = 9y2 - 9
Sehingga:
x2 - 6yx + 9y2 - 9 = 0
(x - 3y - 3)(x - 3y + 3) = 0
Dari pemfaktoran ini kita dapat dua persamaan baru yaitu:
x - 3y - 3 = 0 .....(iii)
x - 3y + 3 = 0 .....(iv)
Dari persamaan (ii) dan (iii)
x - y = 5
x - 3y = 3
2y = 2
y = 1
x - y = 5
x - 1 = 5
x = 6
Dari persamaan (ii) dan (iv)
x - y = 5
x - 3y = - 3
2y = 8
y = 4
x - y = 5
x - 4 = 5
x = 9
Sekian dulu ya untuk penjelasan di Aljabar Linear Matriks.
Aljabar Linear Matriks
Selesai