Haii adik-adik...
Selamat datang di halaman contoh soal dan pembahasan Matematika "Tiga Dimensi". Di halaman ini akan membahas tentang contoh soal dan pembahasan Matematika lengkap mengenai Tiga Dimensi.
Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan dibawah ini!
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk \(8 cm \). M adalah titik tengah EH. Jarak titik M ke AG adalah ...
a) \(4\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
b) \(4\sqrt{5}\textrm{ cm}\)
c) \(4\sqrt{3}\textrm{ cm}\)
d) \(4\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
e) \(4\textrm{ cm}\)
\(\textrm{Segitiga AGM merupakan segitiga sama kaki, karena panjang AM=MG.}\\\bullet \textrm{Panjag AM:}\\\textrm{Perhatikan segitiga AEM, siku-siku di E.}\\\textrm{AM= }\sqrt{\textrm{AE}^{2}+\textrm{EM}^{2}}=\sqrt{8^{2}+4^{2}}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}\textrm{ cm}\\\bullet \textrm{AG= diagonal ruang kubus =}8\sqrt{3}\textrm{ cm}\\\textrm{Segitiga AGM merupakan segitiga sama kaki maka garis MT \\(jarak titik M ke garis AG ) membagi AG menjadi dua sama panajang. sehingga panjang AT=TG=}4\sqrt{3}\textrm{ cm}\\\textrm{Perhatikan segitiga AMT.}\\\textrm{MT=}\sqrt{\textrm{MA}^{2}+\textrm{AT}^{2}}=\sqrt{\left ( 4\sqrt{5} \right )^{2}-\left ( 4\sqrt{3} \right )^{2}}=\sqrt{80-40}=\sqrt{32}=4\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
2. \(\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk 10 cm. Kosinus sudut antara garis GC dan bidang BDG adalah...}\)
a) \(\frac{1}{3}\sqrt{6}\)
b) \(\frac{1}{2}\sqrt{3}\)
c) \(\frac{1}{2}\sqrt{2}\)
d) \(\frac{1}{3}\sqrt{3}\)
e) \(\frac{1}{3}\sqrt{2}\)
\(\textrm{Segitiga OCG adalah segitiga siku-siku.}\\\textrm{Panjang GC=10 cm}\\\textrm{Panjang OC =}\frac{1}{2}\textrm{ diagonal ruang}=\frac{1}{2}\cdot 10\sqrt{2}=5\sqrt{2}\\\textrm{Panjang OG =}\sqrt{\textrm{OC}^{2}+\textrm{CG}^{2}}=\sqrt{\left ( 5\sqrt{2} \right)^{2}+10^{2}}=\sqrt{50+100}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\textrm{ cm}\\\textrm{Karena, segitiga OCG siku-siku di C maka }\cos \beta =\frac{\textup{CG}}{\textrm{OG}}=\frac{10}{5\sqrt{6}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{1}{3}\sqrt{6}\)
3. \(\textrm{Sebuah kubus ABCD.EFGH dengan panjang sisi 6 cm, dan titik P merupakan titik potong diagonal EG dan FH. Jarak antara titik B dan titik P adalah...}\)
a) \(4\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
b) \(3\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
c) \(3\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
d) \(3\textrm{ cm}\)
e) \(2\sqrt{3}\textrm{ cm}\)
\(\textrm{Panjang BF=6 cm;FP=}3\sqrt{2}\textrm{ cm}\left ( \frac{1}{2}\textrm{ dari diagonal sisi kubus} \right )\\\textrm{Sehingga:}\\\textrm{BP=}\sqrt{\textrm{BF}^{2}+\textrm{FP}^{2}}\left ( \textrm{Menggunakan teorema phytagoras} \right )\\\textrm{BP=}\sqrt{6^{2}+\left ( 3\sqrt{2} \right )^{2}}=\sqrt{36+18}=\sqrt{54}=3\sqrt{6}\\\textrm{Jadi, jarak B ke P adalah }3\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
4. \(\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH, rusuk-rusuknya 10 cm. Jarak titik F ke garis AC adalah....}\)
a) \(\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
b) \(5\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
c) \(5\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
d) \(10\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
e) \(10\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
\(\textrm{Panjang segitiga BFP, siku-siku di B.}\\\textrm{Panjang BF=10 cm; BP=}5\sqrt{2}\textrm{cm}\textrm{( setengah diagonal sisi kubus.)}\\\textrm{Sehingga, PF=}\sqrt{\textrm{BF}^{2}+\textrm{BP}^{2}}\textrm{(teorema phytagoras).}\\\Rightarrow \textrm{PF=}\sqrt{10^{2}+\left ( 5\sqrt{2} \right )^{2}}\\\Rightarrow \textrm{PF=}\sqrt{100+50}=\sqrt{150}=5\sqrt{6}\\\textrm{Jadi, jarak titik F ke AC adalah }5\sqrt{6}\textrm{ cm}\)
5. \(\textrm{Jarak antara titik C dengan bidang BDG dalam kubus ABCD.EFGH yang panjang rusuknya 6 cm adalah....cm}\)
a) \(3\sqrt{2}\)
b) \(2\sqrt{6}\)
c) \(\sqrt{6}\)
d) \(\sqrt{3}\)
e) \(2\sqrt{3}\)
\(\textrm{Panjang CG=6 cm; PC=}3\sqrt{2}\textrm{ cm}.\\\textrm{Sehingga:}\\\tan \angle \textrm{CPG=}\frac{\textrm{CG}}{\textrm{PC}}=\frac{6}{3\sqrt{2}}=\sqrt{2}.\\\tan \alpha =\sqrt{2}\\\textrm{Sehingga, panjang QS=}\sqrt{3}\\\textrm{Maka, }\sin \alpha =\sin \angle \textrm{CPG}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\\\textrm{Jarak titik C ke bidang BDG adalah CK.}\\\textrm{CK= }\sin \angle \textrm{CPG}\times \textrm{CP}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}\times 3\sqrt{2}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}\textrm{ cm}\)
6. \(\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan rusuk a cm. titik P terletak pada perpanjang BC sehingga BC=CP. Jarak titik P ke bidang BDHF adalah...}\)
a) \(a\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
b) \(\frac{3}{2}a\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
c) \(2a\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
d) \(a\sqrt{5}\textrm{ cm}\)
e) \(2a\textrm{ cm}\)
\(\textrm{Segitiga BDP, panjang BD=DP=}a\sqrt{2}\textrm{ cm; panjag BP=2a}\\\Rightarrow \cos \textrm{BDP=}\frac{\left ( a\sqrt{2} \right )^{2}+\left ( a\sqrt{2}^{2}\right )-\left ( 2a \right )^{2}}{2\cdot a\sqrt{2}\cdot a\sqrt{2}}=\frac{2a^{2}+2a^{2}-4a^{2}}{4a^{2}}=\frac{0}{4a^{2}}=0\\\Rightarrow \angle \textrm{BDP=}90^{\circ }\\\textrm{Sehingga jarak titik P ke bidang BDHF adalah garis DP=}a\sqrt{2}\textrm{ cm}\)
7. \(\textrm{Diketahui kubus ABCD.EFGH. titik P,Q dan R pertengahan rusuk AE,AB, dan CG. irisan bidang yang melalui titik P,Q dan R dengan kubus berbentuk...}\)
a) \(\textrm{Trapesium}\)
b) \(\textrm{Segi empat sembarang}\)
c) \(\textrm{Segi empat beraturan }\)
d) \(\textrm{Segi lima}\)
e) \(\textrm{Persegi}\)
\(\textrm{Panjang sisi dari segi enam yang terbentuk adalah sama maka segienam tersebut adalah segi enam beraturan.}\)
8. <img src="soal 8.JPG" alt="soal 8.JPG" title="soal 8" width="138" height="151"></img> \(\textrm{Prisma segitiga tegak ABC.DEF panjang AC=BC=6 cm; AB=10 cm; dan CF=8 cm. Volume prisma tersebut adalah...}\)
a) \(72\textrm{ cm}^{3}\)
b) \(40\sqrt{11}\textrm{ cm}^{3}\)
c) \(64\textrm{ cm}^{3}\)
d) \(144\textrm{ cm}^{3}\)
e) \(148\textrm{ cm}^{3}\)
\(\textrm{Keliling alas }\\=10+6+6=22\textrm{ cm}\\\textrm{Sehingga:}\\S=\sqrt{11\left ( 11-10 \right )\left ( 11-6 \right )\left ( 11-6 \right )}=\sqrt{11.1.5.5}=5\sqrt{11}\textrm{ cm}^{2}\\\textrm{Jadi, volume prisma }\\=\textrm{Luas alas}\times \textrm{Tinggi}\\=5\sqrt{11}\times 8=40\sqrt{11}\textrm{ cm}^{3}\)
9. \(\textrm{Panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah a. Jarak C ke bidang diagonal BH adalah....}\)
a) \(\frac{a}{2}\sqrt{6}\)
b) \(\frac{a}{3}\sqrt{6}\)
c) \(\frac{a}{4}\sqrt{6}\)
d) \(\frac{a}{5}\sqrt{6}\)
e) \(\frac{a}{6}\sqrt{6}\)
\(\textrm{Jrak titik C garis BH adalah CT.}\\\textrm{Perhatikan segitiga BHC, siku-siku di C}\\\textrm{CT=}\frac{\textrm{BC}\times \textrm{CH}}{\sqrt{\textrm{BC}^{2}+\textrm{CH}^{2}}}=\frac{a\times a\sqrt{2}}{\sqrt{a^{2}+\left ( a\sqrt{2} \right )^{2}}}=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{\sqrt{3a^{2}}}=\frac{a^{2}\sqrt{2}}{a\sqrt{3}}=\frac{a\sqrt{2}}{\sqrt{3}}=\frac{a}{3}\sqrt{6}\)
10. \(\textrm{Dalam kubus ABCD.EFGH titik S adalah titik tengah sisi CD dan P adalah titik tengah diagonal ruang BH.}\\ \textrm{Perbadingan antara volume limas P.BCS dan volume ABCD.EFGH adalah....}\)
a) \(1:4\)
b) \(1:6\)
c) \(1:8\)
d) \(1:12\)
e) \(1:24\)
\(\textrm{Misal: panjang sisi kubus = 1}\\\textrm{Maka, volume kubus ABCD.EFGH=1}\\\textrm{Tinggi limas P.BCS}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times \textrm{BC}\times \textrm{CS}\times \textrm{tinggi}=\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}\times 1\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{24}\\\textrm{Sehingga volume limas P.BCS dibanding volume kubus =}\frac{1}{24}:1=1:24\)
Soal Matematika Tiga dimensi Kelas XI SMA Part 1
Selesai