Dalam kehidupan sehari-hari kami sering melihat benda-benda yang berbentuk lingkaran. Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang terletak pada bidang datar. Dalam pembelajaran lingkaran meliputi persamaan lingkaran yang berpusat di \(O(0,0)\) dan berjari-jari \(r\) serta persamaan lingkaran yang berpusat di \(P(a,b)\) dan berjari-jari \(r\). Masing-masing persamaan lingkaran tersebut mempunyai rumus yang berbeda-beda sesuai dengan kedudukan titik pusatnya.}
Persamaan Lingkaran
Dari gambar sebuah lingkaran kami dapat ditentukan sebuah persamaan yang menyatakan hubungan antara peubah \(x\) dan peubah \(y\). Untuk tempat kedudukan titik-titik yang membentuk lingkaran, persamaan yang menghubungkan peubah \(x\) dan peubah \(y\) tadi disebut persamaan lingkaran.
Lingkaran adalah tempat kedudukan atau himpunan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu, titik tertentu tersebut dinamakan titik pusat lingkaran \((P)\) dan jarak yang sama disebut jari-jari lingkaran \((r)\).
Persamaan Lingkaran yang Berpusat di \(O(0,0)\) dan Berjari-jari \(r\)
Dari gambar diatas didapat :
\(L=\{P | OP=r\}\), jika \(P(x,y)\), maka
\(L=\{(x,y) | OP=r\}\)
\(L=\{(x,y)|\sqrt{(x-0)^{2}+(y-0)^{2}}=r\} \)
\(L=\{(x,y)|(x-0)^{2}+(y-0)^{2}=r^{2}\} \)
\(L=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}=r^{2}\} \)
Himpunan semua koordinat \( (x,y) \) yang jaraknya terhadap \( O(0,0) \) berjari-jari \( r \).
Jadi, persamaan lingkaran dengan \( O(0,0) \) berjari-jari \( r \) adalah :
\(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
Contoh
1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \( (0,0) \) dengan ketentuan melalui :
\( A(-2,3) \)
\( K(-1,3) \)
Penyelesaian}:
Persamaan lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) melalui \( A(-2,3) \) , maka :
\((-2)^{2}+(3)^{2}=r^{2}\)
\(4+9=r^{2} \)
\(13=r^{2} \)
\(r=\sqrt{13}\)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0,0) \) dan berjari-jari \(\sqrt{13}\) adalah \(x^{2}+y^{2}=13\).
Persamaan lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) melalui \( A(-1,-4) \) , maka :
\((-1)^{2}+(-4)^{2}=r^{2}\)
\(1+16=r^{2} \)
\(17=r^{2} \)
\(r=\sqrt{17} \)
2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0,0) \) dengan jari-jari \( 4 \) berikut !
Penyelesaian :
\( x^{2}+y^{2} = r^{2}\)
\( x^{2}+y^{2} = 4^{2} \)
\( x^{2}+y^{2} = 16 \)
Persamaan Lingkaran yang Berpusat di \(P(a,b)\) dan Berjari-jari \(r\)
Perhatikan gambar dibawah ini !}
Titik \( Q(x,y) \) adalah titik pada lingkaran yang berpusat di \( P(a,b) \) dan bejari-jari \(r\), maka :
\( L= \{Q(x,y)|QP =r\} \)
\( L= \{Q(x,y)|\sqrt{(x-a)^{2}+(y-b)^{2}}=r^{2}\} \)
\( L=\{Q(x,y)|(x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\} \)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di \( P(a,b) \) dan berjari-jari \(r\) adalah :
\((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)
Contoh
3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \((3,-5)\) dan lingkaran tersebut melalui titik \( (-2,1) \)!
Penyelesaian:
Persamaan lingkaran yang berpusat di \((3,-5)\) dan berjari-jari \(r\) adalah :
\((x-3)^{2}+(y-(-5))^{2}=r^{2} \)
\((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=r^{2}\)
melalui titik \((-2,1)\), maka :
\((-2-3)^{2}+(1+5)^{2}=r^{2}\)
\(25+36=r^{2} \)
\(r=\sqrt{61} \)
Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di \( (3,-5) \) dan melalui \( (-2,1) \) adalah : \((x-3)^{2}+(y+5)^{2}=61\)
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di \( (-3,4) \) dan berjari-jari \( 5 \)!
Penyelesaian}:
Persamaan lingkaran yang berpusat di \( (-3,4) \) dan berjari-jari \( 5 \) adalah :
\( (x-(-3))^{2} +(y-4)^{2}=25\)
\( (x+3)^{2} +(y-4)^{2}=25 \)
\end{itemize}
Bentuk umum Persamaan Lingkaran
Dari rumus persamaan lingkaran yang diketahui melalui \(P(a,b)\) dan berjari-jari \(r\) didapat \( (x-a)^{2} +(y-b)^{2}=r\)
Jika rumus tersebut dijabarkan didapat
\( (x-a)^{2} +(y-b)^{2}=r^{2}\)
\( x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}=r^{2} \)
\( x^{2}-2ax+a^{2}+y^{2}-2by+b^{2}-r^{2}=0 \)
Jika \( -2a= A, -2b=B \) dan \( a^{2}+b^{2} -r^{2}=C\)
Maka \( a=-\frac{1}{2}A, b=-\frac{1}{2}B \) dan \( r=\sqrt{a^{2}+b^{2}-C} \)
\( r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \)
Persamaan lingkaran menjadi :
\(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)
Persamaan diatas disebut bentuk umum persamaan lingkaran yang berpusat di \(\{-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\}\) dengan jari-jari \(r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \)
Contoh
4.Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dari persamaan \( x^{2}+y^{2}-4x-4y-3=0 \) dengan mengubah ke bentuk \( (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2} \) !
Penyelesaian :
\(x^{2}+y^{2}-4x-4y-3=0 \)
\(x^{2}-4x+y^{2}-4y=3\)
\(x^{2}-4x+(-2)^{2}+y^{2}-4y+(-2)^{2}=4+4+3\)
\((x-2)^{2}+(y-2)^{2}=11\)
\( a=2\)
\(b=2\)
\(r ^{2}=11\)
\( P(2,2) \) dan \( r=\sqrt{11} \)
Jadi, titik pusat lingkaran adalah \( P(2,2) \) dan jari-jarinya \( r=\sqrt{11} \).
Kedudukan Titik \(A(x_{1},y_{1})\) terhadap Lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)
Kedudukan titik \( A(x_{1},y_{1}) \) terhadap lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) memiliki ciri-ciri sebagai berikut :
Posisi titik \( A(x_{1},y_{1}) \) terhadap lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\)}
Terletak di dalam lingkaran, jika \( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} <r^{2}\)
Terletak pada lingkaran, jika \( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} =r^{2}\)
Terletak di luar lingkaran, jika \( x_{1}^{2}+y_{1}^{2} >r^{2}\)
Posisi titik \(A(x_{1},y_{1}) \) terhadap lingkaran \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\)
Terletak di dalam lingkaran, jika \((x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}<r^{2}\)
Terletak pada lingkaran, jika \((x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}\)
Terletak di luar lingkaran, jika \((x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}>r^{2}\)
Posisi titik \( A(x_{1},y_{1}) \) terhadap lingkaran \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)
Terletak di dalam lingkaran, jika \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C<0\)
Terletak pada lingkaran, jika \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\)
Terletak di luar lingkaran, jika \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C>0\)
Contoh
5.Tentukan nilai \( m \) agar titik \( (-2,3) \) terletak pada lingkaran \( x^{2}+y^{2}+2mx-4y+3=0 \) !
Penyelesaian :
Titik \( (-2,3) \) terletak pada lingkaran
\(x^{2}+y^{2}+2mx-4y+3=0, \)
\((-2)^{2}+(3)^{2}+2m(-2)-4(3)+3=0\)
\(4+9-4m-12+3=0\)
\(-4m=-4\)
\(m=1\)
6.Tentukan titik-titik berikut terhadap lingkaran yang berpusat di \( (1,3) \) dan berjari-jari \( 5 \)!
\begin{enumerate}
\( R(7,5) \)
\( P(6,3) \)
\( D(10,1) \)
\( H(-2,-3) \)
Penyelesaian :
\( R(7,5) \) disubtitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga \( (7-1)^{2}+(5-3)^{2}=36+4=40>25, R \) berada di luar lingkaran.
\( P(6,3) \) disubtitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga \( (6-1)^{2}+(3-3)^{2}=25+0=25 \), maka \( P \) terletak pada lingkaran.
\( D(10,1) \) disubtitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga \( (10-1)^{2}+(1-3)^{2}=81+4=85>25, D \) berada di luar lingkaran.
\( H(-2,-3) \) disubtitusikan ke persamaan lingkaran, sehingga \( (-2-1)^{2}+(3-3)^{2}=9+0=9<25, H \) berada di dalam lingkaran.
RANGKUMAN
Persamaan lingkaran yang berpusat di \( O(0,0) \) dan berjari-jari di \( r \) adalah \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\).
Persamaan lingkaran yang berpusat di \( P(a,b) \) dan berjari-jari \( r \) adalah \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\).
Bentuk umum persamaan lingkaran adalah \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\), dengan pusat \(\{-\frac{1}{2}A,-\frac{1}{2}B\}\) dan berjari-jari \(r=\sqrt{\frac{1}{4}A^{2}+\frac{1}{4}B^{2}-C} \).
Kedudukan Titik \(A(x_{1},y_{1})\) terhadap Lingkaran \(x^{2}+y^{2}=r^{2}\) meliputi :
Posisi titik \(A(x_{1},y_{1})\) terhadap lingkaran \( x^{2}+y^{2} =r^{2}\).
Posisi titik \(A(x_{1},y_{1})\) terhadap lingkaran \((x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}\).
Posisi titik \(A(x_{1},y_{1})\) terhadap lingkaran \(x^{2}+y^{2}+Ax+By+C=0\).
Seditkit kami berbagi ilmu persamaan lingkaran semoga bermanfaat untuk adik2 semua..
amin
salam kami