Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi
Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga penguasaan kamu terhadap berbagai konsep dan prinsip turunan fungsi membantu kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik/ turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan menggunakan konsep turunan. Pada bagian berikut, kami akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan. kami memulainya dengan menemukan konsep persamaan garis tangen/singgung.
Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen
Coba kami amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kami dalam menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung.
Turunan sebagai Limit Fungsi
Kita telah menemukan konsep garis singgung grafik suatu fungsi dan hubungannya dengan garis sekan dan garis normal. Berikutnya, kita akan mempelajari lebih dalam lagi konsep garis singgung grafik suatu fungsi tersebut untuk mendapatkan konsep turunan.
\(m_{tan}=f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x_{1}+\Delta x)-f(x_{1})}{\Delta x}\) (jika limitnya ada)
Jika f kontinu maka titik P dapat berada di sepanjang kurva sehingga turunan suatu fungsi pada setiap x dalam daerahasal adalah:
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) (jika limitnya ada)
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} = \lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{(x+\Delta x)^n-(x)}{\Delta x}^n\)
Kemudian kira gunakan rumus Binomial Newton untuk menjabarkan \((x + \Delta x)^n\) di atas. Dimana kita telah mengetahui bahwa rumus Binomial Newton sebagai berikut:
\( (a + b)^n=\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix}
n \\
k
\end{pmatrix} a^kb^{n-k}\)
Dari rumus ini, maka kita dapatkan \(a=x\) dan \(b =\Delta x\), sehingga:
\((x + \Delta x)^n =\sum\limits_{k=0}^{n}\begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} x^k \Delta x^{n-k}\)
\(= x^n + \frac{n}{1!}x^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} \Delta x^2\) \( \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} \Delta x^3 + ...\)
Maka Persamaan (1) di atas menjadi :
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)= \( \lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{(x+\Delta x)^n-(x)}{\Delta x}^n\)
=\(\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{(x^n + \frac{n}{1!}x^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} \Delta x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} \Delta x^3 + ...)-x^n}{\Delta x} \)
=\(\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{( \frac{n}{1!}x^{n-1} \Delta x + \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} \Delta x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} \Delta x^3 + ...)}{\Delta x} \)
=\(\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{n}{1!}x^{n-1} \frac {\Delta x}{\Delta x} + \frac{( \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} \Delta x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} \Delta x^3 + ...)}{\Delta x} \)
=\(\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{n}{1!}x^{n-1} + \frac{( \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} \Delta x^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} \Delta x^3 + ...)}{\Delta x} \)
=\( \frac{n}{1!}x^{n-1} + \frac{( \frac{n(n-1)}{2!}x^{n-2} 0^2 + \frac{n(n-1)(n-2)}{3!}x^{n-3} 0^3 + ...)}{0} \)
=\( n \cdot x^{n-1}\)
Jadi Rumus Turunan
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) =\( n \cdot x^{n-1}\)
Perlu diinformasikan, penulisan simbol turunan dapat=\( n \cdot x^{n-1}\)
Jadi Rumus Turunan
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\) =\( n \cdot x^{n-1}\)
berbeda-beda. Beberapa simbol turunan yang sering
dituliskan adalah:
Notasi Newton
\(f'(x)\) atau \(y'\) turunan pertama fungsi
Notasi Leibniz
\(\frac{df(x)}{x}\) atau \(\frac{dy}{dx}\) turunan pertama fungsi
Turunan Fungsi Aljabar
Mari kita temukan aturan-aturan turunan suatu fungsi
berdasarkan limit fungsi yang telah dijelaskan di atas.
Turunan merupakan limit suatu fungsi yaitu :
\(f'(x_{1})=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)=\( n \cdot x^{n-1}\)
Coba kamu amati dan pelajari contoh penurunan fungsi berikut dengan konsep limit fungsi :
Jika \(f(x)\)=\(x^2\) maka
\(f'(x)=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\)
\(=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0} \frac{(x+\Delta x)-(x)^2}{\Delta x}\)
\(=\lim\limits_{\Delta x\longrightarrow0}{2x +\Delta x}\)
\(=2x \)
Atau
\(= n \cdot x^{n-1}\)
\(= 2 \cdot x^{2-1}\)
\(=2x \)
Sedikti kami berbagi ilmu pengertian Turunan . semoga dapat bermanfaat,,
salam kami