Setiap hari, tentulah kami melakukan aktivitas, seperti menghirup udara dan melepaskan udara.Melepas udara merupakan operasi kebalikan (invers) dari menghirup udara. dalam matematika, kami juga mengenal operasi kebalikan (invers), contohnya pengurangan dengan penjumlahan, perkalian dengan pembagian, pemangkatan dengan penarikan akar, dan sebagainya. pada subbab ini akan mempelajari invers dari diferensial, yaitu integral.
Integral adalah sebuah konsep penjumlahan secara berkesinambungan dalam matematika, dan bersama dengan inversnya, diferensiasi, adalah satu dari dua operasi utama dalam kalkulus. Integral dikembangkan menyusul dikembangkannya masalah dalam diferensiasi di mana matematikawan harus berpikir bagaimana menyelesaikan masalah yang berkebalikan dengan solusi diferensiasi. Lambang integral adalah \(\int\)
Asalu Usul Rumus Integral dari
\( 1 + r + r^2 + .. + r^n = \frac{1 - r^{(n+1)}} {1-r} \) -----(Theorem 2.)
\(1 + r + r^2 + ... = \frac {1}{1-r} (r < 1)\) ------(Theorem 1.)
\( f(x) dx = f(x)*(x - xr) + f(xr)*(xr - xr^2) + \) \(f(xr^2)*(xr^2 - xr^3) + ... (r -> 1-)\)
\(= x^{n*(x - xr)} + (xr)^{n*(xr - xr^2)} + (xr^2)^{n*(xr^2 - xr^3)} + ...\)
\(= x^{(n+1)}(1-r) + x^{(n+1)}r^{(n+1)(1-r)} + x^{(n+1)}r^{(2n+2)(1-r)} + ...\)
\(= x^{(n+1)}(1-r) [ 1 + r^{(n+1)} + (r^{(n+1)})^2 + ... ]\)
\(= x^{(n+1)}(1-r) [ 1 / (1-r^{(n+1)}) ] \) -----(Theorem 2.)
\(= x^{(n+1)} / [ \frac {(1 - r^{(n+1)})} { (1-r)} ]\)
\(= x^{(n+1)} / [ 1 + r + r^2 + .. + r^n ] \) ------(Theorem 1.)
\(= \frac {x^{(n+1)} }{ (n+1) } \) ---------untuk (r -> 1)
\(=\frac{1}{n+1}x^{n+1}\)
kami telah mempelajari arti diferensial atau turunan dikelas XI. jika kita mempunyai \( f(x) =x ^{2}+4 \), turunannya adalah \( f^{'}(x)=2x \). Dari contoh fungsi tersebut, kami dapat menentukan suatu fungsi yang turunannya \( f^{'}(x)=2x \) yang disebut sebagai antiturunan atau pengintegralan. Jadi, pengintegralan merupakan operasi kebalikan dari pendiferensial.
Misalnya diketahui \( f^{'}(x)=2x \) fungsi ini merupakan turunan dari \( f(x) =x ^{2}+10 \) atau \( f(x) =x ^{2}-log 3 \) atau \( f(x) =x ^{2} + 2\sqrt{5} \). Terlihat fungsi-fungsi ini hanya berbeda
konstantanya saja. secara umum dapat dituliskan bahwa \( f(x) =x ^{2}+c\) merupakan antiturunan dari \( f^{'}(x)=2x \) , dengan c adalah bilangan real
sembarang. Dari urain di atas dapat didefinisikan sebagai berikut.
Fungsi \(F(x)\) disebut antiturunan dari \(f(x)\) pada suatu domain jika
\( \frac{d}{dx} \left[ F(x) \right] = f(x) \)
INTEGRAL TAK TENTU
Misalkan diberikan fungsi-fungsi berikut
\( y = x^{2}+2x+5
y = x^{2}+2x-2 \)
kedua fungsi itu memiliki turunan yang sama, yaitu \(\frac{dy}{dx}=2x+2\)
Sekarang, tinjau balik. Misal diberikan \(\frac{dy}{dx}=2x+2\). Jika dicari integralnya, akan diperoleh fungsi-fungsi
\(y = x^{2}+2x+5
y = x^{2}+2x-2\)
bahkan
\(y = x^{2}+2x+10\)
\(y = x^{2}+2x-log 3\)
dan sebagainya.
Dengan demikian, fungsi yang memiliki turunan \(\frac{dy}{dx}=2x+2\) bukan saja dua fungsi di atas, tetapi banyak sekali. Walaupun demikian, fungsi-fungsi itu hanya berbeda dalam hal bilangan tetap saja (seperti 5, -2, 10, log 3 dan seterusnya). bilangan-bilangan ini dapat
disimbolkan dengan c . karena nilai c itulah hasil integral ini disebut \textit{integral tak tentu}.
\subsubsection {Notasi Integral Tak Tentu}
Perhatikan kembali definisi integral tak tentu di atas. Secara umum, jika \(F(x)\) menyatakan fungsi dalam variabel x, dengan \(f(x)\) turunan dari \(F(x)\) dan c konstanta bilangan real maka integral tak tentu dari \(f(x)\) dapat di tuliskan dalam bentuk
\( \int f(x) dx = F(x) + c \)
dibaca " integral fungsi \(f(x)\) ke x sama dengan \( F(x) + c\)
keterangan
\(\int f(x) dx = \)notasi integral tak tentu
\(F(x) + c = \)fungsi antiturunan
\(f(x) = \)fungsi yang di integralkan (integran)
\(c =konstanta\)
\(dx = x\) diferensianl (turunan) dari \( x \)
Rumus Dasar Integral Tak Tentu dari kami
Pada sub bab ini akan dibahas integral fungsi aljabar saja. Oleh karena itu, kalian harus ingat kembali turunan fungsi aljabar yang kalian telah pelajari di kelas XI.
Pada pembahasan kalkulus diferensial atau turunan, diketahui bahwa turunan dari \( x^{n+1} + c \) ke x adalah
\( \frac{d}{dx} \left[ x^{n+1} + c \right] = (n+1) x^{(n+1)-1} \)
\(=(n+1)x^{n}\)
Dengan mengalikan \(\frac{1}{n+1}\), untuk \( n \neq -1 \) pada kedua ruas, diperoleh
\( \frac{1}{n+1} \frac{d}{dx} \left[ x^{n+1} + c \right] =(n+1) x^{(n+1)-1} \)
\(=(n+1)x^{n} = x^{n}\)
jadi, \(\frac{d}{dx} \left[ \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c \right] = x^{n} \) .................. (1)
jika persamaan (1) dituliskan dalam bentuk integral, kalian akan memperoleh
\( \int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c ; n\neq -1 \)
bagaimana jika n = 0 ? apa yang kalian peroleh?tentu saja untuk n = 0, persamaan diatas menjadi \( \int dx = x + c\) .
Pada materi diferensial, kalian telah mengetahui jika \( y = F (x) + G(x) \) maka turunannya adalah \(\frac{dy}{dx} = f(x) + g(x)\),
dengan \(f(x)\) turunan dari \(F (x)\) dan \(g(x)\) turunan dari \(G (x)\).
Demikian dapat dinyatakan bahwa
\( \int \left[ F (x) + G(x) \right] dx = \int f(x) + \int g(x) dx \)
Hal ini juga berlaku untuk operasi penguranangan.
dari uraian di atas, kita dapat menuliskan rumus-rumus dasar integral tak tentu sebagai berikut:
\( \int a dx = ax + c \)
\( \int a f(x) dx = a \int f(x) dx \)
\( \int x^{n} dx = \frac{1}{n+1} x^{n+1} + c ; n\neq -1 \)
\( \int ax^{n} dx = \frac{a}{n+1} x^{n+1} + c ; n\neq -1 \)
\( \int \left[ F (x) + G(x) \right] dx = \int f(x) + \int g(x) dx \)
\( \int \left[ F (x) - G(x) \right] dx = \int f(x) - \int g(x) dx \)
kami berbagi ilmu pengertian integral semoga bermanfaat untuk adik2 semua
salam kami