Turunan Fungsi: dari Kemiringan Garis hingga Seni Optimasi
Turunan adalah mesin pengukur perubahan sesaat: seberapa cepat sesuatu berubah pada satu titik tepat. Satu ide ini lalu menjelaskan kecepatan bola, titik paling menguntungkan sebuah karya, hingga bentuk lengkung grafik. Kita mulai dari nol, langkah demi langkah.
Kalau alam menulis dengan bahasa matematika, maka turunan adalah alat membaca lajunya: bahasa itu tidak hanya menyatakan di mana suatu benda berada, tetapi juga secepat apa ia berubah setiap saat.
Bekal Wajib, dari kecepatan rata-rata ke kecepatan sesaat
Sebuah bola kayu menggelinding di lantai Studio Kayu Ceria. Pada jam pertama ia menempuh 4 meter, jadi kecepatan rata-rata-nya 4 meter per jam. Tetapi speedometer bola tidak pernah menunjukkan rata-rata: di setiap detik ia menunjukkan seberapa cepat bola berubah posisi pada saat itu juga. Pertanyaannya: bagaimana menghitung angka sesaat itu secara jujur?
Trik kuno yang jenius: perbesar, lalu perkecil
Kecepatan rata-rata antara dua titik mudah dihitung: itu kemiringan garis potong (garis sekantan) yang melalui kedua titik pada grafik. Angka sesaat belum kita punya, tetapi kita bisa mendekatinya: ambil titik kedua yang makin dekat, garis sekantannya makin menempel pada kurva. Ketika jaraknya menyentuh nol, garis sekantan berubah wujud menjadi garis singgung (tangen), dan kemiringannya itulah laju sesaat.
Mengapa lewat limit, bukan langsung h = 0? Karena pada h = 0 penyebutnya nol dan hitungan runtuh. Limit adalah cara matematis berkata: perhatikan kecenderungannya ketika h makin kecil, tanpa benar-benar membagi nol.
Dari mana asalnya? Persis cerita di kiri: pembilang $f(x+h)-f(x)$ adalah perubahan tinggi, penyebut $h$ perubahan horizontal, jadi pecahannya kemiringan garis sekantan. Limit $h \to 0$ meniup garis sekantan menjadi garis singgung. Notasi lain: $\dfrac{dy}{dx}$ (Leibniz) dan $f'(x)$ (Lagrange); maknanya sama.
1. tulis beda selisih:
$\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h} = \dfrac{(1+h)^{2}-1}{h}$
2. jabarkan kuadrat: $(1+h)^2 = 1 + 2h + h^2$
3. coret yang sama:
$\dfrac{1 + 2h + h^{2} - 1}{h} = \dfrac{2h + h^{2}}{h} = 2 + h$
4. biarkan h menuju 0: hasil menuju 2
$f'(1) = 2$ garis singgung di (1,1) bermiring 2
Cara membaca hasil itu
Perhatikan keajaiban di langkah 3: setelah dijabarkan, suku tanpa $h$ saling mencoret, dan setiap suku tersisa masih membawa $h$ sehingga bisa dibagi habis oleh $h$. Pola ini berulang untuk semua fungsi yang tertata rapi, dan itulah alasan definisi limit ini bukan trik kebetulan melainkan mesin serbaguna.
Garis singgung di $(1,1)$ bergradien 2 berarti: dekat titik itu, kurva $x^2$ naik 2 satuan untuk setiap 1 satuan ke kanan. Sebuah laju sesaat telah lahir dari sekadar laju rata-rata.
TIGA NOTASI SATU MAKNA$f'(x)$ (Lagrange) $\dfrac{dy}{dx}$ (Leibniz) $\dot{y}$ (Newton, di fisika)
garis teal putus-putus = singgung (kemiringan 2a)
tujuan: kecilkan h sampai keduanya berpelukan
SALAH, turunan bukan rumus hafalan kosong
Menghafal hasil turunan tanpa tahu bahwa $f'(a)$ adalah kemiringan garis singgung di titik a. Akibatnya saat soal berubah wujud (grafik, tabel, cerita), semua bingung. Turunan selalu bermakna geometris: kemiringan, dan fisik: laju.
BENAR, turunan adalah fungsi baru
$f'$ bukan satu angka, melainkan mesin kemiringan: beri dia titik $x$, ia keluarkan kemiringan kurva di titik itu. Untuk $f(x)=x^2$ hasilnya $f'(x)=2x$: di $x=1$ miring 2, di $x=3$ miring 6. Satu proses limit, jutaan garis singgung sekaligus.
Aturan Dasar, jalan pintas yang bisa dibuktikan
Membuka definisi limit untuk setiap soal itu sah tetapi melelahkan. Kabar baiknya: pola-pola yang berulang bisa ditetapkan menjadi aturan tetap, dan setiap aturan di halaman ini bukan sulap, melainkan definisi limit yang sudah diolah sejak awal.
Dari mana asalnya? Buka definisi limit pada $x^n$. Jabarkan $(x+h)^n$ dengan binomial: suku pertamanya $x^n$ (langsung tercoret) dan suku kunci berikutnya adalah $n\,x^{n-1}h$. Setelah dibagi $h$ tertinggal $n\,x^{n-1}$ plus semua suku yang masih membawa $h$, dan semuanya lenyap di hadapan limit. Sisa yang bertahan itulah $n x^{n-1}$.
$(x+h)^3 = x^3 + 3x^2h + 3xh^2 + h^3$
kurangi $x^3$, bagi $h$:
$\dfrac{3x^{2}h + 3xh^{2} + h^{3}}{h} = 3x^{2} + 3xh + h^{2}$
$h \to 0$: dua suku terakhir mati
$(x^{3})' = 3x^{2}$
sama persis dengan aturan pangkat
Asal: garis horizontal tidak pernah naik maupun turun, kemiringannya nol di mana pun. Versi limit: $f(x+h)-f(x) = c-c = 0$.
Asal: mengalikan fungsi dengan $k$ sama dengan meregangkan grafik vertikal $k$ kali, jadi kemiringannya ikut terenggang $k$ kali. Dari limit: faktor $k$ tinggal ditarik keluar.
Asal: dalam limit, pembilangnya $(f(x{+}h){-}f(x)) \pm (g(x{+}h){-}g(x))$: pecahan terbelah dua, tiap pecahan adalah limit masing-masing. Turunan sifatnya per suku.
FUNGSI ASLI (SUKU YANG DIBEDAH AKAN MENYALA):
HASIL PEMBEDAHAN SUKU DEMI SUKU:
Contoh pegangan gabungan, dibedah oleh mflow
Empat aturan dasar bekerja serentak dalam satu soal: pangkat, kelipatan, selisih, konstanta.
Aturan Beranting, saat fungsi saling menempel
Dunia nyata jarang sopan menyajikan $x^2$ polos. Fungsi saling dikalikan, dibagikan, dan disarangkan. Tiga aturan berikut adalah cara beradab membongkarnya, dan masing-masing punya alasan lahir yang bisa diraba.
Dari mana asalnya? Trik klasik tambah-kurang $f(x)\,g(x+h)$ di tengah: $f(x{+}h)g(x{+}h) - f(x)g(x) = \big(f(x{+}h){-}f(x)\big)\,g(x{+}h) + f(x)\,\big(g(x{+}h){-}g(x)\big)$. Bagi $h$, ambil limit: jadilah $f'g + fg'$.
Dari mana asalnya? Tulis $f = \left(\frac{f}{g}\right)\cdot g$, lalu bedah keduanya dengan aturan hasil kali: $f' = \left(\frac{f}{g}\right)' g + \frac{f}{g}\,g'$. Pindahkan, bagi $g$, dan aturan bagian terbuka sendiri. Aturan ini adalah hasil kali yang menyamar.
Dari mana asalnya? Dari logika laju: jika $y$ berubah 3 kali lebih cepat dari $u$, dan $u$ berubah 2 kali lebih cepat dari $x$, maka $y$ berubah $3 \times 2 = 6$ kali lebih cepat dari $x$. Laju berantai itu perkalian, bukan penjumlahan. Contoh bintang: $y=(3x{+}1)^5$ dengan $u=3x{+}1$ memberi $y' = 5u^4 \cdot 3 = 15(3x{+}1)^4$.
- Kenali luar dan dalam. Pada $(3x{+}1)^5$, luarnya pangkat lima, dalamnya $3x{+}1$.
- Turunkan luar dengan dalam dibiarkan utuh: $5(3x{+}1)^4$.
- Kalikan turunan dalam: $\times\,3$, hasil $15(3x{+}1)^4$. Lupa langkah tiga adalah dosa paling populer di dunia turunan.
SALAH, turunan hasil kali = hasil kali turunan
Anggap $(f\,g)' = f'\,g'$. Uji dengan $f=x^2$, $g=x^3$: kiri $= (x^5)' = 5x^4$, kanan $= (2x)(3x^2) = 6x^3$. Berbeda! Yang benar $f'g + fg' = 2x\cdot x^3 + x^2 \cdot 3x^2 = 5x^4$
BENAR, rantai boleh ditumpuk
Untuk fungsi bersarang tiga lapis seperti $\sin^{2}(5x)$: luar kuadrat, tengah sinus, dalam $5x$. Turunannya $2\sin(5x)\cdot\cos(5x)\cdot 5$. Aturan rantai diterapkan berantai, dari luar menuju dalam, seperti mengupas bawang.
Keluarga Khusus, trigonometri, eksponen, logaritma
Selain keluarga polinomial, ada tiga keluarga besar yang turunannya wajib ada di saku. Menariknya, ketiganya punya watak khas: sinus dan kosinus bergantian posisi, sementara $e^x$ adalah satu-satunya fungsi yang turunannya dirinya sendiri.
$(\cos x)' = -\sin x$
$(\tan x)' = \dfrac{1}{\cos^{2}x}$
Asal sinus: $\sin(x{+}h) = \sin x\cos h + \cos x \sin h$. Kurangi $\sin x$, bagi $h$: sisa $\sin x\,\frac{\cos h -1}{h} + \cos x\,\frac{\sin h}{h}$. Limitnya $\sin x \cdot 0 + \cos x \cdot 1 = \cos x$. Kosinus mengikuti dengan tanda minus.
$(a^{x})' = a^{x}\,\ln a$
Mengapa e istimewa? Turunan $a^x$ adalah $\displaystyle\lim_{h\to0}\frac{a^{h}-1}{h}\cdot a^x$; angka di limit bergantung pada basis $a$. Hanya untuk $a = e \approx 2{,}718$ limitnya tepat 1, sehingga laju $e^x$ sama dengan nilainya sendiri: grafiknya menumbuhkan diri sesuai ukurannya.
$(\log_{a} x)' = \dfrac{1}{x\,\ln a}$
Asal: dari sifat invers. Jika $y=\ln x$ maka $e^{y}=x$; turunkan kedua ruas dengan rantai: $e^{y}\,y' = 1$, sehingga $y' = 1/e^{y} = 1/x$. Kemiringan $\ln x$ selalu positif tetapi merosot menuju nol: tumbuh tanpa henti dengan laju memudar.
Laju Perubahan, posisi, kecepatan, percepatan
Aplikasi paling jujur dari turunan adalah gerak. Posisi bola kayu pegangan kita ditulis $s(t) = t^{3} - 6t^{2} + 9t$ (meter, $t$ dalam jam). Turunan pertamanya adalah kecepatan: seberapa cepat posisi berubah. Turunan kedua adalah percepatan: seberapa cepat kecepatan berubah. Tiga lapis makna dari satu fungsi.
Dari mana asalnya? Kecepatan sesaat memang definisi turunan posisi (Bekal!). Percepatan lalu sama persis terhadap kecepatan: perubahan laju per satuan waktu. Notasi Newton $\ddot{s}$ dipakai para fisikawan untuk $s''$.
kecepatan: $v(t) = 3t^{2} - 12t + 9 = 3(t-1)(t-3)$
percepatan: $a(t) = 6t - 12 = 6(t-2)$
v = 0 saat $t = 1$ dan $t = 3$ (berhenti sesaat)
t di bawah 1: v positif (maju)
1 sampai 3: v negatif (mundur)
t di atas 3: v positif (maju lagi)
bola maju, menoleh, maju lagi
Apa yang harus dilihat di mesin tadi
- Saat bola berbalik arah (di $t=1$ dan $t=3$), kecepatan lewat nol: di grafik $s$, itulah puncak dan lembah. Titik stasioner dalam wujud paling fisik.
- Saat $v$ negatif, kurva $s$ menurun. Tanda turunan pertama selalu bercerita tentang arah naik-turun.
- Percepatan $a$ berganti tanda di $t=2$: sebelum itu bola melambat, sesudahnya kembali menguat. Itu pekerjaan turunan kedua.
Laju tak hanya soal jarak
Pola yang sama mengukur apa pun yang berubah: laju pertumbuhan bakteri adalah turunan jumlah bakteri, laju penurunan harga rumah adalah turunan harga terhadap waktu, laju pengisian tandon adalah turunan volume terhadap detik. Setiap kali soal berbunyi seberapa cepat sesuatu berubah, jawabannya hampir selalu: turunkan.
Laju Terkait, dua benda bergerak, satu persamaan
Sebuah tangga sepanjang 5 meter bersandar di dinding Studio Kayu Ceria. Kaki tangga ditarik pelan menjauh dari dinding. Otomatis ujung atasnya merambat turun. Dua gerak ini terkunci dalam satu persamaan Pythagoras, dan turunan akan membuka hubungan laju keduanya.
$2x\,\dfrac{dx}{dt} + 2y\,\dfrac{dy}{dt} = 0$
$\dfrac{dy}{dt} = -\dfrac{x}{y}\cdot\dfrac{dx}{dt}$ teknik ini namanya diferensiasi implisit: menurunkan tanpa perlu menyelesaikan y lebih dulu
Dari mana asalnya? $x$ dan $y$ keduanya fungsi waktu, jadi $x^2+y^2$ adalah fungsi waktu yang nilainya beku di 25. Dua fungsi yang beku punya turunan yang beku pula: nol. Menurunkan $x^2$ terhadap $t$ lewat rantai memberi $2x\,\frac{dx}{dt}$. Tanda minus bukan kebetulan: menarik kaki menjauh pasti menurunkan ujung atas.
diketahui: L = 5, x = 3, dx/dt = 0,4 m/s
1. cari y: $y = \sqrt{25 - 9} = 4$
2. rumus laju: $\frac{dy}{dt} = -\frac{x}{y}\cdot\frac{dx}{dt}$
3. angka masuk: $-\frac{3}{4} \times 0,4$
$\frac{dy}{dt} = -0,3$ m/s
ujung atas turun 0,3 meter tiap detik
Jebakan klasik soal tangga
Jangan substitusi angka sebelum menurunkan. Kalau $x=3$ disubstitusi lebih dulu, persamaan tinggal $9+y^2=25$ yang turunannya jadi $2y\,y' = 0$ (konyol: ujung tangga tak pernah diam). Kuncinya: turunkan persamaan dalam bentuk variabel terhadap $t$ dulu, angka masuk belakangan. Jebakan kedua: $y$ juga fungsi waktu, bukan konstanta.
Nilai Stasioner, di mana kurva kehabisan kemiringan
Puncak gunung punya sifat geometris yang cantik: sesaat sebelum dan sesaat sesudahnya, tanahnya datar. Di grafik, artinya garis singgung horizontal, alias $f'(x) = 0$. Titik-titik itu disebut titik stasioner, dan mereka adalah kandidat segala nilai terbesar dan terkecil di alam semesta fungsi.
2. uji tanda $f'$ di kiri-kanan tiap akar
3. plus lalu minus = maksimum lokal
minus lalu plus = minimum lokal uji turunan kedua: f'(c)=0 dan f''(c) negatif berarti maks, f''(c) positif berarti min
Dari mana asalnya? Jika $f'$ berzona plus di kiri $c$, fungsi sedang menanjak menuju $c$; berzona minus di kanan, ia menurun setelahnya. Naik lalu turun pasti melalui puncak. Logika kebalikannya untuk lembah. Uji turunan kedua adalah jalan pintas: $f''$ mengukur kelengkungan.
Peragakan pada fungsi pegangan
Fungsi bintang kita sepanjang bab aplikasi:
Tekan LANGKAH di mesin di bawah dan saksikan kelima tahap analisis menyala satu per satu: turunan, akar, peta tanda, vonis maks-min, lalu pemeriksaan kelengkungan.
Optimasi, seni memilih yang paling besar atau paling hemat
Pabrik Kotak Emas menerima karton persegi bersisi 20 cm. Prototipe kotak dibuat dengan memotong persegi kecil bersisi $x$ di empat sudut, lalu melipat sisanya. Pertanyaan manajemen: ukuran potongan x berapa yang membuat volume kotak paling besar? Turunan menjawabnya tanpa mencoba satu per satu.
$V(x) = x\,(20-2x)^{2}$ syarat masuk akal: x lebih besar dari 0 dan lebih kecil dari 10
Dari mana asalnya? Memotong persegi $x \times x$ di tiap sudut memotong $2x$ dari tiap sisi karton, sehingga alas kotak lipat bersisi $20-2x$ dan tingginya $x$. Kalikan ketiganya: itulah fungsi volume. Soal cerita tuntas saat berubah menjadi soal turunan.
$V'(x) = 400 - 160x + 12x^{2} = 4(3x-10)(x-10)$
$V'(x) = 0 \Rightarrow x = \dfrac{10}{3}$ atau $x = 10$
Vonis: $x=10$ ditolak (karton habis, kotak lenyap). $V''(x) = 24x - 160$ sehingga $V''\!\left(\tfrac{10}{3}\right) = -80$ bertanda minus: cekung bawah, pasti puncak. Jawaban: $x = \tfrac{10}{3} \approx 3{,}33$ cm dengan volume maksimum $\approx 592{,}6$ cm kubik. Ujung interval memberi $V=0$, jadi juara internal otomatis juara global.
Resep umum soal optimasi (hafal lima sapu)
- Gambar dan beri nama variabel. Satu variabel bebas (di sini $x$), sisanya dinyatakan dari variabel itu.
- Tulis fungsi sasaran (volume, luas, biaya) dan syarat batas masuk akal ($0 < x < 10$).
- Turunkan fungsi sasaran.
- Samakan dengan nol, pilih akar yang lolos syarat batas.
- Vonis dengan uji tanda $f'$ atau tanda $f''$, lalu cek ujung interval.
Dua dosa optimasi
Dosa satu: lupa syarat batas. Akar $x=10$ sah secara aljabar tetapi haram secara konteks: kotak tak mungkin bersisi nol. Dosa dua: lupa ujung interval. Nilai maksimum global kadang justru bertahta di tepi, bukan di titik stasioner. Selalu bandingkan kandidat internal dengan nilai di ujung.
Kenali wajah soal optimasi
Keluarga soal ini berdandan bermacam-macam tetapi kerangkanya sama: pagar maksimum untuk kandang luas terbesar, kaleng silinder dengan biaya seng minimum, titik pada kurva yang terdekat ke suatu koordinat. Kalimat kuncinya selalu: maksimum, minimum, paling hemat, terdekat. Begitu terbaca, langsung panggil kelima sapu resep di atas.
Kekonkavan dan Titik Belok, baca bentuk dari turunan kedua
Turunan pertama memberi tahu ke mana kurva berjalan; turunan kedua memberi tahu ke arah mana ia menoleh. Cekung atas berarti kemiringan terus membaik, cekung bawah berarti kemiringan terus memburuk. Tempat keduanya berganti watak adalah titik istimewa: titik belok.
$f''(x) < 0$: cekung bawah (melengkung seperti bukit)
titik belok di $c$: $f''(c) = 0$ dan tanda $f''$ berubah
Dari mana asalnya? $f''$ adalah kemiringan dari kemiringan: bila positif, kemiringan $f'$ meningkat sepanjang $x$, maka garis singgung berputar melawan arah jarum jam dan kurva merapat ke bawah seperti mangkuk. Titik belok adalah momen pergantian rezim kelengkungan itu.
$f''(x) = 6x$
x negatif: f'' minus, cekung bawah
x positif: f'' plus, cekung atas
f''(0) = 0 dan tanda berubah
titik belok di $(0, 0)$
bonus konsistensi: $f''(-1) = -6$ minus
cekung bawah di maks (-1,2)
$f''(1) = 6$ plus: cekung atas di min (1,-2)
SALAH, f'' = 0 pasti titik belok
Uji dengan $f(x)=x^4$: turunan kedua $12x^2$ menyentuh nol di $x=0$, tetapi tidak pernah berganti tanda (selalu tak negatif). Grafiknya tetap cekung atas terus, tanpa belok. Syarat resmi: $f''=0$ plus pergantian tanda. Dua syarat, bukan satu.
BENAR, cekungan ikut mengawal maks-min
Di puncak sejati, kurva wajib cekung bawah; di lembah sejati, cekung atas. Itulah mengapa uji turunan kedua bekerja: $f'(c)=0$ menangkap kandidat, arah $f''(c)$ mengonfirmasi wataknya. Dua turunan, dua peran, satu grafik utuh.
Mengenalinya tanpa hitung
- Cekung atas = bentuknya menampung air. Garis singgungnya selalu di bawah kurva.
- Cekung bawah = bentuknya menutup hujan. Garis singgungnya selalu di atas kurva.
- Titik belok = kurva berganti watak di tempat garis singgung menembus kurva dari satu sisi ke sisi lain.
Epilog: ke mana setelah ini
Turunan kedua pada gerak bernama percepatan; pada ekonomi bernama margin dari margin; pada grafik epidemi, titik belok adalah momen paling dinanti: ketika laju penambahan mulai melandai. Dan perjalanan belum tamat: fungsi dua variabel punya turunan parsial, dan integral menanti sebagai kebalikan segalanya. Semua berangkat dari satu limit yang kamu kuasai di Bekal.
Enam kartu yang harus melekat di kepala
Seluruh materi turunan, dari definisi hingga optimasi, terkompresi menjadi enam kartu. Hafalkan keenamnya beserta cerita asal-usulnya, dan bab ini resmi berpindah dari buku ke kepala.
Limit sebagai ibu segala aturan
Sekantan yang mengecil menjadi singgung; kemiringannya adalah laju sesaat. Semua aturan lahir dari sini.
Tulang punggung polinomial
Pangkat turun satu dan koefisien maju; konstanta mati menjadi nol.
Untuk fungsi yang menempel
Hasil kali: giliran menangis. Bagian: bawah dipangkat dua, minus di tengah, urutan penting.
Laju berantai dikalikan
Luar dulu (dalam dijaga utuh), lalu kalikan turunan dalam. Lupa faktor dalam = dosa terpopuler.
Trigonometri, eksponen, logaritma
Sinus dan kosinus bergantian; $e^x$ turunannya dirinya sendiri; logaritma melandai dengan $1/x$.
Membaca bentuk dari dua turunan
$f''>0$ cekung atas, $f''<0$ cekung bawah
Naik lalu turun itu puncak; turun lalu naik itu lembah; $f''$ ganti tanda itu belok.