Berikut versi “Induksi Matematika untuk Jumlah Deret” lengkap dengan langkah-langkah umum dan contoh (bisa Anda ubah sesuai soal):
Soal 1
$2 + 9 + 28 + 65 + 126 + 217 + 344 + \dots$ $+ n^3 + 1 $ $= \dfrac{n^2(n+1)^2 + 4n}{4}$
Untuk $n = 1$:
$n^3 + 1 = 1^3 + 1 = 2$ atau
$\dfrac{1^2(1+1)^2 + 4(1)}{4} = 2$
Selanjutnya $n = k$:
$2 + 9 + 28 + 65 + 126 + 217 + 344 + \dots + k^3 + 1 = \dfrac{k^2(k+1)^2 + 4k}{4}$
Selanjutnya $n = k+1$:
$2 + 9 + 28 + 65 + 126 + 217 + 344 + \dots + (k+1)^3 + 1 = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)}{4}$
Pembuktian:
$\dfrac{k^2(k+1)^2 + 4k}{4} + (k+1)^3 + 1 = \dfrac{(k+1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)}{4}$
Sisi kiri:
$\dfrac{k^2(k+1)^2 + 4k}{4} + (k+1)^3 + 1$
$= \dfrac{k^2(k^2 + 2k + 1) + 4k}{4} + k^3 + 3k^2 + 3k + 2$
$= \dfrac{k^4 + 2k^3 + k^2 + 4k}{4} + \dfrac{4(k^3 + 3k^2 + 3k + 2)}{4}$
$= \dfrac{k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 16k + 8}{4}$
Sisi kanan:
$\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2 + 4(k+1)}{4}$
$= \dfrac{(k^2 + 2k + 1)(k^2 + 4k + 4) + 4k + 8}{4}$
$= \dfrac{k^4 + 6k^3 + 13k^2 + 16k + 8}{4}$
Jadi terbukti bahwa kedua sisi sama.
Soal 2
$3 + 6 + 11 + 18 + 27 + 38 + 51 + \dots + n^2 + 2 = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + 13n}{6}$
Mencari $U_n$:
Misalkan $U_n = a n^2 + b n + c$
$a(1)^2 + b(1) + c = 3$
$a(2)^2 + b(2) + c = 6$
$a(3)^2 + b(3) + c = 11$
Dari sistem persamaan diperoleh:
$a + b + c = 3$
$4a + 2b + c = 6$
$9a + 3b + c = 11$
$(4a + 2b + c) - (a + b + c) = 3 \Rightarrow 3a + b = 3$
$(9a + 3b + c) - (4a + 2b + c) = 5 \Rightarrow 5a + b = 5$
Dikurangi: $(5a + b) - (3a + b) = 2a = 2 \Rightarrow a = 1$
Substitusikan $a = 1$ ke $3a + b = 3$+maka $b = 0$
$a + b + c = 3 \Rightarrow 1 + 0 + c = 3 \Rightarrow c = 2$
Jadi+$U_n = n^2 + 2$
Pembuktian:
Untuk $n = 1$:
$n^2 + 2 = 3$ atau $\dfrac{2(1)^3 + 3(1)^2 + 13(1)}{6} = 3$
Untuk $n = k$:
$3 + 6 + 11 + 18 + \dots + k^2 + 2 = \dfrac{2k^3 + 3k^2 + 13k}{6}$
Untuk $n = k+1$:
$3 + 6 + 11 + 18 + \dots + (k+1)^2 + 2 = \dfrac{2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 13(k+1)}{6}$
Sisi kiri:
$\dfrac{2k^3 + 3k^2 + 13k}{6} + (k+1)^2 + 2$
$= \dfrac{2k^3 + 9k^2 + 25k + 18}{6}$
Sisi kanan:
$\dfrac{2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 13(k+1)}{6} = \dfrac{2k^3 + 9k^2 + 25k + 18}{6}$
Kedua sisi sama+maka rumus terbukti benar.
Soal 3
Deret: \(6+,9+,14+,21+,30+,41+,54+\dots\)
Suku umum: \(U_n = n^2 + 5\)
Rumus jumlah yang akan dibuktikan:
\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (i^2 + 5) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5n \] atau jika disederhanakan: \[ S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + 31n}{6}. \]
Langkah Basis
Untuk \(n=1\):
\(S_1 = 1^2 + 5 = 6\).
Menurut rumus: \(\dfrac{2(1)^3 + 3(1)^2 + 31(1)}{6} = \dfrac{2+3+31}{6} = \dfrac{36}{6}=6\).
Maka basis benar.
Asumsi Induksi
Misalkan untuk \(n=k\):
\[ S_k = \frac{2k^3 + 3k^2 + 31k}{6}. \]
Langkah ke \(n=k+1\)
Tambahkan suku \((k+1)^2 + 5\):
\[ S_{k+1} = S_k + (k+1)^2 + 5 = \frac{2k^3 + 3k^2 + 31k}{6} + (k+1)^2 + 5. \]
Samakan penyebut (6):
\[ S_{k+1} = \frac{2k^3 + 3k^2 + 31k + 6\big((k+1)^2 + 5\big)}{6}. \]
Hitung pembilang tambahan:
\[ 6\big((k+1)^2 + 5\big) = 6(k^2 + 2k + 1 + 5) = 6k^2 + 12k + 36. \]
Jadi pembilang total:
\[ 2k^3 + 3k^2 + 31k + 6k^2 + 12k + 36 = 2k^3 + 9k^2 + 43k + 36. \]
Sekarang periksa bentuk target untuk \(k+1\):
\[ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 31(k+1) \]
Perluas:
\[ 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 31k + 31 = 2k^3 + 9k^2 + 43k + 36. \]
Karena pembilang cocok+maka
\[ S_{k+1} = \frac{2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 31(k+1)}{6}, \]
yang sama dengan rumus yang diinginkan untuk \(n=k+1\). Dengan demikian rumus berlaku untuk semua \(n\).
Soal 4
Deret: \(10+13+18+25+34+45+58,\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^2 + 9\)
Rumus jumlah yang akan dibuktikan:
\[ S_n = \sum_{i=1}^{n} (i^2 + 9) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 9n \] atau disederhanakan: \[ S_n = \frac{2n^3 + 3n^2 + 55n}{6}. \]
Langkah Basis
Untuk \(n=1\):
\(S_1 = 1^2 + 9 = 10\).
Menurut rumus: \(\dfrac{2+3+55}{6} = \dfrac{60}{6} = 10\). Basis benar.
Asumsi Induksi
Misalkan untuk \(n=k\):
\[ S_k = \frac{2k^3 + 3k^2 + 55k}{6}. \]
Langkah ke \(n=k+1\)
\[ S_{k+1} = S_k + (k+1)^2 + 9 = \frac{2k^3 + 3k^2 + 55k}{6} + (k+1)^2 + 9. \]
Satukan ke penyebut 6:
\[ S_{k+1} = \frac{2k^3 + 3k^2 + 55k + 6\big((k+1)^2 + 9\big)}{6}. \]
Hitung tambahan pembilang:
\[ 6\big((k+1)^2 + 9\big) = 6(k^2 + 2k + 1 + 9) = 6k^2 + 12k + 60. \]
Jumlah pembilang:
\[ 2k^3 + 3k^2 + 55k + 6k^2 + 12k + 60 = 2k^3 + 9k^2 + 67k + 60. \]
Periksa bentuk target untuk \(k+1\):
\[ 2(k+1)^3 + 3(k+1)^2 + 55(k+1) \]
Perluas:
\[ 2(k^3 + 3k^2 + 3k + 1) + 3(k^2 + 2k + 1) + 55k + 55 = 2k^3 + 9k^2 + 67k + 60. \]
Karena cocok+maka rumus berlaku untuk \(n=k+1\) sehingga benar untuk semua \(n\).
Soal 5
$9 + 12 + 17 + 24 + 33 + 44 + 57 + \dots + n^2 + 8 = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + 49n}{6}$
Mencari $U_n$:
$a(1)^2 + b(1) + c = 9$
$a(2)^2 + b(2) + c = 12$
$a(3)^2 + b(3) + c = 17$
Diperoleh $a = 1+b = 0+c = 8$+sehingga $U_n = n^2 + 8$
Mencari $S_n$:
$S_n = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 8n = \dfrac{2n^3 + 3n^2 + 49n}{6}$
Pembuktian:
Untuk $n = k$ dan $n = k+1$+hasil substitusi menghasilkan bentuk sama+yaitu:
$\dfrac{2k^3 + 9k^2 + 61k + 54}{6}$
Maka terbukti rumus tersebut benar.
Soal 1
Rangkaian: \(2+9+28+65+126+\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^3 + 1\)
Jumlah \(n\) suku pertama:
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^3 + 1) = \left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 + n = \frac{n^2(n+1)^2 + 4n}{4} \]
Kesimpulan: Jawaban benar.
Soal 2
Rangkaian: \(3+6+11+18+27+\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^2 + 2\)
Jumlah \(n\) suku pertama:
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 2) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 2n = \frac{2n^3 + 3n^2 + 13n}{6} \]
Kesimpulan: Jawaban benar.
Soal 3
Rangkaian: \(6+9+14+21+30+41+54+\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^2 + 5\)
Jumlah \(n\) suku pertama:
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 5) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 5n \]
Catatan: Suku ke-7 seharusnya \(54\)+bukan \(45\). Rumus sudah benar.
Soal 4
Rangkaian: \(10+13+18+25+34+45+58+\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^2 + 9\)
Jumlah \(n\) suku pertama (perbaikan):
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 9) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 9n = \frac{2n^3 + 3n^2 + 55n}{6} \]
Kesimpulan: Rumus awal salah+seharusnya seperti di atas.
Soal 5
Rangkaian: \(9+12+17+24+33+44+57+\dots\)
Suku umum: \(u_n = n^2 + 8\)
Jumlah \(n\) suku pertama:
\[ S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + 8) = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + 8n = \frac{2n^3 + 3n^2 + 49n}{6} \]
Kesimpulan: Jawaban benar.