Assalamualaikum warahmatullahi wabarakatuh
Selamat datang di salah satu postingan gamacuma kami , untuk kali ini kami akan membahas tentang contoh soal dan pembahasan Teorema binomial , semoga artikel yang saya posting ini bermanfaat bagi semua . Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan di bawah ini
1. Jumlah koefisien dari $(4x-3y)^{10}+(8x-9y)^{10}$ adalah.....
A.$2$
B.$-1$
C.$0$
D.$1$
E.$3$
Pembahasan
Substitusi $x=y=1$ pada masing-masing binomial $(4x-3y)^{10}+(8x-9y)^{10}$ akan menghasilkan jumlah koefisien tiap suku-suku penjabarannya.
$S= (4x-3y)^{10}+(8x-9y)^{10}$
$= (4(1)-3(1))^{10}+(8(1)-9(1))^{10}$
$= 1^{10}+(-1)^{10}$
$= 1 + 1$
$= 2$
Jadi, jumlah koefisien dari $(4x-3y)^{10}+(8x-9y)^{10}$ adalah $2$
(Jawaban A)
2. Jika $X$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c)^{5}$ dan $Y$ menyatakan banyak suku dari ekspansi $(a+b+c+d)^{6}$ , maka $X+Y$ adalah ....
A.$75$
B.$96$
C.$80$
D.$66$
E.$73$
Pembahasan
Banyaknya suku dari ekspansi multinomial $(a_{1}+ a_{2}+ a_{3}+....+ a_{u})^{n}$ adalah $C_{u-1}^{n+u-1}$ dengan $n$ adalah pangkat dan $u$ adalah banyak sukunya.
Untuk itu,multinomial $(a+b+c)^{5}$
memiliki nilai $n = 5$ dan $u = 3$ sehingga
$X = C_{u-1}^{n+u-1}$
$= C_{3-1}^{5+3-1}$
$= C_{2}^{7}$
$= \frac{7!}{5!.2!}$
$= 12$
Multinomial $(a+b+c+d)^{6}$
memiliki nilai $n = 6$ dan $u = 4$ sehingga
$Y = C_{u-1}^{n+u-1}$
$= C_{4-1}^{6+4-1}$
$= C_{3}^{9}$
$= \frac{9!}{6!.3!}$
$ = 84$
Dengan demikian,$X+Y = 12 + 84 = 96$
Jadi, $X+Y$ adalah $96$
(Jawaban B)
3. Koefisien $x^{9}$ dari penjabaran $(1+x)^{12}$ adalah.....
A. $110$
B. $220$
C. $320$
D. $210$
E. $340$
Pembahasan :
$(_{9}^{12}) = \frac{12.11.10}{1.2.3} = 220$
(Jawaban B)
4. Nilai dari $C_{0}^{1010}+C_{1}^{1010}+C_{2}^{1010}+....+C_{1010}^{1010}$ adalah….
$A. 2020$
$B. 1010$
$C. 2^{1010}$
$D. 2^{2020}$
$E. 10^{1010}$
Pembahasan
Berdasarkan Teorema Binomial,
$(a+b)^{n} = C_{0}^{n}a^{n}+ C_{1}^{n}a^{n-1} + C_{2}^{n}a^{n-2} + .... + C_{n}^{n}a^{n}$
Misalkan $a=b=1$, maka kita peroleh
$(1+1)^{n} = C_{0}^{n}1^{n}+ C_{1}^{n}1^{n-1} + C_{2}^{n}1^{n-2} + .... + C_{n}^{n}1^{n}$
$2^{n} = C_{0}^{n} + C_{1}^{n} + C_{2}^{n} + .... + C_{n}^{n}$
Sekarang untuk $n = 1010$, diperoleh
$2^{1010} = C_{0}^{1010} + C_{1}^{1010} + C_{2}^{1010} + .... + C_{1010}^{1010}$
(Jawaban C)
5.Koefisien $x^{8}$ dari penjabaran $(x+1)^{11}$ adalah.....
A. $110$
B. $220$
C. $320$
D. $165$
E. $340$
Pembahasan :
$(_{8}^{11}) = (_{3}^{11}) =\frac{11.10.9}{1.2.3} = 165$
(Jawaban D)
6. Suku $ke-8$ dari $(2x-1)^{9}$ adalah .....
A.$143x^{2}$
B.$150x^{2}$
C.$144x^{2}$
D.$360x^{2}$
E.$-144x^{2}$
Pembahasan :
$(a+b)^{n}=\sum_{k=0}^{n}(_{k}^{n})a^{n-k}b^{k}$
Untuk mencari suku ke-8 artinya $k = 7$ , maka
$=(_{7}^{9})(2x)^{9-7}(-1)^{7}$
$= \frac{9!}{7!.2!}(4x^{2})(-1)$
$= \frac{9.8.7!}{7!. 2!}(4x^{2})(-1)$
$= 36.4.(-1).x^{2}$
$= -144x^{2}$
(Jawaban E)
7. Koefisien dari $a^{5}b^{6}$ dalam penjabaran $(a+b)^{11}$ adalah....
A. $462$
B. $426$
C. $624$
D. $246$
E. $240$
Pembahasan :
$C_{6}^{11} = \frac{11!}{5!.6!}$
$= \frac{11.10.9.8.7.6!}{5.4.3.2.1.6!}$
$= 462$
(Jawaban A)
8.Ekspansi dari $(2x+y)^{3}$ adalah....
$A. 8x^{3} + ((12x)^{2}y^{1}) + ((6x)^{1}y)^{2} + (y)^{3}$
$B. 4x^{3} + ((12x)^{2}y^{1}) + ((6x)^{1}y)^{2} + (y)^{3}$
$C. 2x^{3} + ((12x)^{2}y^{1}) + ((6x)^{1}y)^{2} + (y)^{3}$
$D. 4x^{3} + ((12x)^{2}y^{1}) + ((2x)^{1}y)^{2} + (y)^{3}$
$E. 8x^{3} + ((12x)^{2}y^{1}) + ((2x)^{1}y)^{2} + (y)^{3}$
Pembahasan :
Bentuk ekspansi dari $(2x+y)^{3}$ Adalah
$$\sum_{k=0}^{3}C_{k}^{3}(2x)^{3-k}(y)^{k}$$
$= C_{0}^{3}(2x)^{3-0}(y)^{0} + C_{1}^{3}(2x)^{3-1}(y)^{1} + C_{2}^{3}(2x)^{3-2}(y)^{2} + C_{3}^{3}(2x)^{3-3}(y)^{3}$
$= 1(2x)^{3} + 3(2x)^{2}y^{1} + 3(2x)^{1}y^{2} + 1(y)^{3}$
$= 8x^{3}+12x^{2}y^{1}+6x^{1}y^{2}+y^{3}$
(Jawaban A)
9.Dalam ekspresi $(x+y+z)^{8}$, koefisien dari $x^{4}y^{2}z^{2}$ adalah....
A. $400$
B. $410$
C. $420$
D. $430$
E. $450$
Pembahasan :
$=(_{4,2,2}^{8})$
$= \frac{8!}{4!.2!.2!}$
$= \frac{8.7.6.5.4!}{4!.2.1!.2.1!}$
$= 420$
(Jawaban C)
10.Suku ke-empat dari $(x-y)^{5}$ adalah. . .
A.$ - 10x^{2}y^{3}$
B.$5x^{2}y^{3}$
C.$10x^{2}y^{3}$
D.$20x^{2}y^{3}$
E.$2x^{2}y^{3}$
Pembahasan :
Suku $ke-4$, maka $k = 3$ sehingga suku $ke – 4$ adalah :
$C_{3}^{5}(x^{5-3})(-y)^{3}$
$= \frac{5!}{3!.2!}(x^{2})(-y)^{3}$
$= \frac{5.4.3!}{3!.2!}(x^{2})(-y)^{3}$
$= \frac{5.4}{1.2}(x^{2})(-y)^{3}$
$= \frac{20}{2}(x^{2})(-y)^{3}$
$= - 10x^{2}y^{3}$
(Jawaban A)
11. Berapa banyak solusi dari persamaan: $a + b = 13$, $3\leq a\leq 8$, $6\leq b\leq 9$ dengan $a$ dan $b$ bilangan bulat....
A. $3$
B. $4$
C. $2$
D. $5$
E. $6$
Pembahasan :
Dengan menggunakan fungsi pembangkit maka masalah diatas analog dengan mencari koefisien pangkat $13$ dari:
$$(x^{3}+x^{4}+x^{5}+x^{6}+x^{7}+x^{8}).(x^{6}+x^{7}+x^{8}+x^{9})$$
Suku yang memuat pangkat $13$ adalah : $x^{4}y^{9},x^{5}y^{8},x^{6}y^{7},x^{7}y^{6}$
Jadi banyaknya penyelesaian ada $4$
(Jawaban B)
12. Bentuk penjabaran dari $(2x+3y)^{2}$ Adalah ......
A.$4x^{2} + 6xy + 3y^{2}$
B.$2x^{2} + 12xy + 3y^{2}$
C.$4x^{2} + 6xy + 9y^{2}$
D.$4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
E.$4x^{2} + 24xy + 9y^{2}$
Pembahasan :
$(2x+3y)^{2}$
$= (2x)^{2}+2.(2x)(3y)+(3y)^{2}$
$= 4x^{2} + 12xy + 9y^{2}$
(Jawaban B)
13. Koefisien dari $x^{3}y^{2}$ dari hasil perpangkatan $(2x+3y)^{5}$ adalah .....
A.$120$
B.$360$
C.$520$
D.$720$
E.$960$
Pembahasan :
$x^{3}y^{2}$ berada pada suku ke tiga $(2x+3y)^{5}$ Sehingga :
$C_{2}^{5}.(2x)^{5-2}.(3y)^{2}$
$= \frac{5!}{(5!.2!).2!}(2x)^{3}.(3y)^{2}$
$= \frac{5.4.3!}{31.2!}(8x)^{3}.(9y)^{2}$
$= 10.(8x)^{3}.(9y)^{2}$
$= 720x^{3}y^{2}$
Jadi koefisien dari $x^{3}y^{2}$ adalah $ 720$
(Jawaban D)
14. Suku ke enam dari $(\frac{1}{a}-a)^{10}$ adalah…..
A. $-252$
B. $-252a$
C. $252a$
D. $126a$
E. $126$
Pembahasan :
$C_{5}^{10}(\frac{1}{a})^{10-5}(-a)^{5}$
$= \frac{10!}{(10.5)!.5!}.(\frac{1}{a^{5}}).(-a^{5})$
$= \frac{10.9.8.7.6.5!}{5!.5.4.3.2.1}.(-1)$
$= -252$
Jadi suku ke enam dari $(\frac{1}{a}-a)^{10}$ Adalah$-252$
(Jawaban D)
15. Suku $ke-7$ dari $(x^{3}-\frac{1}{x})^{8}$ adalah ....
$A.-\frac{28}{x^{5}}$
$B.\frac{8}{x^{5}}$
$C.\frac{28}{x^{4}}$
$D.\frac{1}{x^{28}}$
$E. 28$
Pembahasan :
$C_{6}^{8}.(x^{3})^{8-6}. (-\frac{1}{x})^{6}$
$= \frac{8!}{6!.2!}.x^{6}.(\frac{1}{x^{6}})$
$= \frac{8.7.6!}{6!.2.1}.1$
$= 28$
Jadi suku $ke-7$ dari $(x^{3}-\frac{1}{x})^{8}$ Adalah $ 28$
(Jawaban E)
16.Koefisien dari suku tengah ekspansi binom dari $(2x^{3}-\sqrt{x})^{6}$ Adalah .....
A. $320$
B. $160$
C. $120$
D. $-120$
E.$-160$
Pembahasan :
Karena berpangkat enam , maka banyaknya suku ada $7$ . Dengan demikian suku tengahnya adalah suku ke empat .
$C_{3}^{6}.(2x^{3})^{6-3}.(-\sqrt{x})^{3}$
$= \frac{6!}{3!.3!}.(2x^{3})^{3}.(-x\sqrt{x})$
$= \frac{6.5.4.3!}{3!.3.2.1}.8x^{9}.(-x\sqrt{x})$
$= -160x^{10}\sqrt{x}$
Jadi koefisien dari suku tengah ekspansi binom adalah $-160$
(Jawaban E)
17. Nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ Pada ekspansi $(x+y)^{25}$ adalah .....
A. $5.200.300$
B. $5.200.200$
C. $5.300.300$
D. $5.300.400$
E. $4.200.3004$
Pembahasan :
Dari Teorema binomial , nilai koefisien dari $x^{12}y^{13}$ dapat di hitung sebagai berikut :
$(_{13}^{25})= \frac{25!}{13!.12!}= 5.200.300$
Jadi koefisien dari $x^{12}y^{13}$ adalah $5.200.300$
(Jawaban A)
18. Koefisien dari $x^{8}$ pada $(2x^{3}-\frac{1}{x})^{12}$ adalah ......
A. $25352$
B. $-25344$
C. $24312$
D. $25342$
E. $25344$
Pembahasan :
$(_{7}^{12})(2x^{3})^{12-7}(-\frac{1}{x})^{7}$
$= \frac{12!}{7!.5!}(2x^{3})^{5}(-\frac{1}{x})^{7}$
$= \frac{12.11.10.9.8.7!}{7!.5!}.32.(-1)$
$=11.9.8(32)(-1)$
$=792.32.(-1)$
$= -25344$
(Jawaban B)
19. Nilai koefisien dari $x^{5}y^{8}$ Pada ekspansi $(x+y)^{13}$ adalah .....
A. $1387$
B. $1286$
C.$1287$
D.$2346$
E.$2345$
Pembahasan :
Dari Teorema binomial , nilai koefisien dari $x^{5}y^{8}$ dapat di hitung sebagai berikut :
$(_{8}^{13}) = \frac{13!}{8!.5!}=(13)(11)(9)=1287$
Jadi koefisien dari $x^{5}y^{8}$ adalah $1287$
(Jawaban C)
20. Nilai koefisien dari $x^{4}$ Pada ekspansi $(2x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{7}$ adalah .....
A.$-280x^{4}$
B.$480x^{4}$
C.$380x^{4}$
D.$280x^{4}$
E.$270x^{4}$
Pembahasan :
Dari Teorema binomial , nilai koefisien dari $x^{4}$ dapat di hitung sebagai berikut :
$(2x^{2}+\frac{1}{\sqrt{x}})^{7} = (2x^{2}+x^{-\frac{1}{2}})^{7}$
$(x^{2})^{7-(k-1)}(x^{-\frac{1}{2}})^{k-1}=x^{4}$
$(x^{2})^{8-k}x^{-\frac{1}{2}k+\frac{1}{2}}=x^{4}$
$x^{\frac{33-5k}{2}}=x^{4}$
${\frac{33-5k}{2}}= 4$
$(_{5-1}^{7})(2x^{2})^{7-(5-1)}(x^{-\frac{1}{2}})^{5-1}$
$= (_{4}^{7})(2x^{2})^{3}x^{-2}$
$= 35 (8x^{6})(x^{-2})$
$= 280x^{4}$
Jadi koefisien dari $x^{5}y^{8}$ adalah $1287$
(Jawaban C)
disusun oleh
Kelompok 4 :
1. Anggun Pramoditha Ramadani (2110251008)
2. Sevi Nur Eka Sari (2110251010)
3. Laila Alizah (2110251014)
LATIHAN SOAL DAN PEMBAHASAN TEOREMA BINOMIAL
Selesai