*# RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN SINUS #*
A. Rumus Penjumlahan Sinus
Berdasarkan rumus perkalian sinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam sinus yaitu sebagai berikut.
\(\sin A. \sin B = \)\(\sin \frac{1}{2}(A+B)\)+ \(\cos\frac{1}{2}(A-B)\)
misalkan :
persamaan .... 1
\(A + B = \alpha \) } Di eliminasi (+)
\(A - B = \beta \)
sehingga menjadi :
\(2A = \alpha + \beta\)
\(A = \frac{1}{2}(\alpha + \beta)\)
persamaan .... 2
\(A + B = \alpha \) } Di eliminasi (-)
\(A - B = \beta \)
sehingga menjadi :
\(2B = \alpha + \beta\)
\(B = \frac{1}{2}(\alpha - \beta)\)
selanjutnya kedua persamaan tersebut di substitusikan
\(\sin A. \cos B = \sin (A+B)+ \sin(A-B)\)
\(2 \sin \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \cos \frac{1}{2}(\alpha - \beta) =\) \(\sin \alpha + \sin \beta\)
atau
\(\sin \alpha + \sin \beta =\)\(2 \sin \frac{1}{2}(\alpha + \beta) \cos \frac{1}{2}(\alpha - \beta) \)
B. Rumus Pengurangan Sinus
Dari rumus \(\sin A - \sin B =\) 2\(\cos\frac{1}{2}(A+B)\) \(\sin\frac{1}{2}(A-B)\)
dengan memisalkan \(A+B=\alpha\) dan \(A-B=\beta\)
sehingga terbentuk rumus :
\(\sin \alpha - \sin \beta =\) \(2\cos\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\)\(\sin\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\)
C. Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Sinus
1. Sederhanakan : \(\sin 80°+ \sin 40°=...\)
Penyelesaian :
\(= 2\sin \frac{1}{2}(80°+40°)\cos \frac{1}{2}(80°-40°)\)
\(= 2\sin \frac{1}{2}(120°)\cos\frac{1}{2}(40°)\)
\(= 2\sin60°\cos20°\)
\(= 2 \frac{1}{2}\sqrt{3}\cos20°\)
\(= \sqrt {3}\cos20°\)
2. Sederhanakan : \(\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)= ... \)
Penyelesaian :
\(\sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta)\)
\(\alpha + \beta)= A\)
\(\alpha - \beta)= B\)
\(\sin A + \sin B =\) \(2 \sin\left (\frac{\alpha + \beta}{2}\right)\)\(\cos\left (\frac{\alpha-\beta}{2}\right)\)
\(= 2\sin\left(\frac{(\alpha+\beta)+(\alpha+\beta)}{2} \right)\)\(\cos\left(\frac{(\alpha+\beta)-(\alpha+\beta)}{2}\right)\)
\(= 2 \sin\left(\frac{(2\alpha)}{2}\right)\)\(\cos\left(\frac{(2\beta)}{2}\right)\)
*# RUMUS PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN COSINUS #*
A. Rumus Penjumlahan Cosinus
Berdasarkan rumus perkalian cosinus, diperoleh hubungan penjumlahan dalam <span> </span>cosinus yaitu sebagai berikut.
Misalkan:
\(A+B=\alpha\)
\(A-B=\beta\)
Maka,
\(2 A \quad=\alpha+\beta\)
\(A \quad=\frac{1}{2}(\alpha+\beta)\)
dan
\(2 B=\alpha-\beta\)
\(B=\frac{1}{2}(\alpha-\beta)\)
Selanjutnya, kedua persamaan itu disubstitusikan
\(\cos \alpha+\cos \beta=2 \cos \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \cos \frac{1}{2}(\alpha-\beta)\)
B. Rumus Pengurangan Cosinus
Dari rumus \(-2 \sin A \sin B=\cos (A+B)-\cos (A-B)\), dengan memisalkan \(A+B=\alpha \operatorname{dan} A-B=\beta\), terdapat rumus:
\(\cos \alpha-\cos \beta=-2 \sin \frac{1}{2}(\alpha+\beta) \sin \frac{1}{2}(\alpha-\beta)\)
C. Contoh Soal Penjumlahan dan Pengurangan Cosinus
1. Sederhanakan : \(\cos 100^{\circ}+\cos 20^{\circ}\)
Penyelesaian :
\(\cos 100^{\circ} + \cos 20^{\circ}\)
\(=2 \cos \frac{1}{2}(100+20)^{\circ} \cos \frac{1}{2}(100-20)^{\circ}\)
\(=2 \cos 60^{\circ} \cos 40^{\circ}\)
\(=2 \cdot \frac{1}{2} \cos 40^{\circ}\)
\(=\cos 40^{\circ}\)
2. Sederhanakan : \(\cos 35^{\circ}-\cos 25^{\circ}\)
Penyelesaian :
\(\cos 35^{\circ} - \cos 25^{\circ}\)
\(= -2 \sin \frac{1}{2}(35+25)^{\circ} \sin \frac{1}{2}(35-25)^{\circ}\)
\(=-2 \sin 30^{\circ} \sin 5^{\circ}\)
\(=-2 \cdot \frac{1}{2} \sin 5^{\circ}\)
\(=-\sin 5^{\circ}\)
