Berikut merupakan contoh persamaan diferensial.
1. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x y\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}=0$
2. $\frac{d^{4} x}{d t^{4}}+5 \frac{d^{2} x}{d t^{2}}+3 x=\sin t$
3. $\frac{\partial v}{\partial s}+\frac{\partial v}{\partial t}=v$
4. $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial y^{2}}+\frac{\partial^{2} u}{\partial z^{2}}=0$
Selanjutnya, persamaan diferensial dapat pula dinotasikan sebagai $y^{\prime}=\frac{d y}{d x}$ atau $x^{\prime}=\frac{d x}{d t}$
Persamaan Differensial Biasa adalah Persamaan yang
mempunyai fungsi satu variable bebas
Contoh
$\frac{d y}{d x}+y=x^{2}$
$x y\left(\frac{d^{3} y}{d x^{3}}\right)^{2}+\sin \left(\frac{d^{2} y}{d x^{2}}\right)+8 x^{2} y\left(\frac{d y}{d x}\right)+x^{2}=0$
Beberapa contoh persamaan diferensial biasa di bidang engineering:
a. Hukum Newton II ttg gerak : $\frac{\mathrm{d} v}{\mathrm{d} t}=\frac{F}{m}$
b. Hukum Fourier ttg panas : Heat flux $=-k \frac{\mathrm{d} T}{\mathrm{d} x}$
c. Hukum Fick ttg difusi: Mass flux $=-D \frac{\mathrm{d} C}{\mathrm{d} x}$
Persamaan diferensial biasa merupakan sebuah bentuk persamaan yang memuat turunan satu atau lebih variabel tak bebas terhadap satu variabel bebas suatu fungsi.
Penentuan order suatu persamaan diferensial tergantung pada kandungan fungsi turunan di
dalam persamaan diferensial tersebut. Order atau tingkat suatu persamaan diferensial
merupakan pangkat tertinggi turunan dalam persamaan diferensial.
Contoh:
1. $y^{\prime}=\sin x+\cos x$ : persamaan diferensial biasa order
pertama.
2. $y^{\prime \prime}+7 y=0$ : persamaan diferensial biasa order kedua.
3. $y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-4 y=0$ : persamaan diferensial biasa order kedua.
4. $y^{\prime \prime \prime}-e^{x} y^{\prime \prime}-y y^{\prime}=\left(x^{2}+1\right) y^{2}$ : persamaan diferensial biasa order ketiga.
Persamaan Diferensial Parsial
Persamaan diferensial parsial merupakan sebuah bentuk persamaan yang memuat turunan parsial satu atau lebih variabel tak bebas terhadap lebih dari satu variabel bebas suatu fungsi.
Contoh:
1) $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}=0$
2) $\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial v}{\partial y}+2 v=0$
3) $\frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}+\frac{\partial u}{\partial y}=k$
4) $\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial z}=e$ ,e: Konstanta
Persamaan Diferensial Biasa Linear dan non Linear
Persamaan diferensial biasa linear order n dapat dituliskan sebagai $a_{0}(x) \frac{d^{n} y}{d x^{n}}+a_{1}(x) \frac{d^{n-1} y}{d x^{n-1}}+\cdots+a_{n}(x) y=b(x)$
Dimana $a_{0} \neq 0$
Persamaan diferensial biasa non linear jika persamaan diferensial tersebut tak linear.
Contoh:
1. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+4 y=0$
(PD linear order dua)
2. $\frac{d^{4} y}{d x^{4}}+x^{2} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{3} \frac{d y}{d x}=x e^{x} \quad$ (PD linear order empat)
3. $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+3 \frac{d y}{d x}+4 y^{3}=0$
(PD non linear)
4. $\left(\frac{d^{4} y}{d x^{4}}\right)^{2}+x^{2} \frac{d^{3} y}{d x^{3}}+x^{3} \frac{d y}{d x}=x e^{x} \quad$ (PD non linear).
