Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.
Contoh :
\(x\frac{dy}{dx}-y^{2}=0\)
\(xy\frac{d^2y}{dx^2}-y^{2}sinx=0\)
\(\frac{d^3y}{dx^3}-y\frac{dy}{dx}+e^{4x}=0\)
Proses Pembentukan Persamaan Diferensial
Contoh : \(y=Asinx+Bcosx\) A, B = konstanta sembarang
\(\frac{dy}{dx}=Acosx-Bsinx\)
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-Asinx-Bcosx\)
\(\frac{d^2y}{dx^2}=-y\rightarrow \frac{d^2y}{dx^2}+y=0\) (PD Orde 2)
Contoh :
Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi \(y=x+\frac{A}{x}\)
Solusi: \(y=x+\frac{A}{x}=x+Ax^{-1}\)
\(\frac{dy}{dx}=1-Ax^{-2}=1-\frac{A}{x^2}\)
dari persamaan diatas
\(\frac{A}{x}=y-x \rightarrow A=x(y-x)\)
\(\frac{dy}{dx}=1-\frac{x(y-x)}{x^2}=1-\frac{y-x}{x}=\frac{x-y+x}{x}=\frac{2x-y}{x}\)
\(x\frac{dy}{dx}=2x-y \rightarrow\) PD Orde 1
Contoh: Bentuklah persamaan diferensial untuk \(y=Ax^2+Bx\)
Solusi:
\(y=Ax^2+Bx\)
\(\frac{dy}{dx}=2Ax+b\)
\(\frac{d^2y}{dx^2}=2A \rightarrow A=\frac{1d^2y}{2dx^2}\)
Subtitusi
\(\rightarrow \frac{dy}{dx}=x\frac{d^2y}{dx^2}+B\)
\(B=\frac{dy}{dx}-x\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(y=x^2\frac{1}{2}\frac{d^2y}{dx^2}+x(\frac{dy}{dx}-x\frac{d^2}{dx^2})\)
\(=\frac{x^2}{2}\frac{d^2y}{dx^2}+x\frac{dy}{dx}-x^2\frac{d^2y}{dx^2}\)
\(y=x\frac{dy}{dx}-\frac{x^2}{2}\frac{d^2y}{dx^2}\)
Catatan:
Fungsi dengan 1 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-satu Fungsi dengan 2 konstanta sembarang menghasilkan persamaan orde-dua
Penyelesaian Persamaan Diferensial
Penyelesaian Persamaan Diferensial manipulasi persamaan tersebut sehingga seluruh turunannya hilang dan harga menyisakan hubungan antara x dan y.
Metode 1 : Dengan integrasi secara langsung
Bila persamaan dalam bentuk y’=f(x), maka persamaan tersebut dapat diselesaikan dengan integrasi sederhana
Catatan selanjutnya:
\(\frac{dy}{dx}\) ditulis y'
\(\frac{d^2}{dx^2}\) ditulis y"
Contoh:
\(y'=3x^3-6x+5\)
\(y=\int (3x^2-6x+5)dx=x^3-3x^2+5x+C\)
\(y=x^3-3x^2+5x+c\)
Contoh:
\(xy'=5x^3+4\)
\(y'=5x^2+\frac{2}{x}\rightarrow y=\int (5x^2+\frac{4}{x})dx\)
\(y=\frac{5}{3}x^3+4Inx+C\)
Contoh: Tentukan penyelesaian khusus dari persamaan \(e^xy'=4\rightarrow y'=\frac{4}{e^x}\)
\(y=\int (\frac{4}{e^x}dx=\int 4e^{-x}dx=-4e^{-x}+C\)
Masukkan nilai \(x=0\rightarrow y=3\)
\(3=-4e^{-0}+C\rightarrow C=7\)
\(y=-4e^{-x}+7\)
Metode 2: Dengan pemisahan variabel
Bila persamaan yang diberikan berbentuk \(y'=f(x,y)\), variabel y di sisi kanan menyebabkan persamaan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan integrasi langsung.
Contoh:
\(y'=\frac{2x}{y+1}\rightarrow (y+1)y'=2x\)
\(\int (y+x)dy=\int 2x dx\)
\(\frac{y^2}{2}+y=x^2+C\)
Contoh:
\(y'=(1+x)(1+y)\)
\(\frac{1}{(1+y)}y'=(1+x)\)
\(\int \frac{1}{(1+y)}dy=\int (1+x)dx\rightarrow In(1+y)=x+\frac{x^2}{2}+C\)
Contoh : \(y'=\frac{y^2+xy^2}{x^2y-x^2}\rightarrow y'=\frac{y^2+xy^2}{x^2y-x^2}\)
\(y'=\frac{y^2(1+x)}{x^2(y-1)}\rightarrow \frac{y-1}{y^2}dy=\frac{(1+x)}{x^2}dx\)
\(\int \frac{y-1}{y^2}dy=\int \frac{(1+x)}{x^2}dx\rightarrow \int \frac{1}{y}-y^{-2})dy=\int (x^{-2}+\frac{1}{x})dx\)
\(In y+y^{-1}=-x^{-1}+Inx+C\)
\(In y+\frac{1}{y}=-\frac{1}{x}+Inx+C\)
Contoh : \(y'=\frac{y-1}{x}\rightarrow \frac{1}{y-1}dy=\frac{1}{x}dx\)
\(\int \frac{1}{y-1}dy=\int \frac{1}{x}dx\)
\(Iny-1=Inx+C\)
Contoh: \(xyy'=\frac{x^2+1}{y+1}\)
\(y(y+1)y'=\frac{x^2+1}{x}\)
\(\rightarrow \int (y^2+y)dy=\int (x+\frac{1}{x})dx\)
\(\rightarrow \frac{y^3}{3}+\frac{y^2}{2}=\frac{x^2}{2}+Inx+C\)
Contoh: y tan x.y = \((4+y^2)sec^2x\)
\(\frac{y}{4+y^2}y'=\frac{sec^2x}{tanx}\rightarrow \int(\frac{y}{4+y^2})dy=\int (\frac{sec^2}{tanx})dx\)
\(\frac{1}{2}In(y+y^2)\) = In tanx + C
Contoh Persamaan diferensial biasa
Selesai