Logika
dari sebuah pernyataan sederhana, sampai mesin tabel kebenaran yang bisa Anda jalankan sendiri.
Setiap hari kita mengatakan hal-hal seperti “jika hujan, maka jalanan basah”. Logika matematika mengubah kalimat seperti itu menjadi simbol, lalu menguji nilainya — Benar (B) atau Salah (S) — dengan aturan yang presisi. Di modul ini Anda tidak hanya membaca: Anda akan menyalakan mesin-mesin logika, menggeser saklar, mengisi tabel kebenaran, dan mengerjakan kuis.
Contoh pegangan kita
Sepanjang modul ini kami memakai satu contoh yang sama: $p:$ 9 bilangan ganjil (B) dan $q:$ 7 bilangan ganjil (B). Konsisten, biar mudah dibandingkan antar-bab.
Pernyataan: bahan baku logika
Apa itu pernyataan?
Pernyataan (proposisi) adalah kalimat deklaratif yang nilainya pasti: benar (B) atau salah (S) — tidak boleh keduanya, tidak boleh ragu-ragu.
- “9 adalah bilangan ganjil” → pernyataan, nilainya B.
- “7 < 5” → pernyataan juga! Nilainya S — salah boleh, asal pasti.
- “Tutup bukumu!” → perintah, tak punya nilai B/S.
- “$x + 2 = 10$” → kalimat terbuka, nilainya bergantung pada $x$.
Kenapa kalimat terbuka “belum” pernyataan?
Kalimat $x+2=10$ bisa benar (jika $x=8$) bisa juga salah (jika $x=1$). Nilainya belum pasti. Ia baru menjadi pernyataan setelah $x$ diganti nilai tertentu — misalnya “$1+2=10$” → pasti S.
Tentukan jenis tiap kartu. Kartu langsung menyala teal jika tepat, dan merah bata jika keliru.
Skor bab ini: 0 / 6
Negasi: mesin pembalik nilai
Benar jadi salah, salah jadi benar
Negasi dari $p$, ditulis $\sim p$ dan dibaca “tidak p”, adalah pernyataan baru yang nilainya kebalikan dari $p$. Inilah satu-satunya operator yang bekerja pada satu pernyataan saja.
| $p$ | $\sim p$ |
|---|---|
| B | S |
| S | B |
$p:$ “9 adalah bilangan ganjil” $(B)$.
$\sim p:$ “9 bukan bilangan ganjil” $(S)$. ✓
Hati-hati!
Negasi bukan berarti “kebalikan makna bebas”. Negasi dari “semua ikan bisa terbang” bukan “semua ikan tidak bisa terbang”, melainkan “tidak semua ikan bisa terbang” — cukup satu ikan saja yang tidak terbang untuk membuktikannya.
—
–—
–Perhatikan: nilai keluaran SELALU berlawanan dengan masukannya.
Konjungsi ∧ : aturannya “dan” — keduanya harus benar
Bedah kata “dan”
$p \land q$ dibaca “$p$ dan $q$”. Kata dan itu keras kepala: gabungannya baru benar jika kedua-duanya benar. Cukup satu yang gagal, seluruh gabungan runtuh menjadi $S$.
| Baris | $p$ | $q$ | $p \land q$ |
|---|---|---|---|
| I | B | B | B |
| II | B | S | S |
| III | S | B | S |
| IV | S | S | S |
$p:$ 9 bilangan ganjil $(B)$, $q:$ 7 bilangan ganjil $(B)$.
$p \land q$: “9 dan 7 bilangan ganjil” → B karena keduanya benar.
Sekarang ganti $q$ menjadi “6 bilangan ganjil” $(S)$ → hasilnya langsung S.
Analogi rangkaian seri
$p \land q$ itu seperti dua saklar berurutan menuju satu lampu. Lampu menyala hanya jika saklar 1 dan saklar 2 sama-sama tertutup. Nanti di Bab 4 Anda bisa menyalakannya sendiri!
Misalkan: p = “n bilangan ganjil”, q = “k bilangan ganjil”.
Coba angka lain: n = 8, k = 7 → p jadi S; amati baris mana saja yang ikut berubah.
Disjungsi ∨ : aturannya “atau” — cukup satu benar
Bedah kata “atau”
$p \lor q$ dibaca “$p$ atau $q$”. Dalam matematika, atau bersifat inklusif: kalau keduanya benar sekaligus, hasilnya tetap benar. Salah hanya pada satu kasus: keduanya salah.
| Baris | $p$ | $q$ | $p \lor q$ |
|---|---|---|---|
| I | B | B | B |
| II | B | S | B |
| III | S | B | B |
| IV | S | S | S |
$p:$ 9 ganjil $(B)$, $q:$ 7 ganjil $(B)$ → $p \lor q = $ B.
Jika keduanya diganti bilangan genap $(S,S)$ → baris IV → S.
“Atau” versi warung vs versi matematika
“Mau gorengan atau risoles?” — dalam bahasa sehari-hari sering berarti pilih satu (eksklusif). Dalam logika matematika, “membeli gorengan atau risoles” tetap benar meski Anda membeli keduanya. Versi “pilih satu” disebut disjungsi eksklusif dan dilambangkan ⊕ — seperti tombol XOR di mesin Bab 7.
Seri = konjungsi: lampu hanya menyala jika saklar p DAN saklar q tertutup. Sinyal “mandek” di saklar yang masih terbuka.
–
–
–
Amati: p → q hanya “kalah” saat p = B dan q = S. Rahasia ini dibedah tuntas di bab berikutnya.
Implikasi → : logika sebuah janji
$p \rightarrow q$ dibaca “jika $p$, maka $q$”. Bayangkan $p$ sebagai syarat dan $q$ sebagai janji. Kapan sebuah janji disebut diingkari? Hanya ketika syaratnya terpenuhi tapi janjinya tidak ditepati. Itulah mengapa dari 4 kemungkinan, implikasi hanya bernilai $S$ pada satu baris.
JIKA … MAKA …
Uji keempat kombinasi P/Q satu per satu — hanya satu yang menghasilkan S.
Tabel kebenaran $p \rightarrow q$, lengkap dengan alasannya
| $p$ | $q$ | $p \to q$ | Mengapa? |
|---|---|---|---|
| B | B | B | syarat terpenuhi, janji ditepati |
| B | S | S | syarat terpenuhi, janji dilanggar! |
| S | B | B | janji tak pernah “aktif” — tak dilanggar |
| S | S | B | idem — tetap tak ada pelanggaran |
Jebakan klasik: jangan menukar arah!
$p \rightarrow q$ tidak sama dengan $q \rightarrow p$ (itu namanya konvers). “Jika hujan maka jalan basah” benar; tapi “jika jalan basah maka hujan” bisa saja salah — siapa tahu baru saja disiram petugas kebersihan.
Biimplikasi ↔ : kembar atau bukan sama sekali
“Jika dan hanya jika”
$p \leftrightarrow q$ dibaca “$p$ jika dan hanya jika $q$”. Aturannya paling mudah diingat: nilainya $B$ tepat ketika $p$ dan $q$ senilai (sama-sama $B$ atau sama-sama $S$). Bisa dibilang, ↔ adalah “detektor kembaran”.
| $p$ | $q$ | $p \to q$ | $q \to p$ | $(p\to q)\land(q\to p)$ |
|---|---|---|---|---|
| B | B | B | B | B |
| B | S | S | B | S |
| S | B | B | S | S |
| S | S | B | B | B |
…
$p \leftrightarrow q$ bernilai B hanya saat $p = q$.
$p \leftrightarrow q$ nilainya sama persis dengan $p \land q$.
Mesin Logika Universal & bengkel tabel kebenaran
| $p$ | $q$ | p ∧ q |
|---|---|---|
| B | B | B |
| B | S | S |
| S | B | B |
| S | S | B |
Baris yang menyala kuning = kombinasi P/Q yang sedang Anda pilih. Output ⊕ (XOR) = B saat p ≠ q.
Klik sel kosong untuk berganti — → B → S. Isi kolom hasil keempat operator, lalu tekan Periksa.
| $p$ | $q$ | $p \land q$ | $p \lor q$ | $p \to q$ | $p \leftrightarrow q$ |
|---|
Rumus inti untuk dihafal
Keenam kartu di bawah adalah “kunci-kunci” yang paling sering keluar di soal. Semua ekuivalensi ($\equiv$) bisa Anda buktikan sendiri: susun tabel kebenaran kedua ruas, lalu amati kolomnya identik — persis seperti yang Anda lakukan di mesin Bab 7.
$\sim(p \lor q) \equiv \sim p \land \sim q$
Saat tanda ~ “menyebar” menembus kurung, ∧ bertukar menjadi ∨ dan sebaliknya. Contoh: “tidak benar (hujan dan dingin)” = “tidak hujan atau tidak dingin”.
Senjata utama pembuktian matematika: takut membuktikan $p \to q$ langsung? Buktikan bentuk kebalikannya yang “berjalan mundur”.
“Janji tak dilanggar berarti: syaratnya gagal atau janjinya sukses.” Identik di keempat baris tabel.
Dua janji yang saling mengunci. Sering dipakai untuk membuktikan “syarat perlu dan cukup”.
$p \land \sim p \equiv S$ (kontradiksi)
Tautologi: selalu benar untuk semua kemungkinan. Kontradiksi: selalu salah. Kontingensi: di antaranya — tergantung baris.
Membalik dua kali = kembali ke asal. Sederhana, tapi fondasi dari banyak penyederhanaan kalimat logika.
Kuis penutup: buktikan Anda paham
0 / 6