1. Turunan pertama dari fungsi \(f(x) = (2x^2 - 3x)^4\) adalah \(f'(x)\) = ...
Pembahasan:
Gunakan Aturan Rantai: Misal \(u = 2x^2 - 3x \implies u' = 4x - 3\)
\(f'(x) = 4u^3 \cdot u' = 4(2x^2 - 3x)^3 \cdot (4x - 3) = 4(4x - 3)(2x^2 - 3x)^3\).
Gunakan Aturan Rantai: Misal \(u = 2x^2 - 3x \implies u' = 4x - 3\)
\(f'(x) = 4u^3 \cdot u' = 4(2x^2 - 3x)^3 \cdot (4x - 3) = 4(4x - 3)(2x^2 - 3x)^3\).
2. Persamaan garis singgung kurva \(y = x^2 - 4x + 3\) yang sejajar dengan garis \(2x - y + 5 = 0\) adalah...
Pembahasan:
Gradien garis sejajar \(2x - y + 5 = 0 \implies m = 2\)
Gradien kurva \(y' = 2x - 4 = 2 \implies 2x = 6 \implies x = 3\)
Substitusi \(x = 3 \implies y = 3^2 - 4(3) + 3 = 0\)
Persamaan garis singgung melalui \((3,0)\):
\(y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6\).
Gradien garis sejajar \(2x - y + 5 = 0 \implies m = 2\)
Gradien kurva \(y' = 2x - 4 = 2 \implies 2x = 6 \implies x = 3\)
Substitusi \(x = 3 \implies y = 3^2 - 4(3) + 3 = 0\)
Persamaan garis singgung melalui \((3,0)\):
\(y - 0 = 2(x - 3) \implies y = 2x - 6\).
3. Grafik fungsi \(f(x) = \frac{1}{3}x^3 - 2x^2 - 5x + 10\) turun pada interval...
Pembahasan:
Syarat fungsi turun: \(f'(x) < 0\)
\(f'(x) = x^2 - 4x - 5 < 0\)
\((x - 5)(x + 1) < 0 \implies -1 < x < 5\).
Syarat fungsi turun: \(f'(x) < 0\)
\(f'(x) = x^2 - 4x - 5 < 0\)
\((x - 5)(x + 1) < 0 \implies -1 < x < 5\).
4. Sebuah persegi panjang memiliki keliling \(40\text{ cm}\). Luas persegi panjang tersebut akan bernilai maksimum jika panjangnya...
Pembahasan:
Keliling \(2(p + l) = 40 \implies l = 20 - p\)
Fungsi Luas: \(L(p) = p \cdot l = p(20 - p) = 20p - p^2\)
Syarat maksimum \(L'(p) = 0 \implies 20 - 2p = 0 \implies p = 10\text{ cm}\).
Keliling \(2(p + l) = 40 \implies l = 20 - p\)
Fungsi Luas: \(L(p) = p \cdot l = p(20 - p) = 20p - p^2\)
Syarat maksimum \(L'(p) = 0 \implies 20 - 2p = 0 \implies p = 10\text{ cm}\).
5. Jika \(f(x) = \sin^3(2x - 1)\), maka turunan pertamanya \(f'(x)\) adalah...
Pembahasan:
Gunakan Aturan Rantai:
\(f'(x) = 3\sin^2(2x - 1) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x - 1)]\)
\(f'(x) = 3\sin^2(2x - 1) \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = 6\sin^2(2x - 1)\cos(2x - 1)\).
Gunakan Aturan Rantai:
\(f'(x) = 3\sin^2(2x - 1) \cdot \frac{d}{dx}[\sin(2x - 1)]\)
\(f'(x) = 3\sin^2(2x - 1) \cdot \cos(2x - 1) \cdot 2 = 6\sin^2(2x - 1)\cos(2x - 1)\).
6. Posisi lintasan benda dinyatakan oleh \(s(t) = 2t^3 - 9t^2 + 12t + 5\). Kecepatan benda saat percepatannya sama dengan nol adalah...
Pembahasan:
Kecepatan \(v(t) = s'(t) = 6t^2 - 18t + 12\)
Percepatan \(a(t) = v'(t) = 12t - 18\)
Saat percepatan nol: \(12t - 18 = 0 \implies t = 1{,}5\text{ detik}\)
\(v(1{,}5) = 6(1{,}5)^2 - 18(1{,}5) + 12 = 13{,}5 - 27 + 12 = -1{,}5\text{ m/s}\).
Kecepatan \(v(t) = s'(t) = 6t^2 - 18t + 12\)
Percepatan \(a(t) = v'(t) = 12t - 18\)
Saat percepatan nol: \(12t - 18 = 0 \implies t = 1{,}5\text{ detik}\)
\(v(1{,}5) = 6(1{,}5)^2 - 18(1{,}5) + 12 = 13{,}5 - 27 + 12 = -1{,}5\text{ m/s}\).
7. Persamaan garis normal kurva \(y = x^3 - 3x\) pada titik berabsis \(2\) adalah...
Pembahasan:
Absis \(x = 2 \implies y = 2^3 - 3(2) = 2 \implies\) Titik \((2, 2)\)
\(y' = 3x^2 - 3 \implies m_{gs} = 3(2)^2 - 3 = 9\)
Gradien garis normal \(m_n = -\frac{1}{m_{gs}} = -\frac{1}{9}\)
Persamaan: \(y - 2 = -\frac{1}{9}(x - 2) \implies 9y - 18 = -x + 2 \implies x + 9y - 20 = 0\).
Absis \(x = 2 \implies y = 2^3 - 3(2) = 2 \implies\) Titik \((2, 2)\)
\(y' = 3x^2 - 3 \implies m_{gs} = 3(2)^2 - 3 = 9\)
Gradien garis normal \(m_n = -\frac{1}{m_{gs}} = -\frac{1}{9}\)
Persamaan: \(y - 2 = -\frac{1}{9}(x - 2) \implies 9y - 18 = -x + 2 \implies x + 9y - 20 = 0\).
8. Koordinat titik belok dari fungsi kurva \(f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1\) adalah...
Pembahasan:
Syarat titik belok: \(f''(x) = 0\)
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
\(f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies x = 2\)
Substitusi \(x = 2 \implies f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3\)
Titik belok adalah \((2, 3)\).
Syarat titik belok: \(f''(x) = 0\)
\(f'(x) = 3x^2 - 12x + 9\)
\(f''(x) = 6x - 12 = 0 \implies x = 2\)
Substitusi \(x = 2 \implies f(2) = 2^3 - 6(2)^2 + 9(2) + 1 = 8 - 24 + 18 + 1 = 3\)
Titik belok adalah \((2, 3)\).
9. Nilai dari limit \(\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos 4x}{x \sin 2x}\) dapat dihitung menggunakan konsep turunan (L'Hopital) yaitu...
Pembahasan:
Aturan L'Hopital (Turunkan pembilang dan penyebut):
\(\lim_{x \to 0} \frac{4\sin 4x}{\sin 2x + 2x\cos 2x}\) (masih \(\frac{0}{0}\), turunkan sekali lagi)
\(\lim_{x \to 0} \frac{16\cos 4x}{2\cos 2x + 2\cos 2x - 4x\sin 2x} = \frac{16\cos 0}{4\cos 0 - 0} = \frac{16}{4} = 4\).
Aturan L'Hopital (Turunkan pembilang dan penyebut):
\(\lim_{x \to 0} \frac{4\sin 4x}{\sin 2x + 2x\cos 2x}\) (masih \(\frac{0}{0}\), turunkan sekali lagi)
\(\lim_{x \to 0} \frac{16\cos 4x}{2\cos 2x + 2\cos 2x - 4x\sin 2x} = \frac{16\cos 0}{4\cos 0 - 0} = \frac{16}{4} = 4\).
10. Diketahui fungsi \(f(x) = x^2 \cos x\). Nilai turunan pertama fungsi tersebut saat \(x = \pi\) adalah...
Pembahasan:
Gunakan aturan perkalian \(f'(x) = u'v + uv'\):
\(u = x^2 \implies u' = 2x\)
\(v = \cos x \implies v' = -\sin x\)
\(f'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x\)
Substitusi \(x = \pi\):
\(f'(\pi) = 2\pi\cos\pi - \pi^2\sin\pi = 2\pi(-1) - \pi^2(0) = -2\pi\).
Gunakan aturan perkalian \(f'(x) = u'v + uv'\):
\(u = x^2 \implies u' = 2x\)
\(v = \cos x \implies v' = -\sin x\)
\(f'(x) = 2x\cos x - x^2\sin x\)
Substitusi \(x = \pi\):
\(f'(\pi) = 2\pi\cos\pi - \pi^2\sin\pi = 2\pi(-1) - \pi^2(0) = -2\pi\).