Haii adik-adik...
Selamat datang di halaman contoh soal dan pembahasan "Integral". Di halaman ini akan membahas tentang contoh soal dan pembahasan lengkap mengenai Integral.
Untuk lebih jelasnya mari kita lihat contoh soal dan pembahasan dibawah ini!
1. Daerah \( R \) di kuadran satu, dibatasi oleh grafik \(y=x^2\),\(y=x+2\) dan \(y=0\). Integral yang menyatakan luas daerah \(R\) adalah...
a) \(\int_{-2}^{-1}\limits(x+2)dx\int_{-1}^{0}\limits x^2 dx\)
b) \(\int_{-2}^{-1}\limits(x+2) dx-\int_{-1}^{0}\limits x^2 dx\)
c) \(\int_{-2}^{-1}\limits x^2 dx+\int_{-1}^{0}\limits(x+2)dx\)
d) \(\int_{0}^{2}\limits-x^2+x+2 dx\)
e) \(\int_{0}^{2}\limits(x^2+x-2)dx\)
Pembahasan:
Luas dengan batas kurva : \(\int_{b}^{a}(G(x)-F(x))dx \)
kurva \(y=x^2\) memiliki puncak dititik \((0,0)\)
garis \(y=x+2\)
maka, Luas =\(\int_{0}^{2}(x+2)-x^2 dx=\int_{0}^{2}-x^2+x+2 dx\)
2. Luas daerah di bawah \(y=-x^2+8x\), diatas \(y=6x-24\) dan terletak di kuadran satu adalah...
a) \(\int_{0}^{4}\limits(-x^2+8x)dx+\int_{4}^{6}\limits(x^2-2x-24)dx\)
b) \(\int_{0}^{4}\limits(-x^2+8x)dx+\int_{4}^{6}\limits(-x^2+2x+24)dx\)
c) \(\int_{0}^{6}\limits(-x^2+8x)dx+\int_{6}^{8}\limits(-x^2+2x-24)dx\)
d) \(\int_{4}^{6}\limits(6x-24)dx+\int_{6}^{8}\limits(-x^2+8x)dx\)
e) \(\int_{0}^{4}\limits(6x+24)dx+\int_{4}^{6}\limits(-x^2+8x)dx\)
Pembahasan:
Kurva \(y=-x^2+8x\)
Titik puncak :
\(y'=0\)
\(-2x+8=0 \)
\(x=(-8)/(-2)=4 \)
Sehingga, \(y=-(4)^2+8.4=-16+32=16\) jadi titik puncaknya adalah \((4,16)\)
Titik potong pada sumbu \(x (y = 0)\)
\(0=-x^2+8x\)
\(0=x(-x+8)\)
\(x=0 dan x=8\)
titik potongnya \((0,0) dan (8,0)\)
Luas daerah \(= L_1+L_2\)
\(=\int_{0}^{4}-x^2+8x dx+\int_{4}^{6}(-x^2+8x)-(6x-24)dx\)
\(=\int_{0}^{4}-x^2+8x dx+\int_{4}^{6}-x^2+8x-6x-24 dx\)
\(=\int_{0}^{4}-x^2+8x dx+\int_{4}^{6}-x^2+2x+24\)
3. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=x^2\),\(y=1\) dan \(x=2\) adalah...
a) \(\int_{-1}^{2}\limits(1-x^2 )dx\)
b) \(\int_{-1}^{2}\limits(x^2-1)dx\)
c) \(\int_{1}^{2}\limits(x^2-1)dx\)
d) \(\int_{-1}^{1}\limits(1-x^2 )dx\)
e) \(\int_{0}^{2}\limits(x^2-1)dx\)
Pembahasan:
Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=x^2\) ,\(y=1\) dan \(x=2\) adalah \(\int_{1}^{2}(x^2-1)dx\)
4. \(\int\limits 4\sin ^2 2x \cos x dx?\)
a) \(2 \sin x-\frac{1}{5}\sin 5x+\frac{1}{3}\sin 3x+c\)
b) \(-2 \sin x+\frac{1}{5}\sin 5x+\frac{1}{3}\sin 3x+c\)
c) \(-2 \sin x+\frac{1}{5}\sin 5x-\frac{1}{3}\sin 3x+c\)
d) \(2 \sin x-\frac{1}{5}\sin 5x-\frac{1}{3}\sin 3x+c\)
e) \(2 \sin x+\frac{1}{5}\sin 5x-\frac{1}{3}\sin 3x+c\)
Pembahasan:
=\(\int 2.2\sin 2x\sin 2x\cos x dx \)
=\(\int 2.2\sin 2x\sin 2x\cos x dx\)
=\(\int 2(-\cos (2x+2x)+\cos (2x-2x)\cos x dx \)
=\(\int 2(-\cos 4x+\cos 0).\cos x dx\)
=\(\int 2(-\cos 4x+1).\cos x dx\)
=\(\int -2\cos 4x.\cos x+2 \cos x dx \)
=\(\int -(\cos (4x+x)+\cos (4x-x)+2 \cos x dx\)
=\(\int -\cos 5x-\cos 3x+2.\cos x dx \)
=\(1/5\sin 5x-1/3\sin 3x+2\sin x+c\)
=\(2\sin x-1/5\sin 5x-1/3\sin 3x+c\)
5. \(\int\limits x^2 \sin x dx\)=
a) \(-x^2 \cos x+2x \sin x+2 \cos x+c\)
b) \(x^2\cos 2x+\sin x+2 \cos x+c\)
c) \(x^2\cos 2x+2\sin x+2\cos 2x+c\)
d) \(-x^2\cos x+2x \sin 2x+2\cos x+c\)
e) \(x^2\cos x+2 \sin x+2x \cos x+c\)
Pembahasan:
=\(x^2 (-\cos x)-\int (-\cos x) 2x dx\)
=\(-x^2 x+2\int x\cos x dx\)
=\(x^2 \cos x+2 (x \sin x+\cos x)+c\)
=\(-x^2 \cos x+2x \sin x+2 \cos x+c\)
6. \(\int\limits \sin ^3 3x\cos 3x dx\)=
a) \(\frac{1}{6} \sin ^4 3x+c\)
b) \(\frac{1}{12}\sin ^4 3x+c\)
c) \(\frac{-1}{12}\sin ^3 3x+c\)
d) \(\frac{-1}{6}\sin ^3 3x+c\)
e) \(\frac{1}{6} \sin ^3 3x+c\)
Pembahasan:
\(\int u^3\cos 3x\ du/3\cos 3x\)
\(\frac{1}{3}\int u^3 du\)
\(\frac{1}{3}*\frac{1}{4}u^4\)
\(\frac{1}{12}\sin ^43x+c\)
7. Tentukan volume benda putar mengelilingi sumbu \(x\) jika diketahui \(y=x+2\),\(x=1\) dan \(x=3\)
a) \(\pi \frac{96}{3}\)
b) \(\pi \frac{98}{3}\)
c) \(\pi \frac{94}{3}\)
d) \(\pi \frac{93}{3}\)
e) \(\pi \frac{97}{3}\)
Pembahasan:
=\(\pi \int_{1}^{3}y^2 dx\)
=\(\pi \int_{1}^{3}(x+2)^2 dx\)
=\(\pi \int_{1}^{3}(x^2+4x+4)dx\)
=\(\pi (\frac{1}{3}x^3+2x^2+4x)\)
=\(\pi (9+18+12)-(1/3+2+4)\)
=\pi (39-\frac{19}{3})
=\pi \frac{98}{3}
8. Tentukan volume benda putar mengelilingi sumbu \(Y\) jika diketahui \(y= x^{2}+1\), \(y =1\) dan \(y=3\)
a) \(2\pi\)
b) \(\frac{1}{2}\pi\)
c) \(\frac{1}{4}\pi\)
d) \(4\pi\)
e) \(\frac{3}{2}\pi\)
Pembahasan:
=\(\pi \int_{1}^{3} x^2 dy \)
=\(\pi \int_{1}^{3} y-1 dy \)
=\(\pi \frac{1}{2} y^2-y \)
=\(\pi (\frac{9}{2}-3)-(\frac{1}{2}-1)\)
=\(2\pi\)
9. Hitung luas daerah S yang dibatasi \(y = 4 – x\), \(x = 1\) dan \(x = 7\) adalah
a) \(10\)
b) \(9\)
c) \(\frac{9}{2}\)
d) \(\frac{7}{2}\)
e) \(8\)
Pembahasan:
=\(\int_{1}^{4}(4-x)dx+\int_{4}^{7}(4-x)dx\)
= \(4x-\frac{1}{2} x^2 |_1^4+(-4x)+\frac{1}{2} x^2 |_4^7 \)
=\((16-8)-(4-\frac{1}{2})+(-28+\frac{49}{2})-(-16+8) \)
=\(\frac{9}{2}+\frac{9}{2}\)
=\(9\)
10. \(\int\limits \sqrt{\frac{1}{2}x-5}dx\)
a) \(3(\frac{1}{2}x-5) \sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
b) \(\frac{3}{2}(\frac{1}{2}x-5) \sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
c) \(\frac{2}{3}(\frac{1}{2}x-5) \sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
d) \(\frac{3}{4}(\frac{1}{2}x-5) \sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
e) \(\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x-5) \sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
Pembahasan:
\(\int (\frac{1}{2}x-5)^(\frac{1}{2}) dx\)
\(\int p^(\frac{1}{2}).2 dp\)
=\(2*\int p^(\frac{1}{2}) dp\)
=\(2.\frac{2}{3}p^(\frac{3}{2})\)
=\(\frac{4}{3}p^(\frac{3}{2})\)
=\(\frac{4}{3}(\frac{1}{2}x-5)\sqrt{\frac{1}{2}x-5}+c\)
