Konjugasi Kompleks sebagai Automorfisma

Pembuktian bahwa \(\varphi(a+bi) = a-bi\) merupakan automorfisma lapangan \(\mathbb{C}\)

Definisi Fungsi

Diberikan fungsi \(\varphi: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) dengan definisi:

\( \varphi(a + bi) = a - bi, \quad a, b \in \mathbb{R} \)

Ini adalah konjugasi kompleks, biasanya ditulis \(\varphi(z) = \overline{z}\).

Secara geometri, konjugasi kompleks mencerminkan bilangan kompleks terhadap sumbu real pada bidang kompleks.

Syarat Automorfisma Lapangan

Sebuah fungsi \(\varphi: \mathbb{C} \to \mathbb{C}\) disebut automorfisma lapangan jika:

1. \(\varphi\) bijektif
2. \(\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)\) untuk semua \(x, y \in \mathbb{C}\)
3. \(\varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \cdot \varphi(y)\) untuk semua \(x, y \in \mathbb{C}\)
4. \(\varphi(1) = 1\)

Pembuktian

1. Homomorfisma Penjumlahan

Ambil \(z_1 = a + bi\), \(z_2 = c + di\) dengan \(a, b, c, d \in \mathbb{R}\).

\( z_1 + z_2 = (a + c) + (b + d)i \)

\( \varphi(z_1 + z_2) = (a + c) - (b + d)i \)

Di sisi lain:

\( \varphi(z_1) + \varphi(z_2) = (a - bi) + (c - di) = (a + c) - (b + d)i \)

Terbukti \(\varphi(z_1 + z_2) = \varphi(z_1) + \varphi(z_2)\).

2. Homomorfisma Perkalian

\( z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i \)

\( \varphi(z_1 \cdot z_2) = (ac - bd) - (ad + bc)i \)

Hitung \(\varphi(z_1) \cdot \varphi(z_2)\):

\( \begin{aligned} \varphi(z_1) \cdot \varphi(z_2) &= (a - bi)(c - di) \\ &= ac - adi - bci + bd i^2 \\ &= ac - (ad + bc)i + bd(-1) \\ &= (ac - bd) - (ad + bc)i \end{aligned} \)

Terbukti \(\varphi(z_1 \cdot z_2) = \varphi(z_1) \cdot \varphi(z_2)\).

3. \(\varphi(1) = 1\)

\( 1 = 1 + 0i \quad \Rightarrow \quad \varphi(1) = 1 - 0i = 1 \)

4. Bijektif

• Injektif: Jika \(\varphi(z_1) = \varphi(z_2)\), maka:
  \( a - bi = c - di \ \Rightarrow\ a = c \text{ dan } b = d \ \Rightarrow\ z_1 = z_2 \)
• Surjektif: Ambil sembarang \(w = u + vi \in \mathbb{C}\). Pilih \(z = u - vi\), maka:
  \( \varphi(z) = u + vi = w \)

Contoh Numerik

Contoh Penjumlahan

Misal \(z_1 = 1 + 2i\), \(z_2 = 3 + 4i\):

\( z_1 + z_2 = 4 + 6i \quad \Rightarrow \quad \varphi(4 + 6i) = 4 - 6i \)

\( \varphi(z_1) + \varphi(z_2) = (1 - 2i) + (3 - 4i) = 4 - 6i \)

Contoh Perkalian

\( z_1 \cdot z_2 = (1 + 2i)(3 + 4i) = -5 + 10i \)

\( \varphi(-5 + 10i) = -5 - 10i \)

\( \varphi(z_1) \cdot \varphi(z_2) = (1 - 2i)(3 - 4i) = -5 - 10i \)

Coba Sendiri: Kalkulator Konjugasi Kompleks

Masukkan dua bilangan kompleks dan lihat bagaimana konjugasi bekerja:

\(z_1 = a + bi\)

\(z_2 = c + di\)

Kesimpulan

Fungsi \(\varphi(z) = \overline{z}\) memenuhi semua syarat automorfisma lapangan \(\mathbb{C}\):

\( \boxed{\varphi \text{ adalah automorfisma lapangan } \mathbb{C}} \)

Konjugasi kompleks adalah automorfisma yang kontinu pada \(\mathbb{C}\) sebagai ruang topologi, dan merupakan contoh penting dari automorfisma lapangan yang bukan identitas.

Dokumen HTML ini dibuat untuk mendemonstrasikan pembuktian konjugasi kompleks sebagai automorfisma.

RHOMDANI | © 2023

Konjugasi Kompleks sebagai Automorfisma 2025-12-08T17:39:00+07:00 Rating: 4.5 Diposkan Oleh: Admin