Integral Kompleks - Materi dan Contoh

Integral Kompleks: Konsep Dasar dan Contoh

1. Definisi Integral Garis Kompleks

Integral kompleks didefinisikan sebagai integral garis sepanjang kurva di bidang kompleks.

Jika \( C \) adalah kurva mulus dengan parameterisasi: \[ z(t) = x(t) + i y(t), \quad a \leq t \leq b \] maka integral fungsi kompleks \( f(z) \) sepanjang \( C \) adalah: \[ \int_C f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t)) \, z'(t) \, dt \]

Interpretasi dalam Bentuk Riil

Jika \( f(z) = u(x,y) + i v(x,y) \) dan \( dz = dx + i dy \), maka:

\[ \int_C f(z) \, dz = \int_C (u dx - v dy) + i \int_C (v dx + u dy) \]

Catatan: Integral ini mengemas dua integral garis riil menjadi satu bentuk kompleks yang lebih kompak.

2. Sifat-Sifat Penting

Linearitas:

\[ \int_C [\alpha f(z) + \beta g(z)] \, dz = \alpha \int_C f(z) \, dz + \beta \int_C g(z) \, dz \]

Reversing Path:

\[ \int_{-C} f(z) \, dz = -\int_C f(z) \, dz \] di mana \(-C\) adalah kurva \(C\) dengan orientasi berlawanan.

Ketergantungan Lintasan:

Untuk fungsi analitik, integral tidak bergantung pada lintasan (hanya pada titik awal dan akhir).

3. Contoh Soal: Integral \( f(z) = z \)

Soal:

Hitung \(\displaystyle \int_C z \, dz\) dengan \( C \) adalah garis lurus dari \( z = 0 \) ke \( z = 1 + i \).

Penyelesaian:

Cara 1: Parameterisasi Langsung

Langkah 1: Parameterisasi garis lurus dari \( 0 \) ke \( 1+i \): \[ z(t) = t + it = t(1+i), \quad 0 \leq t \leq 1 \]

Langkah 2: Tentukan turunan \( z'(t) \): \[ z'(t) = 1 + i \]

Langkah 3: Evaluasi \( f(z(t)) \): \[ f(z(t)) = z(t) = t + it = t(1+i) \]

Langkah 4: Hitung integral: \[ \begin{aligned} \int_C z \, dz &= \int_0^1 f(z(t)) \cdot z'(t) \, dt \\ &= \int_0^1 [t(1+i)] \cdot (1+i) \, dt \\ &= (1+i)^2 \int_0^1 t \, dt \end{aligned} \]

Langkah 5: Hitung \( (1+i)^2 \): \[ (1+i)^2 = 1 + 2i + i^2 = 1 + 2i - 1 = 2i \]

Langkah 6: Hitung integral sederhana: \[ \int_0^1 t \, dt = \left[ \frac{t^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2} \]

Langkah 7: Gabungkan hasil: \[ \int_C z \, dz = (2i) \cdot \frac{1}{2} = i \]

\[ \boxed{\int_C z \, dz = i} \]

Cara 2: Menggunakan Anti-turunan (Karena \( f \) Analitik)

Langkah 1: Cari anti-turunan dari \( f(z) = z \): \[ F(z) = \frac{z^2}{2} \quad \text{(karena } F'(z) = z\text{)} \]

Langkah 2: Gunakan teorema fundamental: \[ \int_C z \, dz = F(1+i) - F(0) \]

Langkah 3: Hitung \( F(1+i) \): \[ F(1+i) = \frac{(1+i)^2}{2} = \frac{1 + 2i + i^2}{2} = \frac{1 + 2i - 1}{2} = \frac{2i}{2} = i \]

Langkah 4: Hitung \( F(0) \): \[ F(0) = \frac{0^2}{2} = 0 \]

Langkah 5: Substitusi: \[ \int_C z \, dz = i - 0 = i \]

\[ \boxed{\int_C z \, dz = i} \]

Catatan: Kedua cara memberikan hasil yang sama karena \( f(z) = z \) adalah fungsi analitik (holomorfik) di seluruh bidang kompleks.

4. Visualisasi dalam Bidang Kompleks

Lintasan Integral: Garis lurus dari \( 0 \) ke \( 1+i \)

Persamaan parametrik: \( z(t) = t + it \), \( 0 \leq t \leq 1 \)

Interpretasi geometris: Integral mengukur "akumulasi" dari fungsi sepanjang lintasan.

Nilai hasil \( i \) menunjukkan bahwa:

Bagian riil dari integral = 0
Bagian imajiner dari integral = 1

5. Kesimpulan

Integral kompleks \( \int_C f(z) \, dz \) adalah generalisasi dari integral garis riil ke bidang kompleks.

Untuk fungsi analitik, kita dapat menggunakan:

Parameterisasi langsung: \( \int_C f(z) \, dz = \int_a^b f(z(t)) z'(t) \, dt \)
Anti-turunan: \( \int_C f(z) \, dz = F(z_1) - F(z_0) \) jika \( F'(z) = f(z) \)

Dalam contoh \( \int_C z \, dz \) dari \( 0 \) ke \( 1+i \), hasilnya adalah \( i \).

Integral Kompleks