Kumpulan Soal Induksi Matematika — 10 Pembuktian Lengkap

S(k+1) = S(k) + U(k+1)

basis ✓ · langkah ✓ · maka ∀n ✓

Induksi Matematika · Kumpulan Soal

10 Soal Induksi

Oleh : Rohmad Wahid Rhomdani

Tentang koleksi ini

Sepuluh pembuktian rumus jumlah deret, disusun runtut berdasarkan keluarga polanya — dari polinom kubik, keluarga $n^2+c$, sampai deret geometri. Setiap soal: basis → langkah induksi → cocokkan target.

Cara memakai

Di setiap soal ada Uji Numerik: geser $n$ dan lihat rumusnya cocok. Lalu ikuti stepper pembuktian — di situlah keajaibannya dibuktikan untuk semua $n$.

01
Dua Langkah Saktibasis induksi + langkah induksi — domino tak hingga
02
Peta 10 Soal · 5 Keluargasatu strategi untuk semua pola
03
Uji Numerik di Tiap Soalrasakan dulu kecocokannya, baru buktikan
04
Stepper Pembuktian Lengkapsetiap baris aljabar, satu per satu

Gulir ke bawah

DASAR

Dua Langkah Utama

Bagaimana membuktikan pernyataan untuk tak hingga banyak bilangan asli? Dengan dua langkah — seperti domino:

Basis Induksi

Domino pertama jatuh. Buktikan pernyataan benar untuk nilai awal, biasanya $n=1$.

Langkah Induksi

Setiap domino menjatuhkan berikutnya. Andaikan benar untuk $n=k$, buktikan benar untuk $n=k+1$.

Kedua syarat terpenuhi → seluruh rangkaian PASTI jatuh.

Logikanya

$P(1)$ benar

$P(k)\Rightarrow P(k+1)$

$P(n)$ benar $\forall n\ge1$

Jika ada $n$ yang gagal, himpunan kegagalannya punya elemen terkecil (Well-Ordering) — dan elemen terkecil itu pasti punya "pendahulu yang berhasil". Kontradiksi!

PETA

10 Soal · 5 Keluarga

Kesepuluh soal ini bukan sepuluh teknik berbeda — melainkan satu strategi untuk lima wajah soal. Klik nomornya untuk melompat:

Kenali keluarganya, maka strateginya otomatis: jumlah deret = jumlah sebelumnya + suku berikutnya.

STRATEGI

Senjata Universal

Seluruh 10 soal bertumpu pada satu kalimat — jumlah sampai $k+1$ itu jumlah sampai $k$ ditambah satu suku:

$S_{k+1}=S_k+U_{k+1}$

Klaim

Tuliskan rumus yang akan dibuktikan untuk semua $n\ge1$.

Basis · n=1

Hitung suku pertama dan ruas kanan — keduanya harus sama.

Andaikan n=k

Percayai rumus berlaku untuk $S_k$ — ini hipotesis induksi.

Tuju n=k+1

Tambah $U_{k+1}$, sederhanakan, lalu cocokkan dengan target.

Hasil aljabar Anda$S_k+U_{k+1}$ disederhanakan

≈?

harus identik

Target · rumus dengan n→k+1$S(k+1)$ dari klaim awal

Rahasia langkah 4: kembangkan kedua ruas secara terpisah — jika polinomnya sama persis, pembuktian selesai. ∎

SOAL 01Kubik · n³+1

Polinom Kubik

$2+9+28+65+126+\cdots+(n^3+1)=\dfrac{n^2(n+1)^2+4n}{4}$

Suku umum: $U_n=n^3+1$ → suku-sukunya: $1^3{+}1{=}2,\;2^3{+}1{=}9,\;3^3{+}1{=}28,\dots$

Basis · n = 1

Kiri: $U_1=1^3+1=\mathbf{2}$
Kanan: $\dfrac{1^2(2)^2+4(1)}{4}=\dfrac{4+4}{4}=\mathbf{2}$
Sama ✓ — $P(1)$ benar.

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$S_k=\dfrac{k^2(k+1)^2+4k}{4}$

Hipotesis induksi — kita percayai rumus berlaku sampai $k$.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=S_k+\big((k+1)^3+1\big)$

Senjata universal: jumlah lama + satu suku baru.

③ SUBSTITUSI

$=\dfrac{k^2(k+1)^2+4k}{4}+(k+1)^3+1$

Ganti $S_k$ dengan hipotesis.

④ SAMAKAN PENYEBUT 4

$=\dfrac{k^2(k+1)^2+4k+4(k+1)^3+4}{4}$

$4\big((k+1)^3+1\big)$ dinaikkan ke pembilang.

⑤ KEMBANGKAN

$=\dfrac{k^4+6k^3+13k^2+16k+8}{4}$

$k^2(k+1)^2=k^4+2k^3+k^2$ dan $4(k+1)^3=4k^3+12k^2+12k+4$… dijumlah rapi.

⑥ COCOKKAN TARGET

$\dfrac{(k+1)^2(k+2)^2+4(k+1)}{4}=\dfrac{k^4+6k^3+13k^2+16k+8}{4}$

Ruas kanan klaim dengan $n{=}k{+}1$ — dikembangkan pun menghasilkan polinom yang sama persis. ∎ Terbukti.

Langkah 1 /

SOAL 02Kuadrat · n²+2

Keluarga $n^2+c$ — dengan Deteksi Suku

$3+6+11+18+27+\cdots+(n^2+2)=\dfrac{2n^3+3n^2+13n}{6}$

Misalkan $U_n=an^2+bn+c$. Pakai tiga suku pertama:
$a+b+c=3$ · $4a+2b+c=6$ · $9a+3b+c=11$

Kurangkan: $(4a{+}2b{+}c)-(a{+}b{+}c)\Rightarrow 3a+b=3$; $(9a{+}3b{+}c)-(4a{+}2b{+}c)\Rightarrow 5a+b=5$.
Selisih keduanya: $2a=2\Rightarrow a=1$ → $b=0$ → $c=2$.

Jadi $U_n=n^2+2$ — cek: $1{+}2{=}3$ ✓, $4{+}2{=}6$ ✓, $9{+}2{=}11$ ✓.

Basis · n = 1

Kiri: $U_1=1^2+2=\mathbf{3}$
Kanan: $\dfrac{2+3+13}{6}=\dfrac{18}{6}=\mathbf{3}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$S_k=\dfrac{2k^3+3k^2+13k}{6}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=S_k+\big((k+1)^2+2\big)$

Suku berikutnya: $U_{k+1}=(k+1)^2+2$.

③ SAMAKAN PENYEBUT 6

$=\dfrac{2k^3+3k^2+13k+6(k^2+2k+3)}{6}$

$6\big((k+1)^2+2\big)=6(k^2+2k+3)$.

④ KEMBANGKAN

$=\dfrac{2k^3+9k^2+25k+18}{6}$

Kumpulkan: $3k^2+6k^2=9k^2$; $13k+12k=25k$; $6\cdot3=18$.

⑤ COCOKKAN TARGET

$\dfrac{2(k+1)^3+3(k+1)^2+13(k+1)}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+25k+18}{6}$

$2(k^3{+}3k^2{+}3k{+}1)+3(k^2{+}2k{+}1)+13k{+}13$ — hasilnya identik. ∎

Langkah 1 /

SOAL 03Kuadrat · n²+5

Saudara Kandung Soal 2

$6+9+14+21+\cdots+(n^2+5)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+5n=\dfrac{2n^3+3n^2+31n}{6}$

Perhatikan bentuk pertama: $\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$ adalah $\sum n^2$, lalu $+5n=\sum 5$ — dua deret dasar digabung!

Basis · n = 1

Kiri: $U_1=1^2+5=\mathbf{6}$
Kanan: $\dfrac{2+3+31}{6}=\dfrac{36}{6}=\mathbf{6}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$S_k=\dfrac{2k^3+3k^2+31k}{6}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=S_k+\big((k+1)^2+5\big)$

Suku berikutnya: $(k+1)^2+5$.

③ SAMAKAN PENYEBUT 6

$=\dfrac{2k^3+3k^2+31k+6(k^2+2k+6)}{6}$

$6\big((k+1)^2+5\big)=6(k^2+2k+6)$.

④ KEMBANGKAN

$=\dfrac{2k^3+9k^2+43k+36}{6}$

$31k+12k=43k$; $6\cdot6=36$.

⑤ COCOKKAN TARGET

$\dfrac{2(k+1)^3+3(k+1)^2+31(k+1)}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+43k+36}{6}$

Identik setelah dikembangkan. ∎ — pola persis Soal 2, hanya konstantanya bergeser.

Langkah 1 /

SOAL 04Kuadrat · n²+9

Keluarga n²+c · c = 9

$10+13+18+25+\cdots+(n^2+9)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+9n=\dfrac{2n^3+3n^2+55n}{6}$

Basis · n = 1

Kiri: $U_1=1^2+9=\mathbf{10}$
Kanan: $\dfrac{2+3+55}{6}=\dfrac{60}{6}=\mathbf{10}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$S_k=\dfrac{2k^3+3k^2+55k}{6}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=S_k+\big((k+1)^2+9\big)$

Suku berikutnya: $(k+1)^2+9$.

③ SAMAKAN PENYEBUT 6

$=\dfrac{2k^3+3k^2+55k+6(k^2+2k+10)}{6}$

$6\big((k+1)^2+9\big)=6(k^2+2k+10)$.

④ KEMBANGKAN

$=\dfrac{2k^3+9k^2+67k+60}{6}$

$55k+12k=67k$; $6\cdot10=60$.

⑤ COCOKKAN TARGET

$\dfrac{2(k+1)^3+3(k+1)^2+55(k+1)}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+67k+60}{6}$

Identik. ∎ — lihat polanya: tiap naik $c$ sebesar 1, koefisien $n$ naik 6.

Langkah 1 /

SOAL 05Kuadrat · n²+8

Penutup Keluarga n²+c

$9+12+17+24+\cdots+(n^2+8)=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}+8n=\dfrac{2n^3+3n^2+49n}{6}$

Cek pola Soal 2–5: $c=2,5,9,8$ ↔ koefisien $n$: $13,31,55,49$ — selalu $6c+1$. Konsisten!

Basis · n = 1

Kiri: $U_1=1^2+8=\mathbf{9}$
Kanan: $\dfrac{2+3+49}{6}=\dfrac{54}{6}=\mathbf{9}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$S_k=\dfrac{2k^3+3k^2+49k}{6}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=S_k+\big((k+1)^2+8\big)$

Suku berikutnya: $(k+1)^2+8$.

③ SAMAKAN PENYEBUT 6

$=\dfrac{2k^3+3k^2+49k+6(k^2+2k+9)}{6}$

$6\big((k+1)^2+8\big)=6(k^2+2k+9)$.

④ KEMBANGKAN

$=\dfrac{2k^3+9k^2+61k+54}{6}$

$49k+12k=61k$; $6\cdot9=54$.

⑤ COCOKKAN TARGET

$\dfrac{2(k+1)^3+3(k+1)^2+49(k+1)}{6}=\dfrac{2k^3+9k^2+61k+54}{6}$

Identik. ∎ — empat saudara kandung, satu strategi yang sama.

Langkah 1 /

SOAL 06Geometri · r = 4

Deret Geometri 4ⁿ

$4+16+64+\cdots+4^n=\dfrac{4\,(4^n-1)}{3}$

Basis · n = 1

Kiri: $4^1=\mathbf{4}$
Kanan: $\dfrac{4(4-1)}{3}=\dfrac{12}{3}=\mathbf{4}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$4+16+\cdots+4^k=\dfrac{4(4^k-1)}{3}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=\dfrac{4(4^k-1)}{3}+4^{k+1}=\dfrac{4(4^k-1)+3\cdot4^{k+1}}{3}$

Tambah $4^{k+1}$, samakan penyebut 3.

③ KUNCI: 4^(k+1) = 4·4^k

$=\dfrac{4^{k+1}-4+3\cdot4^{k+1}}{3}$

$4\cdot4^k=4^{k+1}$ — suku pertama pembilang "naik pangkat".

④ KUMPULKAN

$=\dfrac{4\cdot4^{k+1}-4}{3}=\dfrac{4\,(4^{k+1}-1)}{3}$

$4^{k+1}+3\cdot4^{k+1}=4\cdot4^{k+1}$. Bentuk akhir persis klaim dengan $n{=}k{+}1$. ∎

Langkah 1 /

SOAL 07Geometri · r = 5

Ganti Rasio: 5ⁿ

$5+25+125+\cdots+5^n=\dfrac{5\,(5^n-1)}{4}$

Pembanding: Soal 6 pakai penyebut $r-1=3$; di sini $r-1=4$. Rumus geometri $\frac{a(r^n-1)}{r-1}$ dengan $a=r$.

Basis · n = 1

Kiri: $5^1=\mathbf{5}$
Kanan: $\dfrac{5(5-1)}{4}=\dfrac{20}{4}=\mathbf{5}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$5+25+\cdots+5^k=\dfrac{5(5^k-1)}{4}$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=\dfrac{5(5^k-1)}{4}+5^{k+1}=\dfrac{5(5^k-1)+4\cdot5^{k+1}}{4}$

Tambah $5^{k+1}$, samakan penyebut 4.

③ KUNCI: 5^(k+1) = 5·5^k

$=\dfrac{5(5^k-1)+20\cdot5^k}{4}=\dfrac{25\cdot5^k-5}{4}$

$4\cdot5^{k+1}=20\cdot5^k$; lalu $5\cdot5^k+20\cdot5^k=25\cdot5^k=5^{k+2}$… perhatikan $25\cdot5^k=5\cdot5^{k+1}$.

④ BENTUK AKHIR

$=\dfrac{5\cdot5^{k+1}-5}{4}=\dfrac{5\,(5^{k+1}-1)}{4}$

Faktorkan 5 — persis klaim dengan $n{=}k{+}1$. ∎

Langkah 1 /

SOAL 08Linear · 4n

Deret Aritmetika 4n

$4+8+12+\cdots+4n=n(2n+2)=2n(n+1)$

Kali ini senjatanya bukan menyamakan penyebut, melainkan faktorisasi di langkah akhir.

Basis · n = 1

Kiri: $4(1)=\mathbf{4}$
Kanan: $1\,(2\cdot1+2)=\mathbf{4}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$4+8+\cdots+4k=k(2k+2)$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=k(2k+2)+4(k+1)$

Suku berikutnya: $4(k+1)$.

③ KEMBANGKAN

$=2k^2+2k+4k+4=2k^2+6k+4$

Aljabar biasa — kumpulkan suku sejenis.

④ FAKTORKAN

$=2(k^2+3k+2)=2(k+1)(k+2)$

$k^2+3k+2=(k+1)(k+2)$ — faktorisasi kuadrat klasik.

⑤ BENTUK TARGET

$=(k+1)\,(2k+4)=(k+1)\big(2(k+1)+2\big)$

$2(k+1)(k+2)=(k+1)\cdot2(k+2)=(k+1)(2k+4)$ — persis klaim dengan $n{=}k{+}1$. ∎

Langkah 1 /

SOAL 09Campur · 3·2ⁿ

Koefisien × Pangkat

$6+12+24+\cdots+3(2^n)=6\,(2^n-1)$

Basis · n = 1

Kiri: $3(2^1)=\mathbf{6}$
Kanan: $6(2-1)=\mathbf{6}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$6+12+\cdots+3(2^k)=6(2^k-1)$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=6(2^k-1)+3\,(2^{k+1})$

Suku berikutnya: $3\cdot2^{k+1}$.

③ KUNCI: 3·2^(k+1) = 6·2^k

$=6\cdot2^k-6+6\cdot2^k=12\cdot2^k-6$

$3\cdot2^{k+1}=3\cdot2\cdot2^k=6\cdot2^k$ — rasio "ditelan" jadi koefisien.

④ BENTUK AKHIR

$12\cdot2^k=6\cdot2^{k+1}\;\Rightarrow\;S_{k+1}=6\,(2^{k+1}-1)$

$12\cdot2^k=6\cdot2\cdot2^k=6\cdot2^{k+1}$. Persis klaim dengan $n{=}k{+}1$. ∎

Langkah 1 /

SOAL 10Campur · 2·3ⁿ

Final: Rasio 3

$6+18+54+162+\cdots+2(3^n)=3\,(3^n-1)$

Basis · n = 1

Kiri: $2(3^1)=\mathbf{6}$
Kanan: $3(3-1)=3\cdot2=\mathbf{6}$
Sama ✓

LANGKAH INDUKSI

① ANDAIKAN n = k

$6+18+\cdots+2(3^k)=3\,(3^k-1)$

Hipotesis induksi.

② TUJU n = k+1

$S_{k+1}=3(3^k-1)+2\,(3^{k+1})$

Suku berikutnya: $2\cdot3^{k+1}$.

③ KUNCI: 3·3^k = 3^(k+1)

$=3\cdot3^k-3+2\cdot3^{k+1}=3^{k+1}-3+2\cdot3^{k+1}$

Koefisien 3 "naik pangkat" menjadi $3^{k+1}$.

④ BENTUK AKHIR

$=3\cdot3^{k+1}-3=3\,(3^{k+1}-1)$

$3^{k+1}+2\cdot3^{k+1}=3\cdot3^{k+1}$. Persis klaim dengan $n{=}k{+}1$. ∎ Sepuluh dari sepuluh — selesai!

Langkah 1 /

SIMPULAN

Dua Langkah, Sepuluh Bukti

Dari sepuluh soal di atas, pembuktian selalu kembali ke dua langkah yang sama:

Basis Induksi

Membuktikan pernyataan benar untuk nilai awal, biasanya $n=1$. Domino pertama jatuh — tanpa ini, seluruh rangkaian berdiri di udara.

Langkah Induksi

Menganggap pernyataan benar untuk $n=k$ (hipotesis), lalu membuktikan benar untuk $n=k+1$. Senjata utamanya: $S_{k+1}=S_k+U_{k+1}$, ditutup dengan mencocokkan hasil aljabar terhadap target.

Jika kedua langkah berhasil, pernyataan terbukti benar untuk semua bilangan asli $n\ge1$ — tanpa perlu memeriksa satu per satu hingga tak hingga.

INTI

Yang Abadi dari 10 Soal Ini

Satu kalimat untuk semua 10 soal?

$S_{k+1}=S_k+U_{k+1}$ — jumlah berikutnya adalah jumlah sekarang ditambah satu suku.

Kalau basis gagal di n = 1?

Seluruh pembuktian gugur — langkah induksi boleh secantik apa pun, tanpa domino pertama tak ada yang jatuh.

Kapan pembuktian dinyatakan selesai?

Ketika hasil aljabar identik dengan target $S(k+1)$ — dua kolom bertemu di polinom yang sama.

Kenapa 10 soal terasa "sama"?

Karena memang satu strategi — yang berbeda hanya wajah suku umumnya: kubik, kuadrat, geometri, campuran.

BASIS LANGKAH ∀ n ≥ 1

Bersambung · Latihan Mandiri Ketaksamaan & Pembagian Induksi untuk $2^n>n$ dan keterbagian $6\mid n^3-n$

Teori Bilangan: Induksi Matematika

10 Soal Induksi

Dua Langkah Utama

10 Soal · 5 Keluarga

Senjata Universal

Klaim

Basis · n=1

Andaikan n=k

Tuju n=k+1

Polinom Kubik

Keluarga $n^2+c$ — dengan Deteksi Suku

Saudara Kandung Soal 2

Keluarga n²+c · c = 9

Penutup Keluarga n²+c

Deret Geometri 4ⁿ

Ganti Rasio: 5ⁿ

Deret Aritmetika 4n

Koefisien × Pangkat

Final: Rasio 3

Dua Langkah, Sepuluh Bukti

Yang Abadi dari 10 Soal Ini