Sebelum menentukan rumus sinus jumlah/selisih dua sudut, kita akan membuktikan bahwa \(\cos(\frac{\pi }{2} -\theta )= \sin\theta \) dan \(\sin\frac{\pi }{2}-\theta = \cos\theta \). Untuk membuktikan persamaan yang pertama, kita dapat menggunakan rumus cosinus selisih dua sudut.
\(\cos(\frac{\pi }{2}-\theta )\)
\(= \cos\frac{\pi }{2}\cos\theta + \sin\frac{\pi }{2}\sin\theta \)
\(=(0)\cos\theta + (1)\sin\theta \)
\(= \sin\theta \)
Untuk persamaan yang kedua, kita akan menggunakan \(\cos\frac{\pi }{2}-\theta = \sin\theta \), dan mengganti \(\theta \) dengan bilangan real \(\frac{\pi }{2}- t \). Sehingga
\(\cos(\frac{\pi }{2}-\theta )\)
\(= \sin\theta \)
\(\Leftrightarrow \cos(\frac{\pi }{2}-[\frac{\pi }{2}-\theta ])\)
\(=\sin(\frac{\pi }{2}-t)\)
\(\Leftrightarrow \cos t = \sin(\frac{\pi }{2}-t)\)
Sehingga, kita memperoleh \(cos t = sin (\frac{\pi }{2} – t)\) untuk t sembarang bilangan real. Kedua identitas di atas dapat dituliskan ke dalam sembarang bilangan real t.
Identitas untuk Sudut-sudut yang Berkomplemen
\(\cos(\frac{\pi }{2}-t)= \sin t \)
\(\cos t = \sin(\frac{\pi }{2}-t)\)
Rumus sinus jumlah dan selisih dua sudut dapat ditentukan dengan menggunakan identitas di atas. Karena sin \(\sin t = \cos (\frac{\pi }{2}-t)\), kita cukup mensubstitusi t dengan \(\alpha +\beta \) atau \(\alpha -\beta \)
\(\sin t = \cos(\frac{\pi }{2}-t)\)
\(\sin(\alpha +\beta )= \cos[\frac{\pi }{2}-(\alpha +\beta )]\)
\(=\cos[(\frac{\pi }{2}-\alpha )-\beta ]\)
\(=\cos(\frac{\pi }{2}-a)\cos\beta + \sin(\frac{\pi }{2}-\alpha )\sin\beta \)
\(=\sin\alpha \cos\beta + \cos\alpha \sin\beta \)
contoh soal
1. Dengan menggunakan rumus penjumlahan dua sudut tentukan nilai dari \(\sin75^{\circ}\)
a. \(\frac{1}{4}\sqrt{6}+\sqrt{2}\)
b. \(\frac{1}{4}\)
c. \(\frac{1}{4}\sqrt{2}+\sqrt{6}\)
d. \(\frac{1}{4}\sqrt{6}-\sqrt{2}\)
pembahasan
\(\sin 75^{\circ} = \sin (45^{\circ}+30^{\circ})\)
\(=\sin45^{\circ}\cos30^{\circ} + \cos45^{\circ} \sin30^{\circ}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\)
\(\frac{1}{4}\sqrt{6}\ +\ \frac{1}{2}\sqrt{2}\))
\(=\frac{1}{4}\sqrt{6}+\sqrt{2}\)
2. Dengan menggunakan rumus selisih dua sudut tentukan nilai dari \(\sin15^{\circ}\)
a.\(\frac{1}{4}\sqrt{6}\ +\sqrt{2}\)
b.\(\frac{1}{4}\sqrt{6}\ -\sqrt{2}\)
c. \(\frac{1}{4}\sqrt{2}\ +\sqrt{6}\)
d. \(\frac{1}{4}\sqrt{6}\ +\sqrt{4}\)
pembahasan
\(\sin15^{\circ} = \sin(45^{\circ}-30^{\circ})\)
\(=\sin45^{\circ} . \cos30^{\circ}+ \cos45^{\circ} . \sin30^{\circ}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\)
\(=\frac{1}{4}\sqrt{6} . \frac{1}{4}\sqrt{2}\)
\(=\frac{1}{4}(\sqrt{6} -\sqrt{2})\)
*# Tangen Jumlah dan Selisih Dua Sudut #*
Rumus tangen jumlah
Tan (A + B)= \(\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot \tan B}\)
Pembuktian:
Tan A=\(\frac{\sin A}{\cos A}\)
Tan (A+B)=\(\frac{\sin (A+B)}{\cos (A+B)}\)
\(=\frac{\sin A \cos B +\cos A \sin B}{\cos A \cos B - \sin A \sin B}\times\frac{\frac{1}{\cos A \cos B}}{\frac{1}{\cos A \cos B}}\)
\(=\frac{\frac{\sin A \cos B}{\cos A \cos B}+\frac{\cos A \sin B}{\cos A \cos B}}{\frac{\cos A \cos B}{\cos A \cos B}-\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}}\)
\(=\frac{\sin A \sin B}{\cos A \cos B}\)
\(=\frac{\tan A+\tan B}{1-\tan A\cdot \tan B}\)
Rumus selisih
Tan (A - B)=\(\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\cdot \tan B}\)
Pembuktian:
Tan (A-B)= Tan (A+(-B))
\(=\frac{\tan A+\tan (-B)}{1-\tan A\cdot \tan (-B)}\)
\(=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\cdot \tan B}\)
\(=\frac{\tan A-\tan B}{1+\tan A\cdot \tan B}\)
Contoh soal
1. Hitunglah nilai dari tan \(75^{\circ}!\)
a. \(2+\sqrt{3}\)
b. \(3+\sqrt{2}\)
c. \(2-\sqrt{3}\)
d. \(\sqrt{3}\)
jawaban A
pembahasan
tan (A+B)
tan \(45^{\circ}+30^{\circ}=\)
\(\frac{45^{\circ}+30^{\circ}}{1-45^{\circ}+30^{\circ}}=\)
\(\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-1\cdot\frac{1}{3}\sqrt{3}}\)
\(\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}\times\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}\)
\(\frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{3}\sqrt{3}+\frac{1}{9}\times 3}{1-\frac{1}{3}}\)
\(\frac{4}{3}+\frac{2}{3}\sqrt{3}\)
\(2+\sqrt{3}\)
2. Hitunglah nilai dari tan \(15^{\circ}!\)
a.\(2-\sqrt{4}\)
b.\(2-\sqrt{3}\)
c.\(2+\sqrt{3}\)
d.\(\sqrt{3}\)
jawaban B
pembahasan
tan \(15^{\circ}=\)tan\(45^{\circ}-\)\(30^{\circ}\)
\(=\frac{45^{\circ}-30^{\circ}}{1+45^{\circ}30^{\circ}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+1\cdot \frac{1}{3}\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}\times \frac{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+\frac{1}{3}\sqrt{3}}\)
\(=\frac{1-\frac{\sqrt{3}}{3}}{1+\frac{\sqrt{3}}{3}}\)
\(=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}\)
\(=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}\)
\(=\frac{(3-\sqrt{3})\times (3-\sqrt{3})}{6}\)
\(=\frac{(3-\sqrt{3})^{2}}{6}\)
\(=\frac{9-6\sqrt{3}+3}{6}\)
\(=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}\)
\(=\frac{6(2-\sqrt{3})}{6}\)
\(=2-\sqrt{3}\)
