Persamaan diferensial adalah suatu hubungan yang terdapat antara suatu variabel
independen x, suatu variabel dependen y, dan satu atau lebih turunan y terhadap x.
Orde dari suatu persamaan diferensial ditentukan oleh turunan tertinggi dalam persamaan tersebut.
Suatu Persamaan Diferensial adalah suatu persamaan yang memuat satu atau lebih turunan dari fungsi yang tak diketahui. Suatu Persamaan Diferensial Biasa orde n dapat ditulis dalam bentuk \(F(x,y,y^{'},y^{"},. . .,y^{n}) = 0\)
Contoh :
\(x\frac{dy}{dx} - y^{2} = 0 \rightarrow\) PD Orde Satu
A. Metode menyelesaikan Persamaan Diferensial Tingkat Satu
1. Persamaan diferensial Variabel Terpisah :
Bentuk Umum : \(f(x)dx + g(x)dy = 0\)
PUPD : \(\int f(x)dx + \int g(x)dy = 0\)
Contoh :
Selesaikan Persamaan Diferensial : \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^{2}}{1+3y^{2}}\)
Penyelesaian dapat ditulis : \(\left ( 1 + 3y^{2} \right ) - x^{2}dy = 0\)
\(\int \left ( 1 + 3y^{2} \right )dy - \int x^{2}dx = 0\)
PUPD : \(y + y^{3} - \frac{1}{3}x^{3} = C\)
2. Persamaan Diferensial Homogen
Persamaan Diferensial tingkat satu dan derajat satu disebut Persamaan
Diferensial Homogen, Jika Persamaan Diferensial tersebut dapat dinyatakan
dalam bentuk : \(\frac{dy}{dx} = f(\frac{y}{x})\)
Contoh :
Selesaikan Persamaan Diferensial \(\left ( x^{2} + y^{2} \right )dy + 2xy\ dy = 0\)
Penyelesaian :
\(\frac{dy}{dx} = - \frac{x^{2} + y^{2}}{2xy} = - \frac{1 +(\frac{y}{x})^{2}}{2(\frac{y}{x})}\)
substitusi y = vx dan dy = v dx + x dv\(\left ( 1 + v^{2} \right )dx + 2v(vdx + xdv) = 0\)
\(\frac{2v\ dv}{1 + 3v^{2}} + \frac{dx}{x} = 0\)
\(\frac{1}{3}\int \frac{d(1 + 3V^{2})}{1 + 3V^{2}} + \int \frac{dx}{x} = C\)
ln\(\left ( 1 + 3V^{2} \right )x^{3} = C\)
maka PUPD : \(\left ( 1 + 3\frac{y^{2}}{x^{2}} \right )x^{3} = C\)
3. Persamaan Diferensial Linier Tingkat Satu :
Bentuk Umum : \(\frac{dy}{dx} + P(x)y = Q(x)\)
PUPD : \(ye^{\int p(x)dx} = \int Q(x)e^{\int p(x)dx} + C\)
dimana : \(e^{\int p(x)dx}\) dinamakan faktor pengintegralan
Contoh :
Selesaikan persamaan diferensial \(y^{'} + x^{-1}y = 4x^{2}\)
Penyelesaian :
faktor pengintegral \(e^{\int p(x)dx} = e^{\int x^{-1}dx} = e^{ln x} = x\)
PUPD : y . x = \(\int 4x^{2}\) . x dx + C atau xy = \(x^{4} + C\)
Contoh Soal :
1. Bentuk sebuah persamaan diferensial dari fungsi \(y = x + \frac{A}{x}\)
Solusi :
\(y = x + \frac{A}{x} = x + Ax^{-1}\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - Ax^{-2} = 1 - \frac{A}{x^{2}}\) dari persamaan diatas
\(\frac{A}{x} + y - x \rightarrow A = x(y-x)\)
\(\frac{dy}{dx} = 1 - \frac{x(y-x)}{x^{2}} = 1 - \frac{y-x}{x} = \frac{x-y+x}{x} = \frac{2x-y}{x}\)
\(X \frac{dy}{dx} = 2x - y\)
2. Carilah Penyelesaian Umum PD \(xy^{'} + (1 - x)y = 4xe^{x}\)\ ln x
Solusi :
\(y^{'} + \frac{1 - x}{x}y = 4e^{x}\)ln x
faktor integrasi \(\int p(x) dx\) = \(\int p(x) dx = \int \frac{1 - x}{x} dx\) = ln x - x
\(u = e^{ln x - x} = e^{ln x}e^{-x} = xe^{-x}\)
\(yxe^{-e} = \int \left ( 4x^{x}\ ln x \right )\left ( xe^{-x} \right )dx = \int 4x\) ln x dx
\(yxe^{-e} = 2x^{2}\ ln x - x^{2} + C\)
3. Carilah Penyelesaiannya dari \(\left ( 2x + xy^{2} \right )dx + (y + x^{2}y)dy = 0\)
Solusi :
x\(\left ( 2x + xy^{2} \right )dx + (y + x^{2})\) dy = 0
\(\int \frac{x}{1 + x^{2}} dx + \int \frac{y}{2 + y^{2}} = 0\)
\(\frac{1}{2} ln \left ( 1 + x^{2} \right ) + \frac{1}{2}ln\left ( 2 + y^{2} \right ) = C\)
\(\frac{1}{2}ln \left [ (1 + x^{2})(2 + y^{2}) \right ] = C\)
ln \(\left [ (1 + x^{2})(2 + y^{2}) \right ] = 2C\)
\((1 + x^{2})(2 + y^{2})\) = \( e^{2c}\)
\((1 + x^{2})(2 + y^{2})\) = C
Persamaan Diferensial Ordo Satu
Selesai