Persamaan diferensial adalah suatu persamaan di mana terdapat satu atau lebih turunan fungsi. Persamaan duferensial diklasifikasikan sebagai:
1.Menurut jenis atau tipe: ada persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Jenis yang kedua tidak kita pelajari di buku ini, karena kita hanya meninjau fungsi dengan satu peubah bebas.
2.Menurut orde: orde persamaan diferensial adalah orde tertinggi turunan fungsi yang ada dalam persamaan. \(\frac{d^3y}{dx^3}\) adalah orde tiga; \(\frac{d^2y}{dx^2}\) adalah orde dua; \(\frac{dy}{dx}\) adalah orde satu.
3. Menurut derajat: derajat suatu persamaan diferensial adalah pangkat tertinggi dari turunan fungsi orde tertinggi. Sebagai contoh: \(\left (\frac{d^3y}{dx^3} \right)^2\) persamaan diferensial biasa, orde tiga, derajat dua. Dalam buku ini kita hanya akan membahas persamaan diferensial bahu sa, orde satu dan orde dua, derajat satu.
\section{solusi}Suatu fungsi \( y = f(x)\) dikatakan Gk ini bisa dilakukan maka persamaan tersebut dapat kita tuliskan dalam bentuk\(f \left ( y \right )dy + g (x)dx\)
Apabila kita lakukan integrasi kita akan mendapatkan solusi umum dengan satu tetapan sembarang \(K\), yaitu \(\int f \left ( y \right )dy + \int g (x)dx = K\)
\(\frac{dy}{dx}= e^{-x}\)Persamaan ini dapat kita tuliskan \(\frac{dy}{dx} \)= \(\frac {e^x}{e^y}\) sehingga kita dapatkan persamaan dengan peubah terpisah \(e^y dy - e^x dx = 0 \) dan \(\int e^y dy -\int e^xdx = k\)
sehingga \(e^y - e^x = k\) atau \(e^y = e^x +k\)
\(\frac{dy}{dx}\)= \(\frac{1}{xy}\) Pemisahan peubah akan memberikan bentuk contoh soal 1Selesaikan persamaan diferensial berikut.
\(\frac{dy}{dx} +\left ( \frac{2x + 1}{x} \right )y = e^{-2x}) pembahasan
diketahui:\( \int p(x)dx \)= \(\int \left ( \frac{2x +1}{x} \right )dx\) = \(2x+ \ln x\)Dengan demikian, faktor integrasinya adalah\(\ e ^{\int p(x)dx}=e ^{2x + \ln x } = e^2x . e^{\ln x} = xe^{2x}\)Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu\(\frac{dy}{dx} +\left ( \frac{2x + 1}{x} \right )y = e^{-2x}\)
sehingga diperoleh:\( \ (xe^{2x})\frac{dy}{dx}+ xe^{2x}\left ( \frac{2x + 1}{x} \right )y \)= \(\left ( ex^{2x} \right )e^-2x \)
dan dapat ditulis menjadi\(\frac{d}{dx}(xe^{2x}y)= x\)
Integrasikan kedua ruas terhadap x, sehingga diperoleh\(xe^{2x}y = \int xdx\)
\(xe^{2x}y = \frac{1}{2}x^2 +C\(y = \frac{2}{2e^{2x}}+C \) contoh soal 2\( \left ( x^2 + 1 \right )\frac{dy}{dx} + 4xy \)pembahasan
Persamaan diferensial di atas merupakan persamaan diferensial linear orde satu. Bagi kedua ruas dengan \( x^2+1 \) untuk mendapatkan\(\frac{dy}{dx}+ \left ( \frac{4x}{x^2 + 1} \right )y = \frac{x}{x^2 +1} \)
diketahui
\( \int p(x)dx =\int \left ( \frac{4x}{x^2+1} \right )dx \)\( = 2 \ln (x^2 + 1)\)
\( = \ln (x^ + 1)\)Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
\( e^{\int p(x)dx}\)=\(e^{\ln(x^2 + 1)^2} = (x^2 +1)^2\)
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal yaitu
\(\frac{dy}{dx}+ \left ( \frac{4x}{x^2 + 1} \right )y = \frac{x}{x^2 +1}\)
sehingga diperoleh
\( (x^2 +1)^2 \frac{dy}{dx}+ (\frac{x}{x^2 + 1})(4x)y = x(x^2 + 1)\)
\( \frac{d}{dx}((x + 1)^2)y)= x^3 + x \)
Integrasikan kedua ruas terhadap \(x\), sehingga diperoleh
\(x+1)^2 = \int (x^3 + x)dx \)
\(x+1)^2 = \frac{1}{4}x^4 +\frac{1}{2}x^2+ C\)
{contoh 3}
\( \frac{dy}{dx}- 2y = 2x^hii 3 \)
Pembahasan
Persamaan diferensial yang diberikan itu berbentuk PD linear orde satu, yang dapat ditulis
\( \frac{dy}{dx}+ (- 2y) = 2x^3 \)
diketahui \( \int p(x)dx =\int (-2) dx = -2x \)
Dengan demikian, faktor integrasinya adalah
\( \int e^{p(x)dx}= e^{-2x}\)
Kalikan faktor integrasi ini ke persamaan awal, sehingga didapat
\( e^{-2x} \frac{dy}{dx} - 2ye^{-2x} = 2x^3e^{-2x}\)
\(\frac{d}{dx}\left ( e^{-2xy} \right )= 2x^3e^{-2x})
\( e^{-2x}y = \int 2x^3e^{-2x} dx \)
Integral tersebut dapat diselesaikan dengan integral parsial (langkah pengerjaannya memang cukup panjang). Setelah mengintegralkan bentuk itu, diperoleh penyelesaian PD tersebut, yakni
\(e^{-2x}y = \frac{(4x^3+6x^2+6x+3)e^{-2x}}{4} + C \)
Persamaan diferensial biasa
Selesai