Kami kembali memberikan Contoh Soal Integral Kelas XII SMA Part 6 Semoga bermanfaaat bagi adik adik semua yag masih SMA dan juga para Guru matematika semoga apa yang saya tulis semoga bermanfaat. Soal Integral Kelas XII SMA
a) \(1-\sqrt{3}\)
b) \(\sqrt{3}-1\)
c) \(\sqrt{3}+1\)
d) \(2\sqrt{3}+1\)
e) \(2\sqrt{3}-1\)
Pembahasan:
\(\left( \frac{ 4}{ 2}\sin 2x-\left( -\frac{ 3}{ 3} \cos 3x \right) \right)_{\frac{ \pi}{ 3}}^{\frac{ \pi}{ 2}}\)
\(=\left( 2 \sin 2x+\cos3x \right)_{\frac{ \pi}{ 3}}^{\frac{ \pi}{ 2}}\)
\(=\left( 2\sin\pi+\cos\frac{ 3\pi}{ 2} \right)-\left( 2\sin\frac{ 2\pi}{ 3}+\cos\pi \right)\)
\(=0+0-\left( 2\cdot \frac{ \sqrt{3}}{ 2}-1\right)\)
\(=-\sqrt{3}+1=1-\sqrt{3}\)
52. Hasil \(\int\limits \frac{ 2x+3}{ \sqrt{3x^{2}+9x-1}}=\)
a) \(2\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
b) \(\frac{ 1}{ 3}\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
c) \(\frac{ 2}{ 3}\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
d) \(\frac{ 1}{ 2}\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
e) \(\frac{ 3}{ 2}\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
Pembahasan:
\(\int\frac{ \frac{ 1}{ 3}du}{u^{\frac{ 1}{ 2}}}\)
\(=\int\frac{ 1}{ 3}\cdot u^{-\frac{ 1}{ 2}}du\)
\(=\frac{ 1}{ 3\left( -\frac{ 1}{ 2}+1 \right)}+C\)
\(=\frac{ 2}{ 3}u^{\frac{ 1}{ 2}}+C=\frac{ 2}{ 3}\sqrt{3x^{2}+9x-1}+C\)
53. Hasil dari \(\int_{1}^{4}\limits \left( x^{2}-2x+2 \right)dx\)
a) \(12\)
b) \(14\)
c) \(16\)
d) \(18\)
e) \(20\)
Pembahasan:
\(\int_{1}^{4}\left( x^{2}-2x+2 \right)dx\)
\(=\frac{ 1}{ 3}x^{3}-x^{2}+2x\mid_{1}^{4}\)
\(=\left( \frac{ 1}{ 3}\cdot4^{3}-4{2}+2\cdot4 \right)-\left( \frac{ 1}{ 3}\cdot1^{3}-1^{2}+2\cdot1 \right)\)
\(=\left( \frac{64}{3}-16+8 \right)-\left( \frac{ 1}{ 3}-1+2 \right)\)
\(=\frac{63}{3}-8-1=21-9=12\)
54. Nilai dari \(\int_{0}^{\frac{ 1}{ 2}\pi}\limits \left( 3 \sin2x-\cos x \right) dx\)
a) \(-2\)
b) \(-1\)
c) \(0\)
d) \(1\)
e) \(2\)
Pembahasan:
\(\int_{0}^{\frac{ 1}{ 2}\pi}\left( 3 \sin2x-\cos x \right) dx\)
\(=-\frac{ 3}{ 2}\cos2x-\sin x\mid_{0}^{\frac{ 1}{ 2}\pi}\)
\(=\left( -\frac{ 3}{ 2}\cos2\cdot90^{\circ} -\sin90^{\circ}\right)-\left( -\frac{ 3}{ 2}\cos2\cdot0^{\circ}-\sin0^{\circ} \right)\)
\(=\left( -\frac{ 3}{ 2}\cdot\left( -1 \right)-1 \right)-\left( \frac{ 3}{ 2}\cdot 1-0\right)\)
\(=\frac{ 3}{ 2}+\frac{ 3}{ 2}-1=3-1=2\)
55. Hasil dari \(\int\limits \frac{2x^{2}}{\sqrt[7]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{5}}}dx\)
a) \(\frac{ 3}{7}\sqrt[7]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{3}}+C\)
b) \(\frac{ 6}{7}\sqrt[6]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{7}}+C\)
c) \(\frac{ 6}{7}\sqrt[7]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{6}}+C\)
d) \(\frac{ 7}{6}\sqrt[7]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{2}}+C\)
e) \(\frac{ 7}{6}\sqrt[2]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{7}}+C\)
Pembahasan:
\(\int\frac{2x^{2}}{\sqrt[7]{\left( 2x^{3}-5 \right)^{5}}}dx\)
\(=\frac{ 1}{ 3}u^{\frac{ 5}{ 7}}du\)
\(=\frac{ 1}{ 3}\cdot\frac{ 7}{ 2}u^{\frac{ 2}{ 7}}+C\)
\(=\frac{ 7}{ 6}\sqrt[7]{u^{2}}+C\)
\(=\frac{ 7}{ 6}\sqrt[7]{\left(2x^{3}-5 \right)^{2}}+C\)
56. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=x^{2}-4x+3\) dan \(y=x-1\) adalah
a) \(\frac{ 41}{ 6}\) satuan luas
b) \(\frac{ 19}{ 3}\) satuan luas
c) \(\frac{ 9}{ 2}\) satuan luas
d) \(\frac{ 8}{ 3}\) satuan luas
e) \(\frac{ 11}{ 6}\) satuan luas
Pembahasan:
\(L=\int_{1}^{4}\left( x-1 \right)-\left( x^{2}-4x+3 \right)dx\)
\(=\int_{1}^{4}\left( -x^{2}+5x-4 \right)dx\)
\(=-\frac{ 1}{3}x^{3}+\frac{ 5}{ 2}x^{2}-4x\mid_{1}^{4}\)
\(=\left( -\frac{ 1}{ 3}\cdot4^{3}+\frac{ 5}{ 2}\cdot4^{2}-4\cdot4 \right)-\left( -\frac{ 1}{ 3}\cdot1^{3}+\frac{ 51}{ 2}\cdot1^{2}-4\cdot1 \right)\)
\(=\left( -\frac{ 64}{ 3}+\frac{ 80}{ 2}-60 \right)-\left( -\frac{ 1}{ 3}+\frac{ 5}{ 2}-4 \right)\)
\(=-\frac{ 63}{ 3}+24-\frac{ 5}{ 2}+4=-21+28-\frac{ 5}{ 2}\)
\(=7-\frac{ 5}{ 2}=\frac{ 14-5}{ 2}=\frac{ 9}{ 2} \)satuan luas
57. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=x^{2}\) dan \(y=4x-3\) diputar \(360^{\circ}\) mengelilingi sumbu \(X\) adalah
a) \(13\frac{ 11}{ 15}\pi\) satuan volume
b) \(13\frac{ 19}{ 3}\pi\) satuan volume
c) \(12\frac{ 11}{ 15}\pi\) satuan volume
d) \(12\frac{ 7}{ 15}\pi\) satuan volume
e) \(12\frac{ 4}{ 15}\pi\) satuan volume
Pembahasan:
\(V=\pi\int_{1}^{3}\left( 4x-3 \right)^{2}-\left( x^{2} \right)^{2}dx=\pi\int_{1}^{3}16x^{2}-24x+9-x^{4}dx\)
\(=\pi\left( \frac{16}{3}x^{3}-12x^{2}+9x-\frac{ 1}{ 5}x^{5}\mid_{1}^{3} \right)\)
\(=\pi\left( \left( \frac{ 16}{ 3}.3^{3}-12.3^{2}+9.3-\frac{ 1}{ 5}.3^{5} \right)-\left( \frac{ 16}{ 3}.1^{3}-12.1^{2}+9.1-\frac{ 1}{ 5}.1^{5} \right) \right)\)
\(=\left( 144-108+27-\frac{ 243}{ 5}-\frac{ 16}{ 3}+12-9+\frac{ 1}{ 5} \right)\pi\)
\(=\left( 66-\frac{ 242}{ 5}-\frac{ 16}{ 3} \right)\pi\)
\(=\left( 66-48\frac{ 2}{ 5}-5\frac{ 1}{ 3} \right)\pi\)
\(=\left( 13-\left(\frac{ 5+5}{ 15} \right) \right)\pi=12\frac{ 4}{ 15}\pi\) satuan luas
58. Volume benda putar yang terjadi bila daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=2-x\) dan \(y=\sqrt{x}\) terhadap sumbu \(X\) adalah
a) \(\frac{ 1}{ 6}\pi\) satuan luas
b) \(13\frac{ 19}{ 3}\pi\) satuan volume
c) \(12\frac{ 11}{ 15}\pi\) satuan volume
d) \(12\frac{ 7}{ 15}\pi\) satuan volume
e) \(\frac{ 5}{ 6}\pi\) satuan luas
Pembahasan:
\(V1=\pi\int_{0}^{1}\left( \sqrt{x}^{2} \right)dx\)
\(=\pi\int_{0}^{1}xdx=\pi\left[ \frac{ 1}{ 2}x^{2} \right]_{0}^{1}=\frac{ 1}{ 2}\pi\)
\(V2=\frac{ 1}{ 3}\pi r^{2}t=\frac{ 1}{ 3}\pi 1^{2}.1=\frac{ 1}{ 3}\pi\)
\(V1+V2=\left( \frac{ 1}{ 2}+\frac{ 1}{ 3} \right)\pi\)
\(=\left( \frac{ 3+2}{ 6} \right)\pi=\frac{ 5}{ 6}\pi\) satuan luas
59. Daerah yang dibatasi kurva \(y=4-x^{2}\), sumbu \(x\), sumbu \(y\), dan garis \(x=1\). Volume benda putar yang terjadi, jika daerah tersebut diputar mengelilingi sumbu x adalah
a) \(12\frac{ 8}{ 15}\pi\) satuan volume
b) \(1\frac{ 8}{ 12}\pi\) satuan volume
c) \(13\frac{ 8}{ 15}\pi\) satuan volume
d) \(13\frac{ 8}{ 12}\pi\) satuan volume
e) \(14\pi\) satuan volume
Pembahasan:
\(V=\pi\int_{0}^{1}\left( 4-x^{2} \right)^{2} dx=\pi\int_{0}^{1}16-8x^{2}+x^{4} dx\)
\(=\pi\left( 16x-\frac{ 8}{ 3}x^{3}+\frac{ 1}{ 5}x^{5} \right)_{0}^{1}\)
\(=\pi\left( \left( 16-\frac{ 8}{ 3}+\frac{ 1}{ 5} \right)-0 \right)\)
\(=\pi\left( 16-\left( \frac{ 40-3}{ 15} \right) \right)\)
\(=\pi\left( 16-\frac{ 37}{ 15} \right)=13\frac{ 8}{ 15}\pi\) satuan volume
60. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva \(y=4-x^{2}\), \(y=3x\), sumbu \(Y\) dan \(x=2\) adalah
a) \(6\) satuan luas
b) \(5\frac{ 1}{ 3}\) satuan luas
c) \(5 \) satuan luas
d) \(3\frac{ 1}{ 3}\) satuan luas
e) \(2\frac{ 2}{ 3}\) satuan luas
Pembahasan:
\(L=\int_{0}{1}\left[ \left( 4-x^{2} \right)-3x \right]dx+\int_{1}^{2}\left[ 3x-\left( 4-x^{2} \right) \right]dx\)
\(=\int_{0}^{1}\left( -x^{2}-3x+4 \right)dx+\int_{1}^{2}\left( x^{2}+3x-4 \right)dx\)
\(=\left[ -\frac{ 1}{ 3}x^{3}-\frac{ 3}{ 2}x^{2}+4x \right]_{0}^{2}+\left[ \frac{ 1}{ 3}x^{3}-\frac{ 3}{ 2}x^{2}-4x \right]_{1}^{2}\)
\(=\left( -\frac{ 1}{ 3}-\frac{ 3}{ 2}+4 \right)+\left[ \left( \frac{ 8}{ 3}+\frac{ 12}{ 2}-8 \right)-\left( \frac{ 1}{ 3}+\frac{ 3}{ 2} -4\right) \right]\)
\(=\frac{ 13}{ 6}+\frac{ 4}{ 6}-\left( -\frac{ 13}{ 6} \right)=\frac{ 30}{ 6}=5\)
